Bài tập Toán Lớp 12 - Hàm số mũ. Hàm số logarit (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Hàm số mũ. Hàm số logarit (Có đáp án)

1. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Vấn đề 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Câu 1. (ĐỀ MINH HOẠ 2016 – 2017) Tìm tập xác định D của hàm số 2 y = log2 (x - 2x - 3). A. D = (- ¥ ;- 1]È[3;+ ¥ ).B. D = [- 1;3]. C. D = (- ¥ ;- 1)È(3;+ ¥ ).D. D = (- 1;3). x - 1 Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = log . 2 x A. D = (0;1).B. D = (1;+ ¥ ). C. D = ¡ \{0} .D. (- ¥ ;0)È(1;+ ¥ ). Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tập xác định D của hàm số x - 3 y = log . 5 x + 2 A. D = (- 2;3).B. D = (- ¥ ;- 2)È[3;+ ¥ ). C. D = ¡ \{- 2} .D. D = (- ¥ ;- 2)È(3;+ ¥ ). Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2- ln(ex). A. D = (1;2). B. D = (1;+ ¥ ). C. D = (0;1). D. D = (0;e]. Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = log2 (x + 1)- 1. A. D = (- ¥ ;1]. B. D = (3;+ ¥ ). C. D = [1;+ ¥ ). D. D = ¡ \{3} . Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = ln( x - 5 + 5- x). A. D = ¡ \{5} . B. D = ¡ . C. D = (- ¥ ;5).D. D = (5;+ ¥ ). = + - - - - 3 Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y log 2 x 1 log 1 (3 x) log3 (x 1) . 2 A. D = (1;3). B. D = (- 1;1). C. D = (- ¥ ;3).D. D = (1;+ ¥ ). Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln(x 2 - 2mx + m) có tập xác định là ¡ . A. m 1 . B. 0 2 . Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = ln(1- log2 x). A. D = (2;+ ¥ ). B. D = (- ¥ ;2). C. D = (0;2). D. D = (- 2;2). D = é - - ù Câu 11. Tìm tập xác định của hàm số y log3 ëlog2 (x 1) 1û. A. D = (- ¥ ;3). B. D = (3;+ ¥ ). C. D = [3;+ ¥ ). D. D = ¡ \{3} . 1 Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = + ln(x - 1). 2 - x A. D = ¡ \{2} .B. D = (1;2). C. D = [0;+ ¥ ).D. D = (- ¥ ;1)È(2;+ ¥ ).
2. 2 Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x + x + 1).log 1 (x + 2). 2 A. D = (- 2;+ ¥ ). B. D = [- 2;- 1]. C. D = (- 2;- 1). D. D = (- 2;- 1]. 2 Câu 14. Tìm điều kiện của x để hàm số y = log 1 (1- 2x + x ) có nghĩa. x ïì x > 0 A. x > 0 . B. x ³ 0 . C. íï . D. x > 1 . îï x ¹ 1 Câu 15. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là đoạn [- 1;3]? 1 A. y = ln(3 + 2x - x 2 ). B. y = . 3 + 2x - x 2 1 C. y = 3 + 2x - x 2 .D. y = . 3 + 2x - x 2 e x Câu 16. Tìm tập xác định D của hàm số y = . e x - 1 A. D = ¡ \{0} . B. D = ¡ . C. D = ¡ \{1} . D. D = ¡ \{e} . 2 Câu 17. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1- 3x - 5x + 6 . A. D = [2;3]. B. D = (- ¥ ;2]È[3;+ ¥ ). C. D = [1;6]. D. D = (2;3). 