Bài tập Toán Lớp 12 - Hệ phương trình mũ, hệ phương trình logarit (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Hệ phương trình mũ, hệ phương trình logarit (Có đáp án)

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Để giải hệ phương trình mũ, hệ phương trình logarit ta thường sửa dụng các phương pháp quen thuộc như: phương pháp thế, biến đổi hệ về phương trình Đại số, phương pháp hàm số, Cuối cùng là tạo ra một hệ đơn giản và kết luận nghiệm. ì ï x + 2y = - 1 Câu 1. Giải hệ phương trình í 2 . ï x+ y îï 4 = 16 A. (x; y)= (- 1;1), (x; y)= (3;- 7). B. (x; y)= (1;- 1), (x; y)= (- 7;3). C. (x; y)= (1;1), (x; y)= (3;7). D. (x; y)= (- 1;1), (x; y)= (3;7). ïì log x - log y = 2 Câu 2. Giải hệ phương trình íï . îï x - 10y = 900 ïì x = 100 ïì x = 1800 ïì x = 1000 ïì x = 10 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y = 10 îï y = 900 îï y = 10 îï y = 1000 ïì x + y = 25 Câu 3. Gọi (x ; y ) là một nghiệm của hệ phương trình íï . 0 0 ï îï log2 x - log2 y = 2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x0 = 4 y0 . B. x0 = 4 + y0 . C. y0 = 4x0 . D. y0 = 4 + x0 . Câu 4. Cặp số (x; y) nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình ïì log x + log 2y = 1+ log 9 íï 4 4 4 ? îï x + 2y = 20 A. (x; y)= (9;2). B. (x; y)= (18;1).C. (x; y)= (1;18). D. (x; y)= (16;2). ïì 2x.9 y = 162 Câu 5. Hệ phương trình íï có tất cả bao nhiêu nghiệm (x; y)? ï x y îï 3 .4 = 48 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . ïì 6x - 2.3y = 2 Câu 6. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình íï . ï x y îï 6 .3 = 12 A. (x; y)= (1;log3 4). B. (x; y)= (log6 2;1). C. (x; y)= (1;log3 2). D. (x; y)= (1;log3 2), (x; y)= (log6 2;1). ïì log x y = 2 Câu 7. Gọi (x ; y ) là một nghiệm của hệ phương trình íï . 0 0 ï + = îï log x + 1 (y 23) 3 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x0 = y0 . B. x0 > y0 . C. x0 < y0 . D. x0 = y0 + 2. ì x y ï 3 = 27.3 Câu 8. Tìm tập nghiệm S của hệ phương trình í . ï îï log(x + 2y)= log 5+ log 3 A. S = {(7;4)}. B. S = {(4;7)}. C. S = {(6;3)}. D. S = {(9;6)}. 4x Câu 9. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn = 2 và log(2x + 2y)= 1. 2 y A. (x; y)= (4;1). B. (x; y)= (2;3). C. (x; y)= (3;2). D. (x; y)= (5;9).
