Bài tập Toán Lớp 12 - Hình nón, khối nón (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Hình nón, khối nón (Có đáp án)

1. HÌNH NÓN - KHỐI NÓN Câu 1. Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc a = 600 . Diện tích toàn phần của hình nón bằng: A. 4pa2 . B. 3pa2 . C. 2pa2 . D. pa2 . Câu 2. Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a 2 , góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích xung quanh của hình nón bằng: A. 4pa2 . B. 3pa2 . C. 2pa2 . D. pa2 . Câu 3. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = a 3 . Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng: A. l = a. B. l = a 2. C. l = a 3. D. l = 2a. Câu 4. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là: 2 (1+ 2)pa 2pa3 2pa2 2pa3 A. và . B. và . 2 12 2 4 2 (1+ 2)pa 2pa3 2pa2 2pa3 C. và . D. và . 2 4 2 12 Câu 5. Cạnh bên của một hình nón bằng 2a . Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120° . Diện tích toàn phần của hình nón là: A. p2 (3+ 3). B. 2pa2 (3+ 3).C. 6pa2 .D. pa2 (3+ 2 3). Câu 6. Cho mặt cầu tâm O , bán kính R = a . Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường 3a thẳng SO tại H sao cho SH = . Độ dài đường sinh l của hình nón bằng: 2 A. l = a. B. l = a 2. C. l = a 3. D. l = 2a. Câu 7. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O , bán kính R . Dựng hai đường sinh SA và SB , biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 600 , khoảng Trang 1
2. R cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng . 2 Đường cao h của hình nón bằng: R 6 R 3 A. h = . B. h = . C. h = a 3. D. h = a 2. 4 2 Câu 8. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O . Dựng hai đường sinh SA và SB , biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2 . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 300 . Đường cao h của hình nón bằng: a 6 a 3 A. h = . B. h = . C. h = a 3. D. h = a 2. 4 2 Câu 9. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của · · hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB = 600 . Độ dài đường sinh l của hình nón bằng: A. l = a. B. l = a 2. C. l = a 3. D. l = 2a. Câu 10. Một hình nón có bán kính đáy R , góc ở đỉnh là 60° . Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90° . Diện tích của thiết diện là: 2 2 2 2 A. R 7 .B. R 3 .C. 3R .D. R 6 . 2 2 2 2 Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ tâm O a của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là . Thể tích của khối nón 2 ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng: 4pa3 4pa3 4pa3 2pa3 A. . B. . C. . D. . 3 9 27 3 Câu 12. Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO = h , đường sinh SA . Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S , đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng: h 2 a 2 a 2 h 2 A. . B. . C. . D. . 2a 2h h a Câu 13. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O '), chiều cao R 3 và bán kính đáy R . Một hình nón có đỉnh là O ' và đáy là hình tròn (O;R). Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng: A. 2 .B. 2 .C. 3 .D. 3 . Trang 2
3. Câu 14. Một hình nón có đường cao bằng 9cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5cm . Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là: A. 27 .B. 81 .C. 27 .D. 81 . 500 500 125 125 Câu 15. Cho hình nón có bán kính đáy là 5a , độ dài đường sinh là 13a . Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng: 3 3 3 3 A. 4000pa .B. 4000pa .C. 40pa .D. 400pa . 81 27 9 27 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 1. Theo giả thiết, ta có S SA = l = 2a và S·AO = 600 . Suy ra A O R = OA = SA.cos 600 = a . Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = pRl + pR2 = 3pa2 (đvdt). Chọn B. Câu 2. Theo giả thiết, ta có S OA = a 2 và O·SA = 300 . 300 Suy ra độ dài đường sinh: A OA O l = SA = = 2a 2. sin 300 Vậy diện tích xung quanh bằng: 2 Sxq = pRl = 4pa (đvdt). Chọn A. Câu 3. Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a 3 và chiều cao hình nón là AB = a . Vậy độ dài đường sinh của hình nón là: B l = BC = AB 2 + AC 2 = 2a. Chọn D. TrangA 3 C