2 æ2öx - 3x 9 Câu 18. Tìm tập xác định D của hàm số y = ç ÷ - . èç3ø÷ 4 A. D = [0;3]. B. D = (- ¥ ;1]È[2;+ ¥ ). C. D = [1;2]. D. D = [- 1;2]. Câu 19. Đẳng thức x = 3log3 x có nghĩa khi: A. x > 0 . B. Với mọi x .C. x ³ 0 . D. x > 1 . x Câu 20. Cho a là số thực dương khác 1. Tìm điều kiện của x để x = loga a xảy ra. A. Với mọi x . B. x > 0 . C. x ³ 0 . D. x > 1 . Vấn đề 2. TÍNH ĐẠO HÀM 2 Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = (2x 2 + x - 1)3 . 2(4x + 1) 2(4x + 1) A. y ' = .B. y ' = . 3 2 2 3 2x + x - 1 3 3 (2x 2 + x - 1) 3(4x + 1) 3(4x + 1) C. y ' = .D. y ' = . 3 2 2 2 2x + x - 1 2 3 (2x 2 + x - 1) Câu 22. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số y = 13x . 13x A. y ' = x.13x- 1 . B. y ' = 13x.ln13 . C. y ' = 13x . D. y ' = . ln13 2 Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x . 1+ x 2 1+ x x.2 2 x.2 A. y ' = . B. y ' = x.21+ x .ln 2 . C. y ' = 2x.ln 2x . D. y ' = . ln 2 ln 2
3. Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số y = e 2x . e 2x e x e 2x A. y¢= . B. y¢= . C. y¢= . D. y¢= 2x.e 2x . 2 2x 2x 2x x + 1 Câu 25. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số y = . 4x 1- 2(x + 1)ln 2 1+ 2(x + 1)ln 2 A. y ' = .B. y ' = . 22x 22x 1- 2(x + 1)ln 2 1+ 2(x + 1)ln 2 C. y ' = 2 .D. y ' = 2 . 4x 4x Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số y = 3e- x + 2017e cos x . A. y ' = - 3e- x + 2017 sin xe cos x . B. y ' = - 3e- x - 2017 sin xe cos x . C. y ' = 3e- x - 2017 sin xe cos x . D. y ' = 3e- x + 2017 sin xe cos x . Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số y = x x với x > 0. x x A. y ' = x.x x- 1 . B. y ' = (ln x + 1)x x . C. y ' = x x ln x . D. y ' = . ln x Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y = f (x)= x p .p x tại điểm x = 1. A. f '(1)= p. B. f '(1)= p2 + ln p . C. f '(1)= p2 + p ln p. D. f '(1)= 1 . Câu 29. Cho hàm số y = f (x)= 2x.5x. Tính f / (0). 1 A. f / (0)= 10. B. f / (0)= 1. C. f / (0)= . D. f / (0)= ln10. ln10 2 1 Câu 30. Cho hàm số f (x)= 5e x . Tính P = f '(x)- 2x. f (x)+ f (0)- f '(0). 5 A. P = 1. B. P = 2 . C. P = 3 . D. P = 4 . 2 2 Câu 31. Cho hàm số f (x)= 2x + 1 Tính T = 2- x - 1. f '(x)- 2x ln 2 + 2. A. T = - 2. B. T = 2. C. T = 3. D. T = 1. 1 1 Câu 32. Cho hàm số f (x)= + . Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu 3+ 2x 3+ 2- x khẳng định đúng? 1) f ¢(x)¹ 0 với mọi x Î ¡ . 2) f (1)+ f (2)+ + f (2017)= 2017. 1 1 3) f (x 2 )= + . 3+ 4x 3+ 4- x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. a x + a- x a x - a- x Câu 33. Cho 0 < a ¹ 1+ 2 và các hàm f (x)= , g(x)= . Trong các 2 2 khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng? 1) f 2 (x)- g 2 (x)= 1. 2) g(2x)= 2g(x) f (x). 3) f (g(0))= g( f (0)). 4) g¢(2x)= g¢(x) f (x)- g(x) f ¢(x). A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số y = log2017 x. ln 2017 log e 1 2017 A. y ' = . B. y ' = 2017 . C. y ' = . D. y ' = . x x x.log 2017 x.ln 2017