2. 2x- y ïì 2x- y ï æ2ö æ2ö 2 ï ç ÷ + 6ç ÷ - 7 = 0 Câu 10. Cho hệ phương trình í èç3ø÷ èç3ø÷ . Chọn khẳng định ï ï log9 (x- y) îï 3 = 1 đúng? A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x > y > 0 . B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; y). C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất (x; y)= (- 1;- 2). D. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI ì ï x + 2y = - 1 Câu 1. Giải hệ phương trình í 2 . ï x+ y îï 4 = 16 A. (x; y)= (- 1;1), (x; y)= (3;- 7). B. (x; y)= (1;- 1), (x; y)= (- 7;3). C. (x; y)= (1;1), (x; y)= (3;7). D. (x; y)= (- 1;1), (x; y)= (3;7). ì ï x + 2y = - 1 Lời giải. Hệ phương trình tương đương với í 2 ï x + y 2 îï 4 = 4 ïì x = - 2y - 1 ïì x + 2y = - 1 ïì x = - 2y - 1 ïì x = - 2y - 1 ï éy = - 1; x = 1 Û íï Û íï Û íï Û íï éy = - 1 Û ê . ï 2 ï 2 ï 2 ï ê êy = 3; x = - 7 îï x + y = 2 îï y - 2y - 1 = 2 îï y - 2y - 3 = 0 ï ê ë îï ëy = 3 Chọn B. Cách trắc nghiệm: Thay ngược từng đáp án và bấm máy tính. ïì log x - log y = 2 Câu 2. Giải hệ phương trình íï . îï x - 10y = 900 ïì x = 100 ïì x = 1800 ïì x = 1000 ïì x = 10 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï y = 10 îï y = 900 îï y = 10 îï y = 1000 Lời giải. Điều kiện: x, y > 0 . Hệ phương trình tương đương với ïì x ïì x ï log = 2 ï = 100 ïì x - 100y = 0 ïì x = 1000 íï y Û íï y Û íï Û íï . Chọn C. ï ï ïî x - 10y = 900 îï y = 10 îï x - 10y = 900 îï x - 10y = 900 ïì x + y = 25 Câu 3. Gọi (x ; y ) là một nghiệm của hệ phương trình íï . 0 0 ï îï log2 x - log2 y = 2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x0 = 4 y0 . B. x0 = 4 + y0 . C. y0 = 4x0 . D. y0 = 4 + x0 . ïì x > 0 Lời giải. Điều kiện: íï . Hệ phương trình tương đương với îï y > 0 ì x + y = 25 ì x + y = 25 ï ï ì ï ï ïì x + y = 25 ï x = 20 = x0 íï x Û íï x Û íï Û íï ¾ ¾® x = 4 y . Chọn A. ï log = 2 ï = 4 ï ï 0 0 ï 2 ï îï x - 4 y = 0 îï y = 5 = y0 îï y îï y
3. Câu 4. Cặp số (x; y) nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình ïì log x + log 2y = 1+ log 9 íï 4 4 4 ? îï x + 2y = 20 A. (x; y)= (9;2). B. (x; y)= (18;1).C. (x; y)= (1;18). D. (x; y)= (16;2). ïì x > 0 Lời giải. Điều kiện: íï . Hệ phương trình tương đương với îï y > 0 ïì log (2xy)= log 36 íï 4 4 ï îï x + 2y = 20 ïì éy = 1 ïì 2xy = 36 ïì xy = 18 ïì 2y2 - 20y + 18 = 0 ï ê éy = 1; x = 18 Û ï Û ï Û ï Û ï êy = 9 Û ê . í í í í ë ê îï x + 2y = 20 îï x = 20- 2y îï x = 20- 2y ï ëy = 9; x = 2 îï x = 20- 2y Chọn B. Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án. ïì 2x.9 y = 162 Câu 5. Hệ phương trình íï có tất cả bao nhiêu nghiệm (x; y)? ï x y îï 3 .4 = 48 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải. Nhân vế theo vế trong hệ phương trình, ta được 6x.36 y = 162.48 Û 6x + 2 y = 65 Û x + 2y = 5 . Thay x = 5- 2y và phương trình thứ hai của hệ, ta có 35- 2 y.4 y = 48 5 2 y 4 3 y 4 æ2ö æ2ö Û .4 = 2 .3 Û ç ÷ = ç ÷ Û 2y = 4 Û y = 2 ¾ ¾® x = 1. 