4. Câu 4. Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón, thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB . S Theo bài ra ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên SB 2 a 2 AB = SB 2 = a 2 , SO = = . 2 2 B A O a 2 Suy ra h = SO = , l = SA = a và 2 SB 2 2a SB 2 = 2R Þ R = = . 2 2 (1+ 2)pa2 Diện tích toàn phần của hình nón: S = pRl + pR2 = (đvdt). tp 2 1 2pa3 Thể tích khối nón là: V = pR2h = (đvtt). Chọn A. 3 12 S Câu 5. Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB . 600 Theo giả thiết, ta có SA = 2a và A·SO = 60° . B A Trong tam giác SAO vuông tại O , ta có O OA = SA.sin 60° = a 3. Vậy diện tích toàn phần: 2 2 2 Stp = pRl + pR = p.OA.SA + p(OA) = pa (3+ 2 3) (đvdt). Chọn B. Câu 6. Gọi S ' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón. Tam giác SAS ' vuông tại A và có đường cao AH nên SA2 = SH.SS ' Þ SA = a 3. Chọn C. Trang 4
5. Câu 7. Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R . R 3 Gọi E là trung điểm AB , suy ra OE ^ AB và OE = . 2 Gọi H là hình chiếu của O trên SE , suy ra OH ^ SE . ïì AB ^ OE Ta có íï Þ AB ^ (SOE)Þ AB ^ OH. îï AB ^ SO R Từ đó suy ra OH ^ (SAB) nên d éO,(SAB)ù= OH = . ë û 2 Trong tam giác vuông SOE , ta có 1 1 1 8 R 6 = - = Þ SO = . SO 2 OH 2 OE 2 3R2 4 Chọn A. Câu 8. Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S . S ïì SE ^ AB 1 Gọi E là trung điểm AB , suy ra íï và SE = AB . îï OE ^ AB 2 1 1 1 Ta có S = AB.SE = 4a2 Û AB. AB = 4a2 DSAB 2 2 2 Þ AB = 4a Þ SE = 2a . H A O Gọi H là hình chiếu của O trên SE , suy ra OH ^ SE . E B ïì AB ^ OE Ta có íï Þ AB ^ (SOE)Þ AB ^ OH. îï AB ^ SO Từ đó suy ra OH ^ (SAB) nên 300 = S·O,(SAB)= S·O,SH = O·SH = O·SE. Trong tam giác vuông SOE , ta có SO = SE.cosO·SE = a 3. Chọn C. Câu 9. Gọi I là trung điểm AB , suy ra OI ^ AB, SI ^ AB và OI = a . S SA 3 Trong tam giác vuông SOA , ta có OA = SA.cosS·AO = . 2 Trang 5 O B I A
6. SA Trong tam giác vuông SIA , ta có IA = SA.cosS·AB = . 2 Trong tam giác vuông OIA , ta có 3 1 OA2 = OI 2 + IA2 Û SA2 = a2 + SA2 Þ SA = a 2. 4 4 Chọn B. Câu 10. Vì góc ở đỉnh là 60° nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R . Suy ra đường cao của hình nón là SI = R 3 . Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90° nên IAB là tam giác vuông cân tại I , suy ra AB = R 2 . S Gọi M là trung điểm của AB thì ïì IM ^ AB R 2 íï và IM = . îï SM ^ AB 2 Trong tam giác vuông SIM , ta có R 14 C A SM = SI 2 + IM 2 = . 2 I M B 1 R2 7 Vậy S = AB.SM = (đvdt). DSAB 2 2 Chọn A. Câu 11. Gọi E là trung điểm của BC , dựng OH ^ SE tại H . a Chứng minh được OH ^ (SBC ) nên suy ra OH = d éO,(SBC )ù= . ë û 2 Trong tam giác đều ABC , ta có S 1 1 2a 3 a 3 2 2a 3 OE = AE = . = và OA = AE = . 3 3 2 3 3 3 Trong tam giác vuông SOE , ta có 1 1 1 1 1 1 1 C 2 = 2 + 2 Þ 2 = 2 - 2 = 2 Þ SO = a .A OH OE SO SO OH OE a H O E Trang 6 B
7. Vậy thể tích khối nón 2 æ ö p 3 1 2 1 ç2a 3 ÷ 4 a V = pOA .SO = pç ÷ .a = (đvtt). 3 3 èç 3 ø÷ 9 Chọn B. Câu 12. Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc A·SO . S Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra a 2 OA = . 2 B Trong tam giác vuông SOA , ta có A C O OA a 2 D tan A·SO = = . Chọn C. SO 2h Câu 13. Diện tích xung quanh của hình trụ: O' 2 Sxq(T) = 2pR.h = 2pR.R 3 = 2 3pR (đvdt). Kẻ đường sinh O ' M của hình nón, suy ra l = O ' M = OO '2 + OM 2 = 3R2 + R2 = 2R . Diện tích xung quanh của hình nón: O M 2 Sxq(N) = pRl = pR.2R = 2pR (đvdt). S Vậy xq(T) = 3. Chọn C. Sxq(N) Câu 14. Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm , OS = OA = 5cm . Suy ra OH = 4cm và AH = OA2 - OH 2 = 3cm. 1 Thể tích khối nón V = pAH 2 .SH = 27p (đvtt). n 3 Trang 7
8. 4 500p Thể tích khối cầu V = p.SO 3 = (đvtt). c 3 3 V 81 Suy ra n = . Chọn B. Vc 500 Câu 15. Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB . Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB . Trong tam giác vuông SOB , gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO . Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính r = IO = IE ( E là hình chiếu vuông góc của I trên SB ). IS BS 13 Theo tính chất phân giác, ta có = = . IO BO 5 Lại có IS + IO = SO = SB 2 - OB 2 = 12 . 26 10 Từ đó suy ra IS = , IO = . 3 3 Ta có DSEI ÿ DSOB nên IE BO 5 5 10 = = Þ IE = IS = . IS BS 13 13 3 Thể tích khối cầu: 3 3 4 3 4 æ10aö 4000pa V = pr = pç ÷ = (đvtt). Chọn A. 3 3 èç 3 ø÷ 81 Trang 8