4. x Câu 84. Biết hai hàm số y = a x và y = f (x) có y x y a y đồ thị như hình vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = - x . Tính f (- a3 ). 1 y f x A. f (- a3 )= - a- 3a . 1 -1 O x B. f (- a3 )= - . 3 C. f (- a3 )= - 3. D. f (- a3 )= - a3a . x Lời giải. Giả sử M (x M ; yM ) là điểm thuộc hàm số y = a ; N (x0 ; y0 ) là điểm đối xứng của M qua đường thẳng y = - x . æx + x y + y ö Gọi I là trung điểm của MN ¾ ¾® I ç M 0 ; M 0 ÷. èç 2 2 ø÷ ì y + y x + x ï M 0 M 0 ïì I Î d ï = - ì ï ï 2 2 ï x0 = - yM Vì M , N đối xứng nhau qua d ¾ ¾® í uuuur uur Û íï Û ïí . ï MN Pn ï x - x y - y ï y = - x îï d ï M 0 = M 0 îï 0 M îï 1 1 x xM Ta có M (x M ; yM )Î đồ thị y = a nên yM = a . xM - y0 Do đó x0 = - yM = - a = - a ¾ ¾® - y0 = loga (- x0 )Û y0 = - loga (- x0 ). Điều này chứng tỏ điểm N thuộc đồ thị hàm số f (x)= - loga (- x). 3 3 Khi đó f (- a )= - loga a = - 3. Chọn C. Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = a x qua Oy là được đồ thị hàm số x - x æ1ö y = a = ç ÷ . èçaø÷ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f (x) qua Oy là được đồ thị hàm số y = f (- x). Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số y = a x và y = f (x) đối xứng nhau qua đường æ1öx thẳng y = - x nên suy ra đồ thị của hai hàm số y = ç ÷ và y = f (- x) đối xứng nhau èça÷ø qua đường thẳng y = x . (1) x Theo lý thuyết (SGK) thì đồ thị của hai hàm số y = a và y = loga x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. (2) x= a3 3 3 Từ (1) và (2), suy ra f (- x)= log 1 x ¾ ¾ ¾® f (- a )= log 1 a = - 3. a a Câu 85. Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = log2 x là đồ thị nào trong các đồ thị có phương trình sau đây? æ öx x ç1÷ A. y = log 1 x . B. y = 2 . C. y = log2 x .D. y = ç ÷ . èç ø÷ 2 2 Lời giải. Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số y = f (x) đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = - f (x) '' . Do đó đồ thị hàm số y = log2 x đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = - log2 x. Chưa thấy đáp án nên ta biến đổi: y = - log2 x = log 1 x . Chọn A. 2 Câu 86. Cho hàm số y = a x (0 < a ¹ 1) có đồ thị (C ). Mệnh đề nào sau đây là sai?
5. A. Đồ thị (C ) luôn đi qua M (0;1) và N (1;a) B. Đồ thị (C ) có tiệm cận y = 0 . C. Đồ thị (C ) luôn nằm phía trên trục hoành. D. Hàm số luôn đồng biến. Lời giải. Với x = 0 Þ y = a0 = 1 và x = 1 Þ y = a1 = a . Do đó A đúng. Ta có lim y = 0 nếu 0 1. Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang. x® + ¥ x® - ¥ Do đó B đúng. Vì a x > 0, " x Î ¡ . Do đó C đúng. Hàm số y = a x đồng biến khi a > 1 , nghịch biến khi 0 0 , ta có y = log4 x ¾ ¾® y đồng biến. - 1 Với x < 0 , ta có y = log (- x)¾ ¾® y ' = < 0, " x < 0 ¾ ¾® y nghịch biến. 4 (- x)ln 4 Do đó B sai. ì ï " x Î D Þ (- x)Î D Ta có í Þ hàm số y = log x chẵn trên tập xác định nên ï - = - = = 4 îï y( x) log4 x log4 x y(x) nhận Oy làm trục đối xứng. Do đó C đúng. Chọn C. Đáp án D sai. Ta có lim log4 x = lim log4 x = - ¥ . Suy ra x = 0 là tiệm cận đứng. x® 0+ x® 0- Câu 88. Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? æ1öx A. Đồ thị của hai hàm số y = a x và y = ç ÷ đối xứng nhau qua trục hoành. èça÷ø B. Đồ thị của hai hàm số y = loga x và y = log 1 x đối xứng nhau qua trục tung. a C. Đồ thị của hai hàm số y = e x và y = ln x đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. x D. Đồ thị của hai hàm số y = a và y = loga x đối xứng nhau qua đường thẳng y = - x æ1öx Lời giải. Đồ thị của hai hàm số y = a x và y = ç ÷ đối xứng nhau qua trục tung. èçaø÷ Do đó A sai. Đồ thị của hai hàm số y = loga x và y = log 1 x đối xứng nhau qua trục hoành. Do a đó B sai. x Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị của hai hàm số y = a và y = loga x đối xứng nhau qua đường y = x '' . Do đó C đúng. Chọn C. x Đồ thị của hai hàm số y = a và y = loga x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . Do đó D sai. x Câu 89. Cho hai hàm số y = f (x)= loga x và y = g(x)= a (0 < a ¹ 1). Xét các mệnh đề sau:
6. 1) Đồ thị của hai hàm số f (x) và g(x) luôn cắt nhau tại một điểm. 2) Hàm số f (x)+ g(x) đồng biến khi a > 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1 . 3) Đồ thị hàm số f (x) nhận trục Oy làm tiệm cận. 4) Chỉ có đồ thị hàm số f (x) có tiệm cận. Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải. Chọn a = 2 chẳng hạn, khi đó f (x) và g(x) cùng đồng biến. Mà hai hàm cùng đồng biến thì không kết luận được số nghiệm của phương trình f (x)= g(x) vì nó có thể vô nghiệm, hoặc có một nghiệm, hoặc có hai nghiệm, .Do đó 1) sai. Tổng của hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, tổng của hai hàm nghịch biến là hàm nghịch biến. Do đó 2) đúng. Dựa vào lý thuyết, đồ thị hàm số y = loga x nhận trục Oy làm tiệm cận đứng. Do đó 3) đúng. Đồ thị hàm số y = a x nhận trục Ox làm tiệm cận ngang. Do đó 4) sai. Vậy có các mệnh đề 2) và 3) đúng. Chọn B. Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A, B và C lần = log , = log = log a lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y a x y a x và y 3 a x với là số thực lớn hơn 1. Tìm a . A. a = 3 . B. a = 3 6 . C. a = 6 D. a = 6 3 . Lời giải. Do AB POx ¾ ¾® A, B nằm trên đường thẳng y = m (m ¹ 0). , = log , = log Lại có A B lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y a x y a x . æ m ö m ç 2 ÷ Từ đó suy ra A(a ;m), Bça ;m÷. èç ø÷ m 2 Vì ABCD là hình vuông nên suy ra xC = xB = a . æ m 3mö ç 2 ÷ Lại có C nằm trên đồ thị hàm số y = log 3 x , suy ra C ça ; ÷. a èç 2 ø÷ ïì m ï m 2 ï a - a = 6 ïì AB = 6 ï Theo đề bài SABCD = 36 ¾ ¾® í ¾ ¾® í îï BC = 6 ï 3m ï - m = 6 îï 2 ïì m = - 12 ï ì = 12 ï ï m ¬ ¾® í 1 hoặc í . Chọn D. 6 ï 6 ï a = < 1(loaïi) îï a = 3 îï 3
