Bài tập Toán Lớp 12 - Hình trụ, khối trụ (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Hình trụ, khối trụ (Có đáp án)

1. HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ Câu 1. Xét các mệnh đề (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng D cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ. (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ. Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I).B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II).D. Không có mệnh đề đúng. Câu 2. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a . Thể tích khối trụ bằng: pa3 pa3 pa3 A. pa3. B. . C. . D. . 2 3 4 Câu 3. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là: A. 2( 3 + 1)pR2 và 2 3pR2 .B. 2 3pR2 và 2( 3 + 1)pR2 . C. 2 3pR2 và 2pR2 .D. 2 3pR2 và 2 3pR2 + R2 . Câu 4. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằn 2R . Diện tích toàn phần của khối trụ bằng: A. 4pR2 . B. 6pR2 . C. 8pR2 . D. 2pR2 . Câu 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 70cm , chiều cao hình trụ h = 20cm . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu? A. 80cm. B. 100cm. C. 100 2cm. D. 140cm. Câu 6. Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm . Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng: A. 10cm. B. 6cm. C. 5cm. D. 8cm. Câu 7. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300 . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:
2. R 3 R 3 A. R. B. R 3. C. . D. . 2 4 Câu 8. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O ' , bán kính bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B sao cho AB = 2a . Thể tích của khối tứ diện OO ' AB bằng: 3a3 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 4 2 Câu 9. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O '), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O '). Biết a 3 AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO ' bằng . Bán kính đáy bằng: 2 a 14 a 14 a 14 a 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 9 Câu 10. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhậtA BCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng: A. 2p .B. 3p .C. 4p .D. 8p . Câu 11. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng: a3 a3 A. .B. pa3 .C. .D. 2pa3 . p 2p Câu 12. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng: a a a A. .B. .C. .D. 2pa . p 2 2p Câu 13. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm´ 240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
3. ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò được V theo cách 2. Khi đó tỉ số 1 bằng: V2 1 A. . B. 1. C. 2 . D. 4 . 2 Câu 14. Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng: A. h = R . B. h = 2R . C. h = 3R . D. h = 2R . Câu 15. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O '), chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng (a) đi qua trung điểm của OO ' và tọa với OO ' một góc 30° . Hỏi (a) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2R .B. 4R . C. 2R 2 . D. 2R . 3 3 3 3 3 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 1. Hiển nhiên (I) đúng. Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ). Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB . Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng. Chọn C. Câu 2. Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = a . a pa3 Bán kính đáy R = . Do đó thể tích khối trụ V = R2p.h = (đvtt). Chọn D. 2 4