9 y èç3ø÷ èç3ø÷ Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm (x; y)= (1;2). Chọn B. ïì 6x - 2.3y = 2 Câu 6. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình íï . ï x y îï 6 .3 = 12 A. (x; y)= (1;log3 4). B. (x; y)= (log6 2;1). C. (x; y)= (1;log3 2). D. (x; y)= (1;log3 2), (x; y)= (log6 2;1). ì x ï 6 = a > 0 ïì a - 2b = 2 Lời giải. Đặt í . Hệ phương trình trở thành íï ï y ï îï 3 = b > 0 îï ab = 12 ïì a = 2b + 2 ì ï ï a = 2b + 2 ïì a = 2b + 2 ï ïì a = 6 Û íï Û íï Û í éb = - 3(loaïi) Û íï . ï (2b + 2)b = 12 ï b2 + b - 6 = 0 ï ê ï b = 2 îï ïî ï ê îï îï ëêb = 2(thoûa maõn) ïì 6x = 6 ïì x = 1 Suy ra íï Û íï . Chọn C. ï y ï = log 2 îï 3 = 2 îï y 3 ïì log x y = 2 Câu 7. Gọi (x ; y ) là một nghiệm của hệ phương trình íï . 0 0 ï + = îï log x + 1 (y 23) 3 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x0 = y0 . B. x0 > y0 . C. x0 0 ì 2 ï y = x íï ï 3 îï y + 23 = (x + 1)
4. ïì = 2 ì 2 ïì y = x 2 ì ï y x ï y = x ï ï x = 2 = x0 Û íï Û íï Û íï Û íï . ï 2 3 ï 3 2 ï x - 2 x 2 + 4x + 11 = 0 ï y = 4 = y îï x + 23 = (x + 1) îï x + 2x + 3x - 22 = 0 îï ( )( ) îï 0 Chọn C. ì x y ï 3 = 27.3 Câu 8. Tìm tập nghiệm S của hệ phương trình í . ï îï log(x + 2y)= log 5+ log 3 A. S = {(7;4)}. B. S = {(4;7)}. C. S = {(6;3)}. D. S = {(9;6)}. ì x 3 y ï 3 = 3 .3 Lời giải. Điều kiện: x + 2y > 0. Hệ phương trình Û í ï îï log(x + 2y)= log15 ïì x = y + 3 ïì x = 7 Û íï Û íï . Chọn A. îï x + 2y = 15 îï y = 4 Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án. 4x Câu 9. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn = 2 và log(2x + 2y)= 1. 2 y A. (x; y)= (4;1). B. (x; y)= (2;3). C. (x; y)= (3;2). D. (x; y)= (5;9). Lời giải. Điều kiện: x + y > 0 . 4x = 2 Û 22x- y = 2 Û 2x - y = 1. (1) 2 y log(2x + 2y)= 1 Û 2x + 2y = 10. (2) ïì 2x - y = 1 ïì x = 2 Từ (1) và (2), ta có hệ íï Û íï . Chọn B. îï 2x + 2y = 10 îï y = 3 2x- y ïì 2x- y ï æ2ö æ2ö 2 ï ç ÷ + 6ç ÷ - 7 = 0 Câu 10. Cho hệ phương trình í èç3ø÷ èç3ø÷ . Chọn khẳng định ï ï log9 (x- y) îï 3 = 1 đúng? A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x > y > 0 . B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; y). C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất (x; y)= (- 1;- 2). D. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải. Điều kiện: x - y > 0 Û x > y . Do đó A sai. 2x- y 2x- y 2x- y æ2ö æ2ö 2 æ2ö 2 Xét phương trình thứ nhất của hệ: ç ÷ + 6ç ÷ - 7 = 0 . Đặt t = ç ÷ > 0 , èç3÷ø èç3÷ø èç3ø÷ phương trình trở thành 2x- y ét = 1(thoûa maõn) æ ö 2 2 ê 2 2x - y t + 6t - 7 = 0 Û ¾ ¾® ç ÷ = 1 Û = 0. ê èç ø÷ ëêt = - 7(loaïi) 3 2 Phương tình thứ hai của hệ: log9 (x- y) log9 (x- y) 0 3 = 1 Û 3 = 3 Û log9 (x - y)= 0 Û x - y = 1. ïì 2x - y = 0 ïì x = - 1 Từ đó ta có Û íï Û íï : thỏa mãn điều kiện. îï x - y = 1 îï y = - 2 Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất (x; y)= (- 1;- 2). Chọn C.