7. Vấn đề 5. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 5+ 3x + 3- x Câu 91. Cho 9x + 9- x = 23 . Tính giá trị biểu thức P = . 1- 3x - 3- x 3 1 5 A. P = 2. B. P = . C. P = . D. P = - . 2 2 2 Lời giải. Đặt t = 3x + 3- x ¾ ¾® t 2 = 9x + 9- x + 2 = 25¬ ¾® t = ± 5 . Vì 3x + 3- x > 0 nên t > 0 . Do đó ta chọn t = 5 hay 3x + 3- x = 5 . 5+ 5 5 Thay 3x + 3- x = 5 vào P , ta được P = = - . Chọn D. 1- 5 2 é ù= Câu 92. Cho số thực x thỏa mãn log2 ë4 log4 (8 log2 x)û 8 . Tính ln x . A. ln x = 2125.ln 2 .B. ln x = 2126.ln 2 .C. ln x = 2127.ln 2 .D. ln x = 2128 ln 2 . é ù= ¾ ¾® = 8 Lời giải. Ta có log2 ë4 log4 (8 log2 x)û 8 4 log4 (8 log2 x) 2 64 125 ¾ ¾® log4 (8 log2 x)= 64 ¾ ¾® 8 log2 x = 4 ¾ ¾® log2 x = 2 (2125 ) (2125 ) ¾ ¾® x = 2 ¾ ¾® ln x = ln 2 = 2125 ln 2 . Chọn A. æ1öx Câu 93. Cho hàm số f (x)= ç ÷ và biểu thức P = f (x - 1)+ f (x - 2). Mệnh đề nào sau èç2ø÷ đây là đúng? 3 A. P = f (x). B. P = 6 f (x). C. P = - 3 f (x). D. P = - 8 f (x). 4 æ1öx- 1 æ1öx- 2 Lời giải. Ta có P = f (x - 1)+ f (x - 2)= ç ÷ + ç ÷ èç2ø÷ èç2ø÷ æ1öx æ1öx æ1öx = 2.ç ÷ + 4.ç ÷ = 6ç ÷ = 6 f (x). Chọn B. èç2÷ø èç2÷ø èç2÷ø f (x) f (x + 1) f (x + 2) Câu 94. Cho hàm số f (x)= 2017x . Tính P = . f (3x) A. P = 2017x. B. P = 3.2017. C. P = 3. D. P = 20173. f (x) f (x + 1) f (x + 2) 2017x.2017x + 1.2017x + 2 Lời giải. Ta có P = = f (3x) 20173x 20173x + 3 = = 20173 . Chọn D. 20173x 4x æ 1 ö æ 2 ö æ2016ö Câu 95. Cho hàm số f (x)= . Tính tổng S = f ç ÷+ f ç ÷+ + f ç ÷. 4x + 2 èç2017ø÷ èç2017ø÷ èç2017ø÷ A. S = 2016. B. S = 1008. C. S = 1007. D. S = 2017. Lời giải. Sử dụng tính chất '' Nếu a + b = 1 thì f (a)+ f (b)= 1 '' . Thật vậy: 4a 2.4a ● f (a)= = . 4a + 2 2.4a + 4 4 41- a a 4 ● a + b = 1 ¾ ¾® b = 1- a . Do đó f (b)= f (1- a)= = 4 = . 1- a + 4 + a 4 2 + 2 4 2.4 4a 2.4a 4 Suy ra f (a)+ f (b)= + = 1 . 2.4a + 4 4 + 2.4a
8. 1 2016 æ 1 ö æ2016ö Áp dụng: Ta có + = 1 nên f ç ÷+ f ç ÷= 1 . 2017 2017 èç2017ø÷ èç2017ø÷ é æ 1 ö æ2016öù é æ 2 ö æ2015öù é æ1008ö æ1009öù = ê ç ÷+ ç ÷ú+ ê ç ÷+ ç ÷ú+ + ê ç ÷+ ç ÷ú Vậy S f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ ëê è2017ø è2017øûú ëê è2017ø è2017øûú ëê è2017ø è2017øûú = 1+ 1+ + 1 = 1008 . Chọn B. M x Bài toán tổng quát: Nếu f (x)= (M > 0) thì f (x)+ f (1- x)= 1. M x + M 9x æ 1 ö æ 2 ö æ2016ö Câu 96. Cho hàm số f (x)= . Tính tổng S = f ç ÷+ f ç ÷+ + f ç ÷. 9x + 3 èç2017ø÷ èç2017ø÷ èç2017ø÷ A. S = 2016. B. S = 2017. C. S = 1008. D. S = 1007. Lời giải. Ta có é æ 1 ö æ2016öù é æ 2 ö æ2015öù é æ1008ö æ1009öù = ê ç ÷+ ç ÷ú+ ê ç ÷+ ç ÷ú+ + ê ç ÷+ ç ÷ú S f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ f ç ÷ ëê è2017ø è2017øûú ëê è2017ø è2017øûú ëê è2017ø è2017øûú = 1+ 1+ + 1 = 1008 . Chọn C. 4x Câu 97. Cho hàm số f (x)= và góc a tùy ý. Tính S = f (sin2 a)+ f (cos2 a). 4x + 2 A. S = 1. B. S = 2. C. S = 3. D. S = 4sin 2a. Lời giải. Do sin2 a + cos2 a = 1 nên S = f (sin2 a)+ f (cos2 a). = 1 . Chọn A. 9x Câu 98. Cho hàm số f (x)= . Biết a + b = 3 , tính S = f (a)+ f (b - 2). 