Bài tập Toán Lớp 12 - Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, bất phương trình logarit (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, bất phương trình logarit (Có đáp án)

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOAGRIT Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2- x + 3 và đường thẳng y = 11. A. (3;11). B. (- 3;11). C. (4;11). D. (- 4;11). x 2 + 2x + 3 Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 = 8x. A. S = {1;3}. B. S = {- 1;3}. C. S = {- 3;1}. D. S = {- 3}. æ2ö4 x æ3ö2x- 6 Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình ç ÷ = ç ÷ . èç3ø÷ èç2ø÷ A. S = {1}. B. S = {- 1}. C. S = {- 3}. D. S = {3}. 2 1 Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình e x - 3x = . e 2 A. T = 3. B. T = 1. C. T = 2. D. T = 0. 2018 x log8 9 Câu 5. Biết rằng phương trình 3 - 2 = 0 có nghiệm duy nhất x = x0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 0 là số nguyên tố. B. x 0 là số chính phương. C. x 0 chia hết cho 3. D. x 0 là số chẵn. 1 3 x + x + Câu 6. Biết rằng phương trình 9x - 2 2 = 2 2 - 32x- 1 có nghiệm duy nhất 1 x = x0 . Tính giá trị biểu thức P = x0 + log 9 2. 2 2 1 1 A. P = 1. B. P = 1- log 9 2 . C. P = 1- log 9 2 . D. P = log 9 2 . 2 2 2 2 2 Câu 7. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho phương trình 4x + 2x + 1 - 3 = 0 . Khi đặt t = 2x , ta được: A. t 2 + t - 3 = 0. B. 2t 2 - 3 = 0. C. t 2 + 2t - 3 = 0. D. 4t - 3 = 0. Câu 8. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3.9x - 10.3x + 3 = 0. A. P = 1. B. P = - 1 . C. P = 0 . D. P = 9. Câu 9. Tìm tập S nghiệm của phương trình e 6x - 3e 3x + 2 = 0. ïì ln 2ïü ïì ln 2ïü A. S = {0;ln 2} .B. S = íï 0; ýï . C. S = íï 1; ýï .D. S = {1;ln 2} . îï 3 þï îï 3 þï 2 2 Câu 10. Phương trình 4x + x + 2x + x + 1 - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm không âm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 2 Câu 11. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4tan x + 2 cos2 x - 3 = 0 trên đoạn [0;3p]. 3p A. T = p. B. T = . C. T = 6p. D. T = 0. 2 Câu 12. Tính P là tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 2x- 1 + 22- x = 3. A. P = 1. B. P = 3. C. P = 5. D. P = 9. 2 2 Câu 13. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 51+ x - 51- x = 24 . Tập S có bao nhiêu phần tử?
2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. x æ ö2x + 2 2 ç 1 ÷ Câu 14. Phương trình 9 + 9.ç ÷ - 4 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? èç 3 ø÷ A. 0. B. 1.C. 2. D. 4. 2 2 Câu 15. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin x + 5cos x = 2 5 trên đoạn [0;2p]. 3p A. T = p. B. T = . C. T = 2p. D. T = 4p. 4 Câu 16. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x + 2.3x - 6x = 2 bằng: A. 2 2 . B. 25. C. 7. D. 1. Câu 17. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 6x - 2.2x - 81.3x + 162 = 0. A. P = 4. B. P = 6. C. P = 7. D. P = 10. Câu 18. Gọi x1, x2 lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương x 2 + x- 1 x 2 - 1 2x x trình 2 - 2 = 2 - 2 . Tính S = x1 + x2 . 1 5 A. S = 0. B. S = 1. C. S = . D. S = . 2 2 2 2 2 Câu 19. Phương trình 4x + x + 21- x = 2(x + 1) + 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 20. Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4.(22x + 2- 2x )- 4.(2x + 2- x )- 7 = 0 A. S = 1. B. S = - 1. C. S = 3. D. S = 0. log (x + 3) Câu 21. Phương trình 2 5 = x có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1.B. 2 . C. 3 . D. 0 . 2 Câu 22. Biết rằng phương trình 4log2 2x - x log2 6 = 2.3log2 4 x có nghiệm duy nhất x = x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 Î (- ¥ ;- 1). B. x0 Î [- 1;1]. C. x0 Î (1; 15). D. x Î é 15;+ ¥ . 0 ëê ) 2 2 - 5 Câu 23. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình (x - 3) x x = 1 . 13 15 A. T = 0. B. T = 4. C. T = . D. T = . 2 2 2 Câu 24. Cho phương trình 2016x .2017x = 2016x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. B. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm. C. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. D. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm bằng 0. Câu 25. Phương trình 3.25x- 2 + (3x - 10)5x- 2 + 3- x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 Câu 26. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3x .2x = 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 A. T > 1. B. T = 1. C. - < T < 1. D. T < - . 2 2
3. 2 Câu 27. Cho hàm số f (x)= 3x + 1.5x . Mệnh đề nào sau đây là sai? 2 2 A. f (x)= 1 Û (x + 1)log5 3+ x = 0. B. f (x)= 1 Û (x + 1)log 1 3- x = 0. 5 2 2 C. f (x)= 1 Û x + 1- x log3 5 = 0. D. f (x)= 1 Û (x + 1)ln 3+ x ln 5 = 0. x x x + 1 Câu 28. Gọi x 0 là nghiệm nguyên của phương trình 5 .8 = 100 . Tính giá trị của biểu thức P = x0 (5- x0 )(x0 + 8). A. P = 40. B. P = 50. C. P = 60. D. P = 80. 2x- 3 2 Câu 29. Phương trình 3x - 2.4 x = 18 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 2x- 2- m Câu 30. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x- 1.5 x- m = 15 , m là tham số khác 2. A. S = {2;m log3 5}. B. S = {2;m + log3 5}. C. S = {2}. D. S = {2;m - log3 5}. 2 3 Câu 31. Biết rằng phương trình 3x + 1.25x- 1 = có đúng hai nghiệm x , x . Tính 25 1 2 giá trị của P = 3x1 + 3x2 . 26 26 A. P = . B. P = 26. C. P = 26. D. P = . 5 25 2 2 Câu 32. Phương trình 2x- 1 - 2x - x = (x - 1) có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 33. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2017sin x - 2017cos x = cos 2x trên đoạn [0;p]. p p 3p A. x = p. B. x = . C. x = . D. x = . 4 2 4 2 Câu 34. Biết rằng phương trình 3x - 1 + (x 2 - 1)3x + 1 = 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng: A. 2. B. 0. C. 8. D. - 8. 2 Câu 35. Cho phương trình 2016x - 1 + (x 2 - 1).2017x = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0 B. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. C. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt. D. Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm. 1 3 æ öx æ ö ç 2 ÷ ç 2 ÷ Câu 36. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ç ÷ £ ç ÷ . èç 5 ø÷ èç 5 ø÷ æ ö æ ù ç 1÷ ç 1 A. S = ç0; ÷. B. S = ç0; ú. èç 3ø èç 3ûú æ 1ù æ 1ù C. S = ç- ¥ ; ú.D. S = ç- ¥ ; úÈ(0;+ ¥ ). èç 3ûú èç 3ûú 2 æ pöx - x- 9 æ pöx- 1 Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn çtan ÷ £ çtan ÷ . èç 7 ø÷ èç 7 ø÷ A. x £ - 2. B. x ³ 4. C. - 2 £ x £ 4. D. x £ - 2 ; x ³ 4.
