Bài tập ôn tập Toán Lớp 12 - Chương 2: Lũy thừa. Mũ. Logarit (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập Toán Lớp 12 - Chương 2: Lũy thừa. Mũ. Logarit (Có đáp án)

1. CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT I. LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA KIẾN THỨC CẦN NHỚ LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương. n • Với a tùy ý: a a.a. a n thöøa soá 1 • Với a 0 : a0 1; a n (a: cơ số, n: số mũ). an Chú ý: 00 , 0 n không có nghĩa. Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như lũy thừa với số mũ nguyên dương. 2. Phương trình xn b * • Với n lẻ: Phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất. • Với n chẵn: + Nếu b 0 : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu. + Nếu b 0 : Phương trình (*) có một nghiệm x 0 + Nếu b 0 : Phương trình (*) vô nghiệm. 3. Căn bậc n Khái niệm: Cho b R , n N * n 2 . Số a được gọi là căn bậc n của b nếu an b . • Với n lẻ và b R , phương trình xn b có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu là n b . • Với n chẵn: b 0 : Không có căn bậc n của b. b 0 : Có một căn bậc n của 0 là 0. b 0 : Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là n b . Tính chất: Với a,b 0 , m,n N * ; p Z ta có: a n a p •n ab n a.n b; •n ,b 0; • n a p n a , a 0 ; n b b a n m n.m n n khi n leû •a a; •a a khi n chaün. 4. Lũy thừa với số mũ hửu tỉ m Cho số thực a dương và số hửu tỉ r , trong đó m Z,n N .* Lũy thừa của a với số mũ r được xác n m định như sau: ar a n n am . 5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
2. Cho a 0, là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ r mà lim r và một dãy n n n r số tương ứng a n có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số r . n r Khi đó ta kí hiệu a lim a n là lũy thừa của a với số mũ . n 6. Lũy thừa với số mũ thực Tính chất Với mọi a, b là các số thực dương; ,  là các số thực tùy ý, ta có: a  •a .a a  ; • a  ; • a a . ; a a a • a.b a .b ; • ; b b So sánh hai lũy thừa • So sánh cùng cơ số - Nếu cơ số a 1 thì  a a . - Nếu cơ số 0 a 1 thì  a a . • So sánh cùng số mũ - Nếu số mũ 0 thì a b 0 a b . - Nếu số mũ 0 thì a b 0 a b . HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y x ,với R được gọi là hàm số lũy thừa. Chú ý: Tập xác định của hàm số y x tùy thuộc vào giá trị của . Cụ thể: • nguyên dương: D R ; • nguyên âm hoặc bằng 0: D R|\ 0; • không nguyên: D 0; . 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa y x , R có đạo hàm với mọi x 0 và: • x x 1; • u u 1.u với u là biểu thức chứa x. 3. Khảo sát hàm số lũy thừa y x Đồ thị y x , 0 y x , 0 a. Tập khảo sát: 0; a. Tập khảo sát: 0; b. Sự biến thiên: b. Sự biến thiên: • y x 1 0,  x>0 • y x 1 0,  x>0 Hàm số luôn đồng biến. Hàm số luôn nghịch biến. • Giới hạn đặc biệt: • Giới hạn đặc biệt: lim x 0, lim x . lim x , lim x 0. x 0 x x 0 x • Tiệm cận: Không có. • Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. Trục Oy là tiệm cận đứng. c. Bảng biến thiên: c. Bảng biến thiên: Nhận xét: Đồ thị của hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm I 1;1 . DẠNG BÀI TẬP
3. Dạng 1: Lũy thừa Bài toán 1. Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Phương pháp giải Tính chất của căn bậc n n a Khi n leû b 0 n n n a. b Khi n leû a b • n ab ; • n ; n a .n b Khi n chaün b n a Khi n chaün b 0 n b p a n n n m n.m n n khi leû • a p n a , a 0 ; • a a; • a . a khi n chaün Công thức lũy thừa với số mũ thực m m m n a m a a • am am.n • am an am n • am n; • am bm a b • . ; . ; n . . ; m a b b Ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho x là số thực dương. Biểu thức 4 x2 3 x được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 7 5 12 6 A. x 12 . B. x 6 . C. x 7 . D. x 5 . Hướng dẫn giải. 1 1 7 7 7 4 4 4 4 x2 3 x x2 x 3 x 3 x 3 x12 Ta có: . Chọn A. Sử dụng máy tính cầm tay: Cho x một giá trị dương bất kì, nhập vào máy tính, trừ lần lượt các đáp án cho đến khi nhận được kết quả bằng 0 thì chọn. Cho x 3 . Thao tác trên máy tính: qs!o4$3dqs3$p3^7a12= KQ: 0 Chọn A a b a Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức 5 3 được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ b a b là 7 31 30 1 a 30 a 30 a 31 a 6 A. . B. C. . D. . . b b b b Hướng dẫn giải 1 1 1 5 1 1 a b a a a a 2 a a 2 a a 6 a 6 a 6 Ta có: 5 3 5 3 5 3 5 5 . Chọn D. b a b b b b b b b b b b Sử dụng máy tính cầm tay: Cho a, b nhận a b giá trị dương bất kì, nhập vào máy tính, trừ lần lượt các đáp án cho đến khi nhận được kết quả bằng 0 thì chọn.