9x + 3 1 3 A. S = 1. B. S = 2. C. S = . D. S = . 4 4 Lời giải. Ta có a + (b - 2)= a + b - 2 = 3- 2 = 1 ¾ ¾® f (a)+ f (b - 2)= 1. Chọn A. 9t Câu 99. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét hàm số f (t)= với m là tham 9t + m2 số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f (x)+ f (y)= 1 với mọi x, y thỏa mãn e x + y £ e(x + y). Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Xét hàm số g(t)= e t - et, " t Î ¡ . Ta có g '(t)= e t - e ¾ ¾® g '(t)= 0 Û t = 1. Lập bảng biến thiên ta thấy g(t)³ 0, " t Î ¡ và đẳng thức xảy ra Û t = 1. Ta có g(x + y)= e x + y - e(x + y)³ 0 Û e x + y ³ e(x + y). Kết hợp với giải thiết e x + y £ e(x + y), suy ra e x + y = e(x + y)Û x + y = 1. 1 æ1ö æ1ö 3 Chọn một bộ x = y = theo giả thiết, có f ç ÷+ f ç ÷= 1 Û 2. = 1 Û m = ± 3. 2 èç2ø÷ èç2ø÷ 3+ m2 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. Chọn C. æx + 1ö Câu 100. Cho hàm số f (x)= ln 2017- lnç ÷. Tính S = f '(1)+ f '(2)+ + f '(2017). èç x ø÷ 4035 2016 2017 A. S = . B. S = 2017. C. S = . D. S = . 2018 2017 2018 / æx + 1ö - 1 ç ÷ èç x ø÷ 2 1 1 1 Lời giải. Ta có f '(x)= - = - x = = - . x + 1 x + 1 x (x + 1) x x + 1 x x Khi đó S = f '(1)+ f '(2)+ + f '(2017) æ1 1 ö æ1 1 ö æ 1 1 ö 1 1 2017 = ç - ÷+ ç - ÷+ + ç - ÷= - = . Chọn D. èç1 1+ 1ø÷ èç2 2 + 1ø÷ èç2017 2017 + 1ø÷ 1 2017 + 1 2018
9. Câu 101. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số nguyên dương a, b sao cho 2 phương trình a ln x + b ln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình 2 5log x + b log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1x2 > x3 x4 . Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S = 2a + 3b . A. Smin = 30 . B. Smin = 25 . C. Smin = 33 . D. Smin = 17 . Lời giải. Điều kiện x > 0 . Phương trình a ln2 x + b ln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt Û b2 > 20a . Phương trình 5log2 x + b log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt Û b2 > 20a . Ta có a ln2 x + b ln x + 5 = 0 ¾ t¾= ln¾x ® at 2 + bt + 5 = 0. (1) 5log2 x + b log x + a = 0 ¾ u¾= lo¾g x ® 5u2 + bu + a = 0. (2) Với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một nghiệm u thì có một nghiệm x . b ïì - ï t1 t2 t1 + t2 a b b ï x .x = e .e = e = e - - Ta có ï 1 2 , kết hợp giả thiết x x > x x ¾ ¾® e a > 10 5 í b 1 2 3 4 ï - ï u + u ï 1 2 5 îï x3.x4 = 10 = 10 b b 5 + ¾ ¾® - > - ln10 Û a > ¾ a¾Î ¢ ¾® a ³ 3 . a 5 ln10 + Suy ra b2 > 20a ³ 60 ¾ b¾Î ¢ ¾® b ³ 8 . ïì a = 3 Vậy S = 2a + 3b ³ 2.3+ 3.8 = 30 , suy ra Smin = 30 đạt được khi í . Chọn A. îï b = 8 2 2 a, b a + b > 1 log 2 2 a + b ³ 1. Câu 102. Cho là các số thực thỏa mãn và a + b Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2a + 4b - 3. 