4. 1 Xét hàm f (t)= t + với t > 0 . t Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được m ³ 2 . Chọn D. Câu 84. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4sin x + 21+ sin x - m = 0 có nghiệm. 5 5 5 5 A. £ m £ 8. B. £ m £ 9. C. £ m £ 7. D. £ m £ 8. 4 4 4 3 1 Lời giải. Đặt t = 2sin x , điều kiện £ t £ 2. 2 Phương trình trở thanh t 2 + 2t - m = 0 Û t 2 + 2t = m . é ù æ ö 2 1 ç1 ÷ Xét hàm f (t)= t + 2t trên đoạn ê ;2ú, ta có f '(t)= 2t + 2 > 0, " t Î ç ;2÷. ëê2 ûú èç2 ø é1 ù Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên đoạn ê ;2ú. ëê2 ûú Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi min f (t)£ m £ max f (t) é1 ù é1 ù ê ;2ú ê ;2ú ëê2 ûú ëê2 ûú æ1ö 5 Û f ç ÷£ m £ f (2)Û £ m £ 8. Chọn A. èç2ø÷ 4 Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 + 2 + 1 2 - 3 æ2öx mx æe ö x m ç ÷ £ ç ÷ nghiệm đúng với mọi x . èçe ÷ø èç2ø÷ A. m Î (- 5;0).B. m Î [- 5;0]. C. m Î (- ¥ ;- 5)È(0;+ ¥ ). D. m Î (- ¥ ;- 5]È[0;+ ¥ ). - x 2 - 2mx- 1 2x- 3m æe ö æe ö 2 Lời giải. Bất phương trình Û ç ÷ £ ç ÷ Û - x - 2mx - 1£ 2x - 3m èç2ø÷ èç2÷ø Û x 2 + 2(m + 1)x - 3m + 1³ 0. ì ïì 1> 0 2 ï a > 0 ï Ycbt Û x + 2(m + 1)x - 3m + 1³ 0," x Î ¡ Û íï Û í ï D £ ï 2 îï ' 0 îï (m + 1) + 3m - 1£ 0 Û m2 + 5m £ 0 Û - 5 £ m £ 0. Chọn B. Câu 86. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số m x x + 1 để phương trình 9 - 2.3 + m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 6. B. m = - 3. C. m = 3. D. m = 1. Lời giải. Ta có 9x - 2.3x + 1 + m = 0 Û 32x - 6.3x + m = 0. Đặt t = 3x > 0 , phương trình trở thành t 2 - 6t + m = 0 . (*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm Û phương trình (*) có hai nghiệm dương ïì D ' ³ 0 ïì 9- m ³ 0 ï ï Û íï S > 0 Û íï 6 > 0 Û 0 0 îï m > 0 Theo định lí Viet, ta có 3x1.3x2 = m Û 3x1 + x2 = m Û 3 = m. (thỏa). Chọn C. Cách trắc nghiệm. Thử lần lượt 4 đáp án để chọn. Câu 87. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4x - m.2x + 1 + 2m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2. A. m = 4. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 1.
5. 2 Lời giải. Phương trình tương đương với (2x ) - 2m.2x + 2m = 0 . Đặt t = 2x > 0 , phương trình trở thành t 2 - 2mt + 2m = 0 . (*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm Û phương trình (*) có hai nghiệm dương ì 2 ïì D ' ³ 0 ï m - 2m ³ 0 ï ï Û íï S > 0 Û íï 2m > 0 Û m ³ 2. ï ï îï P > 0 îï 2m > 0 Theo định lí Viet, ta có 2x1.2x2 = 2m Û 2x1 + x2 = 2m Û 4 = 2m Û m = 2 (thỏa). Chọn C. Câu 88. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2x- 1 x 2017 - 2m.2017 + m = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 0. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 1. 1 2 Lời giải. Phương trình Û (2017x ) - 2m.2017x + m = 0 2017 2 Û (2017x ) - 4034m.2017x + 2017m = 0. Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 . Theo Viet, ta có 2017x1.2017x2 = 2017m Û 2017x1 + x2 = 2017m Û 2017 = 2017m Û m = 1. Thử lại với m = 1 ta thấy thỏa mãn. Chọn D. Câu 89. Cho phương trình (m + 1)16x - 2(2m - 3)4x + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng (a;b). Tính P = ab. 3 5 A. P = 4 . B. P = - 4 . C. P = - . D. P = . 2 6 Lời giải. Đặt t = 4x > 0 . Phương trình trở thành m + 1 t 2 - 2 2m - 3 t + 6m + 5 = 0. * (1444444)444444(4424444)44444444443 ( ) f (t) Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 0 ì ï m + 1 ¹ 0 ï ïì a = - 4 Û í (m + 1)(3m + 12) 0 Câu 90. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9x - (m - 1)3x + 2m = 0 có nghiệm duy nhất. A. m = 5+ 2 6 . B. m = 0 ; m = 5+ 2 6 . C. m 0 , phương trình trở thành t 2 - (m - 1)t + 2m = 0 . (*) Yêu cầu bài toán ¬ ¾® phương trình (*) có đúng một nghiệm dương.
