Bài tập Toán Lớp 12 - Max, min số phức (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Max, min số phức (Có hướng dẫn giải)

1. BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC. Kỹ năng: • Phương pháp đại số. • Phương pháp hình học. • Phương pháp bđt modun. • Phương pháp casio. Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:  ▪ Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b2 ▪ Tính chất  • z a2 b2 zz OM • z 0, z £ , z 0 z 0 z z • z.z' z . z' • , z' 0 • z z' z z' z z' z' z' • kz k . z ,k ¡ 2 2  Chú ý: z2 a2 b2 2abi (a2 b2 )2 4a2b2 a2 b2 z z z.z . Lưu ý: • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 . • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 2 2 2 2 • z z z z 2 z z 1 2 1 2 1 2 2 2 • z z z z z £ 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax by c 0 (1) (1)Đường thẳng :ax by c 0 z a bi z c di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với A a,b ,B c,d 2 2 x a y b R2 hoặc Đường tròn tâm I a;b , bán kính R z a bi R 2 2 x a y b R2 hoặc Hình tròn tâm I a;b , bán kính R z a bi R 2 2 r2 x a y b R2 hoặc Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I a;b , bán kính lần lượt là r z a bi R r,R
2. y ax2 bx c Parabol c 0 2 x ay by c 2 2 x a y c 1 Elip 1 1 hoặc b2 d2 z a1 b1i z a2 b2i 2a 2 Elip nếu 2a AB , A a1 ,b1 ,B a2 ,b2 Đoạn AB nếu 2a AB 2 2 x a y c Hypebol 1 b2 d2 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z . Khi đó ta có Min ✓ Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a; b 1 1 2 2 z z0 a b Min 2 2 ✓ a b z i 2 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Tìm z . Ta có min ✓ Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a; b ,B c;d a2 b2 c2 d2 ✓ z d O, AB Min 2 2 2 a c b d Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1: ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Khi đó ta biến đổi z a bi z c di z a bi z c di . ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di . Khi đó ta biến đổi a bi c di iz a bi iz c di z z z b ai z d ci . i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn. TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R 0 z z R . Tìm z , z . Ta có 0 Max Min ✓ Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b bán kính R
3. z OI R a2 b2 R z R Max 0 ✓ z OI R a2 b2 R z R Min 0 Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. a bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z (Chia hai vế cho i ) i i z b ai R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R R c di z a bi R z c di c di c2 d2 z1 R Hay viết gọn z0z z1 R z (Chia cả hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi đó ta có x2 y2 ✓ Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip: 1 a2 a2 c2 z a Max ✓ z a2 c2 Min TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z2 2a Thỏa mãn 2a z1 z2 . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ). Ta có Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z1 z z2 2a , z1 z2 2a và z1 ,z2 c, ci ). Tìm Max, Min của P z z0 .
4. z z 2c Đặt 1 2 2 2 2 b a c z1 z2 PMax a Nếu z0 0 (dạng chính tắc) 2 PMin b z1 z2 z1 z2 z0 a PMax z0 a Nếu 2 2 z z k z z z z 0 1 0 2 P z 1 2 a Min 0 2 z z z z 1 2 1 2 z0 a PMax z0 a Nếu 2 2 z0 z1 k z0 z2 Nếu z z z z z z 0 1 0 2 P z 1 2 b Min 0 2 PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT. Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số. Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học. Xem hướng dẫn trên lớp. Dạng 3: Tả phí lù. Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2 A. z 1 2i . B. z i . C. z i . D. z 1 2i . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x, y ¡ 2 2 2 z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 x 2 y 1 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 x 2y 1 2 2 2 2 2 2 2 1 5 z x y 2y 1 y 5y 4y 1 5 y 5 5 5 5 2 1 Suy ra z khi y x min 5 5 5
5. BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC. Kỹ năng: • Phương pháp đại số. • Phương pháp hình học. • Phương pháp bđt modun. • Phương pháp casio. Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:  ▪ Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b2 ▪ Tính chất  • z a2 b2 zz OM • z 0, z £ , z 0 z 0 z z • z.z' z . z' • , z' 0 • z z' z z' z z' z' z' • kz k . z ,k ¡ 2 2  Chú ý: z2 a2 b2 2abi (a2 b2 )2 4a2b2 a2 b2 z z z.z . Lưu ý: • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 . • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 • z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 2 2 2 2 • z z z z 2 z z 1 2 1 2 1 2 2 2 • z z z z z £ 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax by c 0 (1) (1)Đường thẳng :ax by c 0 z a bi z c di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với A a,b ,B c,d 2 2 x a y b R2 hoặc Đường tròn tâm I a;b , bán kính R z a bi R 2 2 x a y b R2 hoặc Hình tròn tâm I a;b , bán kính R z a bi R 2 2 r2 x a y b R2 hoặc Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I a;b , bán kính lần lượt là r z a bi R r,R