1 10 A. P = 10. B. Pmax = . C. Pmax = . D. P = 2 10. max 10 2 max Lời giải. æ ö2 æ ö2 2 2 2 2 ç 1÷ ç 1÷ 1 Do a + b > 1 nên log 2 2 (a + b)³ 1 Û a + b ³ a + b Û ça - ÷ + çb - ÷ £ . (1) a + b èç 2ø÷ èç 2÷ø 2 éæ 1ö æ 1öù 3 + 2 = êç - ÷+ 2ç - ÷ú+ . Ta có a b ça ÷ çb ÷ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có ëêè 2ø è 2øûú 2 éæ ö æ öù2 éæ ö2 æ ö2 ù 1 1 2 2 ê 1 1 ú 1 5 êça - ÷+ 2çb - ÷ú £ (1 + 2 ) ça - ÷ + çb - ÷ £ 5. = . êèç ø÷ èç ø÷ú êèç ø÷ èç ø÷ ú ë 2 2 û ëê 2 2 ûú 2 2 æ 1ö æ 1ö 10 10 3 Do đó ça - ÷+ 2çb - ÷£ ¾ ¾® a + 2b £ + ¾ ¾® P = 2a + 4b - 3 £ 10. èç 2ø÷ èç 2ø÷ 2 2 2 5+ 10 5+ 2 10 Dấu " = " xảy ra Û a = ; b = . Chọn A. 10 10 æ1 1ö 2 Cách 2. Ta thấy (1) là hình tròn tâm I ç ; ÷, bán kính R = . èç2 2ø÷ 2 Ta có P = 2a + 4b - 3 Û D : 2a + 4b - 3- P = 0. Xem đây là phương trình đường thẳng. Để đường thẳng và hình tròn có điểm chung Û d [I,D]£ R 1 1 2. + 4. - 3- P 2 2 2 Û £ Û P £ 10 ¾ ¾® P £ 10. 4 + 16 2
10. 1 a Câu 103. Xét các số thực a, b thỏa mãn a³ b> 1. Biết rằng P = + loga đạt giá log(ab) a b trị lớn nhất khi b = ak . Khẳng định nào sau đây đúng? æ 3ö æ3 ö A. k Î ç0; ÷. B. k Î (- 1;0). C. k Î ç ;2÷. D. k Î (2;3). èç 2ø÷ èç2 ø÷ 1 a Lời giải. Ta có P = + loga = loga (ab)+ 1- loga b = 1+ loga b + 1- loga b log(ab) a b Khi b = ak ¾ ¾® P = 1+ k + 1- k . 2 2 æ 1ö 9 9 Đặt t = 1- k (k £ 1), ta được P = - t + t + 2 = - çt - ÷ + £ . èç 2ø÷ 4 4 1 3 æ 3ö Dấu '' = '' xảy ra Û t = ¾ ¾® k = Î ç0; ÷. Chọn A. 2 4 èç 2ø÷ 1 2 Cách trắc nghiệm. Ta chọn a = 2 Þ b = 2k . Khi đó P = + log . log 2 2 2k 2.2k ïì Start = - 1 1 2 ï Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f (X )= + log với íï End = 3 . log 2 2 2X ï 2.2X ï îï Step = 0,2 æ 3ö Dựa vào bảng giá trị dễ dàng thấy được k Î ç0; ÷ thì f (X ) lớn nhất. èç 2ø÷ Câu 104. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 æaö . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log2 a2 + 3log ç ÷. a ( ) b èç ø÷ b b A. Pmin = 19 .B. Pmin = 13 .C. Pmin = 14 .D. Pmin = 15 . æaö 2 æaö Lời giải. Ta có P = log2 (a2 )+ 3log ç ÷= é2 log aù + 3log ç ÷ a b èç ÷ø ê a ú b èç ÷ø b b ë b û b 2 é æa öù æaö 2 æaö = 4 êlog ç .b÷ú + 3log ç ÷= 4 é1+ log bù + 3log ç ÷. ê a èç ø÷ú b èç ø÷ ê a ú b èç ø÷ ë b b û b ë b û b 2 3 2 3 Đặt t = log a b > 0 (vì a > b > 1 ). Khi đó P = 4(1+ t) + = 4t + 8t + + 4. b t t 2 3 æ1ö Xét hàm f (t)= 4t + 8t + + 4 trên (0;+ ¥ ), ta được P = f (t)³ f ç ÷= 15. Chọn D. t èç2ø÷ Cách CASIO. Cho b = 1,1 và coi a là X . 2 ïì Start = 1,1 æ ö æ ö ï ç 2 ÷ çX ÷ ï Dùng MODE 7 khảo sát f (X )= çlog X (X )÷ + 3log1,1 ç ÷ với í End = 3 ç ÷ ç ÷ ï è 1,1 ø÷ è1,1ø ï îï Step = 0,1 Quan sát bảng giá trị, ta thấy f (X ) nhỏ nhất bằng 15 khi X = 1,3 . Câu 105. Xét các số thực a, b thỏa mãn a ³ b2 và b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a thức P = log a a + logb . b b 1 A. P = . B. P = 1. C. P = 3. D. P = 9. min 3 min min min ïì a > 1 1 1 log b Lời giải. Từ điều kiện, suy ra íï . Ta có P a . ï îï b > 1 1 loga b loga b