6. ● (*) có nghiệm kép dương ì 2 ïì D = 0 ï (m - 1) - 8m = 0 ï ï ¬ ¾® í b ¬ ¾® í m - 1 ¬ ¾® m = 5+ 2 6. ï - > 0 ï > 0 îï 2a îï 2 ● (*) có hai nghiệm trái dấu ¬ ¾ac 2. C. m ³ 2. D. m > 2. 2 Lời giải. Đặt t = 2(x- 1) , điều kiện t ³ 1 . 2 Phương trình trở thành t144-4424m44t2+4434m44-4423= 0. (*) f (t) Ta thấy cứ một nghiệm t > 1 tương ứng cho hai nghiệm x . Do đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1 0 ïì m2 - 3m + 2 > 0 ï ï ï ï 1 0 Û í 1.(m - 1)> 0 Û m > 2. ï ï ï S ï m > 1 ï > 1 îï îï 2 Chọn D. 2 2 Câu 92. Cho phương trình m.2x - 5x + 6 + 21- x = 2.26- 5x + m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt. A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. 2 2 2 2 Lời giải. Ta có m.2x - 5x + 6 + 21- x = 2.26- 5x + m Û m.2x - 5x + 6 + 21- x = 27- 5x + m 2 2 2 2 2 Û m(2x - 5x + 6 - 1)+ 21- x (1- 2x - 5x + 6 )= 0 Û (2x - 5x + 6 - 1)(m - 21- x )= 0. é 2 x = 2 é x - 5x + 6 ê ê2 - 1 = 0 ê Û Û êx = 3 . ê 1- x 2 ê2 = m ê 2 ë ê 1- x ë2 = m (*) Yêu cầu bài toán tương đương với TH1: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất (x = 0), suy ra m = 2. TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm còn lại khác 3 ¾ ¾® m = 2- 3. TH3: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm còn lại khác 2 ¾ ¾® m = 2- 8. Vậy có tất cả ba giá trị m thỏa mãn. Chọn C. 2 2 Câu 93. Cho phương trình 251+ 1- x - (m + 2)51+ 1- x + 2m + 1 = 0 với m là tham số thực. Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là? A. m = 20. B. m = 35. C. m = 30. D. m = 25. Lời giải. Điều kiện: - 1£ x £ 1 .
7. - x Xét u(x)= 1+ 1- x 2 , có u '(x)= ; 1- x 2 ì ï max u(x)= 2 ï [- 1;1] u '(x)= 0 Û x = 0 Î [- 1;1]¾ ¾® íï . ï min u(x)= 1 ï îï [- 1;1] 2 Đặt t = 51+ 1- x ¾ ¾® 5 £ t £ 25 . t 2 - 2t + 1 Phương trình trở thành t 2 - (m + 2)t + 2m + 1 = 0¬ ¾® m = = f (t). t - 2 16 576 Do đó phương trình đã có nghiệm Û min f (t)£ m £ max f (t)¬ ¾® £ m £ . [5;25] [5;25] 3 23 Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là m = 25. Chọn D. 2 2 251+ 1- x - 2.51+ 1- x + 1 = . Cách CASIO. Cô lập m ta được m 2 51+ 1- x - 2 2 2 251+ 1- x - 2.51+ 1- x + 1 = Û = Đặt f (x) 2 . Khi đó phương trình f (x) m. 51+ 1- x - 2 Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f (x) với thiết lập Start - 1, End 1, Step 0,2. (Do điều kiện 1- x 2 ³ 0 « - 1£ x £ 1 nên Start - 1, End 1) Quan sát bảng giá trị ta thấy f (x)£ f (0)= 25.043 hay m £ f (0). Vậy m nguyên dương lớn nhất là 25. Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2x .52x + m = 3 có hai nghiệm. A. m log3 5+ log5 2. C. m log5 3+ log2 5. Lời giải. Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, ta được x 2 2x + m log2 (2 .5 )= log2 3 2 2 Û x + (2x + m)log2 5- log2 3 = 0 Û x + (2 log2 5)x + m log2 5- log2 3 = 0. 2 Để phương trình đã cho có hai nghiệm D ' = log2 5- m log2 5+ log2 3 > 0 2 Û m log2 5 0, " t Î ¡ . Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Nhận thấy (*) có dạng f (m sin x - cos x)= f (2- 2 cos x)¬ ¾® m sin x - cos x = 2- 2 cos x Û m sin x + cos x = 2 . (Đây là phương trình lượng giác dạng a sin x + b cos x = c , điều kiện có nghiệm là a2 + b2 ³ c 2 ) é ³ 2 2 êm 3 Để phương trình đã cho có nghiệm Û m + 1³ 4 Û m ³ 3 Û ê . Chọn D. ëêm £ - 3