4. a 3 a b a Cho . 5 3 b 5 b a b Thao tác trên máy tính: qs!o5$3a5$qs5a3$s3a5$$$$ p(3a5$)^7a30= KQ: 0, 0307 0 Loại A !Eo31= KQ: 0, 3285 0 Loại B. Tương tự, loại C chọn D. Bài toán 2. Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải ax Công thức đặc biệt f x thì f x f 1 x 1. ax a 5 3x 3 x Ví dụ 1: Cho 9x 9 x 23. Tính giá trị của biểu thức P ta được 1 3x 3 x 3 1 5 A. B.2 . C. D. . . . 2 2 2 Hướng dẫn giải x x 2 3 3 5 Ta có: x x x x 9 9 23 3 3 25 x x 3 3 5 loaïi x x 5 3 3 5 5 5 Từ đó, thế vào P . Chọn D. 1 3x 3 x 1 5 2 BÀI TẬP Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng? m A. a n xác định với mọi a ¡ \ 0;n ¥ . B. a n n am ;a ¡ . m C. D.a0 1;a ¡ . n am a n ;a ¡ ;m,n ¢ . a2 2 b2 3 Câu 2: Rút gọn biểu thức (với a 0,b 0 và a 2 b 3 ) được kết quả 2 1 a 2 b 3 a 2 b 3 2a 2 A. 2.B. C. 2a 2 . D. . . a 2 b 3 a 2 b 3 Câu 3: Cho số thực dương a. Rút gọn P a 3 a 4 a 5 a ta được 25 37 53 43 A. a13 . B. C.a1 3 . D.a3 6 . a60 . Câu 4: Viết biểu thức P a.3 a2 . a a 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được 5 5 11 A. B.P C.a 3 . P a6D P a 6 . P a2 . m b a a Câu 5: Viết biểu thức 5 3 , a,b 0 về dạng lũy thừa ta được m bằng a b b
5. CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT I. LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA KIẾN THỨC CẦN NHỚ LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương. n • Với a tùy ý: a a.a. a n thöøa soá 1 • Với a 0 : a0 1; a n (a: cơ số, n: số mũ). an Chú ý: 00 , 0 n không có nghĩa. Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như lũy thừa với số mũ nguyên dương. 2. Phương trình xn b * • Với n lẻ: Phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất. • Với n chẵn: + Nếu b 0 : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu. + Nếu b 0 : Phương trình (*) có một nghiệm x 0 + Nếu b 0 : Phương trình (*) vô nghiệm. 3. Căn bậc n Khái niệm: Cho b R , n N * n 2 . Số a được gọi là căn bậc n của b nếu an b . • Với n lẻ và b R , phương trình xn b có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu là n b . • Với n chẵn: b 0 : Không có căn bậc n của b. b 0 : Có một căn bậc n của 0 là 0. b 0 : Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là n b . Tính chất: Với a,b 0 , m,n N * ; p Z ta có: a n a p •n ab n a.n b; •n ,b 0; • n a p n a , a 0 ; n b b a n m n.m n n khi n leû •a a; •a a khi n chaün. 4. Lũy thừa với số mũ hửu tỉ m Cho số thực a dương và số hửu tỉ r , trong đó m Z,n N .* Lũy thừa của a với số mũ r được xác n m định như sau: ar a n n am . 5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