4. 2 Câu 3. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2pR.R 3 = 2 3pR (đvdt). Diện tích toàn phần của hình trụ: 2 2 2 Stp = Sxq + 2.Sday = 2 3pR + 2(pR )= 2( 3 + 1)pR (đvdt). Chọn B. Câu 4. Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R . 2 Diện tích toàn phần là: Stp = 2pR(R + h)= 6pR (đvdt). Chọn B. Câu 5. Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO ' của hình trụ. Dựng đường sinh AA' , ta có B ïì CD ^ AA' í Þ CD ^ (AA' D)Þ CD ^ A' D . O ï CD ^ AD î A Suy ra A'C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140cm. C O' Xét tam giác vuông AA'C , ta có A' D AC = AA'2 + A'C 2 = 100 2cm. Suy ra cạnh hình vuông bằng 100cm. Chọn B. Câu 6. Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ. Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8cm và 6cm . Do đó độ đài đường chéo: 82 + 62 = 10cm. Chọn A. A Câu 7. Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O ' B = R. O Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì O ' A' = R, AA' = R 3 và B·AA' = 300 . Vì OO ' P(ABA') nên A' d éOO ',(AB)ù= d éOO ',(ABA')ù= d éO ',(ABA')ù. O' ë û ë û ë û H B Gọi H là trung điểm A' B , suy ra O ' H ^ A' Bü ï é ù ý Þ O ' H ^ (ABA') nên d ëO ',(ABA')û= O ' H . O ' H ^ AA'þï
5. Tam giác ABA' vuông tại A' nên BA' = AA' tan 300 = R. R 3 Suy ra tam giác A' BO ' đều có cạnh bằng R nên O ' H = . Chọn C. 2 Câu 8. Kẻ đường sinh AA' , gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm O ' và H là hình chiếu của B trên A' D . A' O' H D 1 Ta có BH ^ (AOO ' A') nên VOO ' AB = SDAOO ' .BH . B 3 Trong tam giác vuông A' AB có A' B = AB 2 - AA'2 = 3a . Trong tam giác vuông A' BD có BD = A' D 2 - A' B 2 = a . 3a Do đó suy ra tam giác BO ' D nên BH = . A O 2 æ ö 3 1 ç1 2 ÷ a 3 3a Vậy VOO ' AB = .ç a ÷. = (đvtt). Chọn A. 3 èç2 ø÷ 2 12 Câu 9. Dựng đường sinh BB ' , gọi I là trung điểm của AB ' , ta có ïì OI ^ AB ' íï Þ OI ^ (ABB '). îï OI ^ BB ' a 3 B Suy ra d [AB,OO ']= d éOO ',(ABB ')ù= d éO,(ABB ')ù= OI = . ë û ë û 2 O' Gọi bán kính đáy của hình trụ là R . Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên OO ' = BB ' = 2R. Trong tam giác vuông AB ' B , ta có B' I O AB '2 = AB 2 - BB 2 = 4a2 - 4R2 . A Trong tam giác vuông OIB ' , ta có 2 æ ö æ ö2 2 2 2 2 ça 3 ÷ çAB '÷ OB ' = OI + IB ' Û R = ç ÷ + ç ÷ . èç 2 ø÷ èç 2 ø a 14 Suy ra AB '2 = 4R2 - 3a2 . Từ đó ta có 4a2 - 4R2 = 4R2 - 3a2 Þ R = . Chọn A. 4
6. Câu 10. AD Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h = AB = 1 , bán kính đáy R = = 1 . 2 A M D Do đó diện tích toàn phần: 2 Stp = 2pRh + 2pR = 4p. B N C Chọn C. Câu 11. Gọi bán kính đáy là R . a Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2pR = 2a Û R = . p Suy ra hình trụ này có đường cao h = a. 2 3 2 æa ö a Vậy thê tích khối trụ V = pR h = pç ÷ a = (đvtt). Chọn A. èçpø÷ p Câu 12. Gọi bán kính đáy là R . Từ giả thiết suy ra h = 2a và chu vi đáy bằng a . a Do đó 2pR = a Û R = . Chọn C. 2p Câu 13. Công thức thể tích khối trụ V = pR2h . æ ö2 120 ç120÷ ● Ở cách 1, suy ra h = 50cm và 2pR1 = 240 Û R1 = . Do đó V1 = p.ç ÷ .50 (đvtt). p èç p ø÷ 60 ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h = 50cm và 2pR = 120 Û R = . 2 2 p é æ ö2 ù ê ç60÷ ú Do đó V2 = 2´ p.ç ÷ .50 (đvtt). ê èç ø÷ ú ëê p ûú V Suy ra 1 = 2. Chọn C. V2 V Câu 14. Công thức tính thể tích V = pR2h , suy ra h = . pR2 Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là: 2V S = S + S = 2pRh + pR2 = + pR2 . tp xq day R
7. 2V Xét hàm f (R)= + pR2 trên (0;+ ¥ ), ta được min f (R) đạt tại R = h. Chọn A. R (0;+ ¥ ) Câu 15. Hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có: O' OA = OB = R , OO ' = 2R và I·MO = 300 . R Trong tam giác vuông MOI , ta có OI = MO.tan 300 = . 3 M Trong tam giác vuông AIO , ta có B æ ö2 2 2 2 ç R ÷ R 2 I O IA = OA - OI = R - ç ÷ = . èç 3 ø÷ 3 A 2R 2 Suy ra AB = 2IA = . Chọn C. 3