8. Câu 96. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x - 3x - log2 m = 0 có đúng một nghiệm. 1 1 1 A. 4. C. m = . D. 4 4 4 1 m 4 . 4 Lời giải. Điều kiện: m > 0. 3 Phương trình Û x - 3x = log2 m . Đây là phương trình hoành độ giao điểm 3 của đồ thị hàm số y = x - 3x với đường thẳng y = log2 m (có phương song song trục hoành). éx = 1 ® y = - 2 y = x 3 - 3x y ' = 3x 2 - 3; y ' = 0 Û ê . Xét hàm . Ta có ê ëx = - 1 ® y = 2 Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, suy ra ycbt é 1 élog m 2 ëêm > 4 1 Đối chiếu điều kiện, ta được 0 4. Chọn B. 4 Câu 97. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho 2x x + 2 2 phương trình log4 (2 + 2 + 2 )= log2 m - 2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng: A. S = 6. B. S = 8. C. S = 10. D. S = 12. é x 2 ù Lời giải. Điều kiện: m ¹ 2. Phương trình Û log4 ê(2 + 2) ú= log2 m - 2 ë û é2x + 2 = m - 2 é2x = m - 4 Û log 2x + 2 = log m - 2 Û 2x + 2 = m - 2 Û ê Û ê 2 ( ) 2 ê x ê x ëê2 + 2 = 2- m ëê2 = - m ïì m - 4 £ 0 ïì m £ 4 Để phương trình vô nghiệm Û íï Û íï Û 0 £ m £ 4 îï - m £ 0 îï m ³ 0 mÎ ¢ ¾ m¾¹ 2¾® m Î {0;1;3;4} ¾ ¾® S = 0 + 1+ 3+ 4 = 8. Chọn B. Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log(mx)- 2 = 1 có nghiệm duy nhất. log(x + 1) A. 0 100 . C. m = 1. D. Không tồn tại m. ì ï mx > 0 ïì mx > 0 ï ï Lời giải. Điều kiện: íï x + 1> 0 Û íï x + 1> 0. ï ï ï ï îï log(x + 1)¹ 0 îï x + 1 ¹ 1 mx mx Phương trình Û log(mx)- 2 = log(x + 1)Û log = log(x + 1)Û = x + 1 100 100 100 Û mx = 100x + 100 Û (m - 100)x = 100 Û x = . m - 100 ïì 100 ï m. > 0 ï m - 100 ï ï 100 m ém > 100 Thay vào điều kiện, ta có íï + 1> 0 Û > 0 Û ê . Chọn B. ï m - 100 m - 100 êm < 0 ï ë ï 100 ï + 1 ¹ 1 îï m - 100
9. Câu 99. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2 - + = log 3 x m log 3 x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. A. m = 2 .B. m = - 2 . C. m = 2 .D. m = 0 . Lời giải. Điều kiện: x > 0 .Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra 0 0 . Đặt t = log2 x , với x > 0 suy ra t Î (- ¥ ;+ ¥ ). Bất phương trình đã cho trở thành t 2 - 2t + 3m - 2 0 . Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 . Theo Viet, ta có log3 x1 + log3 x2 = m Û log3 (x1x2 )= m Û log3 81 = m Û 4 = m. Thử lại với m = 4 ta thấy thỏa mãn. Chọn D. Câu 102. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 5+ log(x 2 + 1)³ log(mx 2 + 4x + m) đúng với mọi x ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Để bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi: ● Bất phương trình xác định với mọi x Û mx 2 + 4x + m > 0, " x Î ¡ ïì m > 0 ïì m > 0 Û ï Û ï Û > í í 2 m 2. (1) îï D ' 0 ïì m < 5 Û ï Û ï Û £ í í 2 m 3. (2) îï D ' £ 0 îï - m + 10m - 21£ 0 Từ (1) và (2), ta được 2 < m £ 3 ¾ m¾Î ¢¾® m = 3. Chọn B.