11. 1 Đặt t log b 0 . Do a ³ b2 ¾ ¾® log a ³ log b2 = 2 ¾ ¾® t = log b £ . a b b a 2 1 1 t Khi đó P f t . 1 t t 1 1 Khảo sát hàm f t trên 0; , ta được P f t f 3 . Chọn C. 2 2 1 1- t 1- t + t 1- t t 1- t Cosi Cách 2. P = + = + = 1+ + ³ 1+ 2 = 3. 1- t t 1- t t 1- t t Cách CASIO. Cho a = 4 khi đó 1 1 và a £ b 1 Lời giải. Từ điều kiện, suy ra íï . îï b > 1 1 1 4 Ta có P = + 4(logb a - 1)= + - 4 . 1- loga b 1- loga b loga b 1 Đặt t = log b > 0 . Do a £ b 1> b > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 3 P = log 2 a b + log a . thức a ( ) b A. Pmax = 1+ 2 3. B. Pmax = - 2 3. C. Pmax = - 2. D. Pmax = 1- 2 3. 2 3 2 3 loga a b loga a loga b + 2 6 P = log 2 a b + log a = + = + . Lời giải. Ta có a b 2 loga a loga b 2 loga b Đặt t = loga b . Do a > 1> b > 0 ¾ ¾® loga b < loga 1 = 0 ¾ ¾® t < 0. t + 2 6 t 6 æ t 6öCauchy Khi đó P = + = + + 1 = 1- ç- - ÷ £ 1- 2 3. Chọn D. 2 t 2 t èç 2 t ÷ø
12. 1 æa2 ö ç ÷ 3 Cách CASIO. Cho b = khi đó P = log 2 ç ÷- log2 a . 4 a èç 4 ÷ø ïì Start = 1,1 æ 2 ö ï çX ÷ 3 ï Dùng MODE 7 khảo sát f (X )= log 2 ç ÷- log X với End = 5 . X ç ÷ 2 í èç 4 ø÷ ï îï Step = 0,3 Quan sát bảng giá trị của f (X ) và so sánh với các đáp án ta chọn D. 3logx y 12 Câu 108. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = e + 1 với 0 0. y ln x 2 A. Pmin = 8 3. B. Pmin = e 3. C. Pmin = 8 2. D. Pmin = 4 6. 1 log log Lời giải. Ta có y ln x = y x e = e x y . (ở đây là sử dụng alogb c = c logb a ) 12 logx y 12 Suy ta P = e 3logx y + ¾ t¾= e ¾¾® P = t 3 + , t > 0. e logx y t 12 Xét hàm f (t)= t 3 + trên (0;+ ¥ ), ta được P = f (t)³ f ( 2)= 8 2. Chọn C. t Câu 109. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ³ ln(x 2 + y). Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y . A. Pmin = 6 . B. Pmin = 2 2 + 3 . C. Pmin = 2 + 3 2 . D. Pmin = 17 + 3 . Lời giải. Ta có ln x + ln y ³ ln(x 2 + y)Û ln(xy)³ ln(x 2 + y)Û xy ³ x 2 + y. Nếu 0 1 thì xy ³ x 2 + y Û y(x - 1)³ x 2 Û y ³ . Vậy P = x + y ³ x + . x - 1 x - 1 2 æ ö x ç2 + 2 ÷ Xét f (x)= x + trên (1;+ ¥ ), ta được min f (x)= f ç ÷= 2 2 + 3. Chọn B. x - 1 (1;+ ¥ ) èç 2 ø÷ Câu 110. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 1- xy log = 3xy + x + 2y - 4. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức P = x + y . 3 x + 2y min 9 11- 19 9 11 + 19 A. P = . B. P = . min 9 min 9 18 11- 29 2 11- 3 C. P = . D. P = . min 21 min 3 Lời giải. Điều kiện: x > 0, y > 0, xy 0, " t Î (0;+ ¥ ). 3 t.ln 3 3- x 3- x Từ đó suy ra (*)Û 3- 3xy = x + 2y ¾ ¾® y = ¾ ¾® P = x + . 3x + 2 3x + 2 æ ö 3- x ç- 2 + 11÷ 2 11- 3 Xét f (x)= x + trên(0;3), ta được min f (x)= f ç ÷= . Chọn D. 3x + 2 (0;3) èç 3 ø÷ 3 3- x Nhận xét. Do y = , mà y > 0 ¾ ¾® x < 3 . Kết hợp giả thiết ta có x Î (0;3). 3x + 2