Bài tập ôn tập Toán Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập Toán Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm (Có đáp án)

1. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K . Kí hiệu: f x dx F x C . Định lí: 1) Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . 2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. Do đó F x C,C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . 1.2. Tính chất của nguyên hàm • f x dx f x và f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx • Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F(x) F(x) C • kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 . • f x g x dx f x dx g x dx • Công thức đổi biến số: Cho y f u và u g x . Nếu f (x)dx F(x) C thì f g(x) g'(x)dx f (u)du F(u) C 1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1. 0dx C 2. dx x C 1 1 1 3. x dx x C 1 1 ax b 1 16. ax b dx c, 1 a 1 1 1 x 2 4. dx C 17. xdx C x 2 x 2 1 dx 1 5. dx ln x C 18. ln ax b c x ax b a 6. exdx ex C 1 19. eax bdx eax b C a ax 1 akx b 7. axdx C 20. akx bdx C lna k lna 8. cosxdx sin x C 1 21. cos ax b dx sin ax b C a 9. sin xdx cosx C 1 22. sin ax b dx cos ax b C a
2. 10. tan x.dx ln | cosx | C 1 23. tan ax b dx ln cos ax b C a 11. cot x.dx ln | sin x | C 1 24. cot ax b dx ln sin ax b C a 1 1 1 12. dx tan x C 25. dx tan ax b C 2 2 cos x cos ax b a 1 1 1 13. dx cot x C 26. dx cot ax b C 2 2 sin x sin ax b a 2 14. 1 tan x dx tan x C 2 1 27. 1 tan ax b dx tan ax b C a 2 15. 1 cot x dx co t x C 2 1 28. 1 cot ax b dx co t ax b C a 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 2.1. Phương pháp đổi biến 2.1.1. Đổi biến dạng 1 Nếu : f (x)dx F(x) C và với u t là hàm số có đạo hàm thì : f (u)du F( (t)) C 2.1.1.1. Phương pháp chung • Bước 1: Chọn x t , trong đó t là hàm số mà ta chọn thích hợp . • Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx ' t dt • Bước 3: Biến đổi : f (x)dx f t ' t dt g t dt • Bước 4: Khi đó tính : f (x)dx g(t)dt G(t) C . 2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn Đặt x a sint ; với t ; . hoặc x a cost ; a2 x 2 2 2 với t 0; . a a Đặt x .; với t ; \ 0 hoặc x sint 2 2 cost x 2 a2  với t 0; \ . 2  Đặt x a tant ; với t ; . hoặc x a cot t 2 2 2 2 a x với t 0; . a x a x . hoặc . Đặt x acos2t a x a x x a b x Đặt x a (b – a)sin 2t
3. 1 Đặt x atant ; với t ; . a2 x 2 2 2 2.1.2. Đổi biến dạng 2 Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x t . Trong đó t cùng với đạo hàm của nó ( ' t là những hàm số liên tục) thì ta được : f (x)dx f t ' t dt g(t)dt G(t) C . 2.1.2.1. Phương pháp chung • Bước 1: Chọn t= x . Trong đó x là hàm số mà ta chọn thích hợp . • Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt ' t dt . • Bước 3: Biểu thị : f (x)dx f t ' t dt g(t)dt . • Bước 4: Khi đó : I f (x)dx g(t)dt G(t) C 2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu số t là mẫu số Hàm số : f x; x t x a.sinx+ b.cosx x x Hàm f x t tan ; cos 0 c.sinx+ d.cosx+ e 2 2 1 Với : x a 0 và x b 0. Hàm f x x a x b • Đặt : t x a x b Với x a 0 và x b 0. Đặt : t x a x b 2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx Hay udv uv vdu ( với du u’ x dx, dv v’ x dx ) 2.2.1. Phương pháp chung • Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I f (x)dx f (x).f (x)dx 1 2 du f ' (x)dx u f1(x) 1 • Bước 2: Đặt : dv f (x) v f (x)dx 2 2 • Bước 3: Khi đó : u.dv u.v v.du MỘT SỐ DẠNG NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN THƯỜNG GẶP Ghi nhớ: Khi gặp emx n.sin ax b dx hoặc emx n.cos ax b dx luôn phải thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần hai lần liên tiếp. Dạng tích phân Cách đặt ax b u P x P x e dx ax b dv e dx
4. u P x sin mx n P x . .dx sin mx n cos mx n dv .dx cos mx n u lnn ax b n P x .ln ax b dx dv P x .dx u eax b sin mx n ax b e . .dx sin mx n cos mx n dv .dx cos mx n Chọn u: Nhất lo,nhì đa, tam lượng, tứ mũ. Cột u ( đạo hàm) Cột v (ng hàm) u v ( Đạo hàm ) ( Nguyên hàm ) u v' Bảng 1 (+) u v' Bảng 2 u' (+) (-) v u" v u' v (+) 1 (-) u"' (-) v2 u'' (+) v1 0 v3 Quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao. Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến khi được kết quả bằng 0, hoặc đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc đến khi lặp lại thì dừng. Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng của v. VD: Trong bảng bên Bảng 1: u.v'dx u.v u '.v u ''.v dx 1 2 Bảng 2: u.v'dx u.v u '.v u ''.v u '''.v 1 2 3 Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau: 1. x 2 e2xdx 2. 2x 1 cosxdx 3. 3x2 1 ln xdx Giải: Áp dụng quy tắc đường chéo:
5. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K . Kí hiệu: f x dx F x C . Định lí: 1) Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . 2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. Do đó F x C,C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . 1.2. Tính chất của nguyên hàm • f x dx f x và f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx • Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F(x) F(x) C • kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 . • f x g x dx f x dx g x dx • Công thức đổi biến số: Cho y f u và u g x . Nếu f (x)dx F(x) C thì f g(x) g'(x)dx f (u)du F(u) C 1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1. 0dx C 2. dx x C 1 1 1 3. x dx x C 1 1 ax b 1 16. ax b dx c, 1 a 1 1 1 x 2 4. dx C 17. xdx C x 2 x 2 1 dx 1 5. dx ln x C 18. ln ax b c x ax b a 6. exdx ex C 1 19. eax bdx eax b C a ax 1 akx b 7. axdx C 20. akx bdx C lna k lna 8. cosxdx sin x C 1 21. cos ax b dx sin ax b C a 9. sin xdx cosx C 1 22. sin ax b dx cos ax b C a