10. Câu 103. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn [- 2017;2017] để bất 2 phương trình logm (x + 2x + m + 1)> 0 đúng với mọi x ? A. 2015. B. 4030. C. 2016. D. 4032. Lời giải. Để bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi: ïì x 2 + 2x + m + 1> 0, " x Î ¡ ● Bất phương trình xác định với mọi x Û íï îï 0 0, " x Î ¡ Û í Û 0 0, " x Î ¡ . (*) Nếu m > 1 thì (*)Û x 2 + 2x + m > 0, " x Î ¡ Û D ' = 1- m 1: (thỏa mãn). ïì 1 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán ¾ ¾ ¾mÎ ¢¾ ¾® m Î {2;3;4; ;2017}. Chọn C. Câu 104. Gọi m0 là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương 2 trình (m - 1)log 1 (x - 2)- (m - 5)log 1 (x - 2)+ m - 1 = 0 có nghiệm thuộc (2;4). 2 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? æ 5ö æ 4ö æ 10ö A. m Î ç- 5;- ÷. B. m Î ç- 1; ÷. C. m Î ç2; ÷ D. Không tồn tại. èç 2ø÷ èç 3ø÷ èç 3 ø÷ Lời giải. Đặt t = log 1 (x - 2), do 2 - 1. 2 t 2 - 5t + 1 Phương trình trở thành (m - 1)t 2 - (m - 5)t + m - 1 = 0 Û m = . t 2 - t + 1 t 2 - 5t + 1 Xét hàm số f (t)= với t > - 1 . t 2 - t + 1 Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được t - 1 1 + ¥ f '(t) - 0 + 7 3 f (t) 1 - 3 7 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm - 3 £ m < . 3 æ ö ç 5÷ Suy ra m0 = - 3 Î ç- 5;- ÷. Chọn A. èç 2ø÷ 2 Câu 105. Cho phương trình log2 x - 2 log2 x - 3 = m(log2 x - 3) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [16;+ ¥ ). 3 A. 1< m £ 2 . B. 1< m £ 5 . C. £ m £ 5 . D. 1£ m £ 5 . 4 Lời giải. Đặt t = log2 x , với x ³ 16 ¾ ¾® t ³ 4 .
11. Phương trình trở thành t 2 - 2t - 3 = m(t - 3). (*) ì 2 ï t - 2t - 3 > 0 ● Với m £ 0 thì phương trình vô nghiệm, do í ," t ³ 4. ï îï t - 3 > 0 2 ● Với m > 0 thì (*)Û t 2 - 2t - 3 = m2 (t - 3) Û (1- m2 )t 2 + 2(3m2 - 1)t - 3(1+ 3m2 )= 0 . Nếu m = 1 ¾ ¾® t = 3 : không thỏa mãn. Nếu m ¹ 1, ta nhẩm được một nghiệm t = 3 (không thỏa mãn), suy ra - 3m2 - 1 nghiệm còn lại t = . 1- m2 - 3m2 - 1 Do đó để phương trình đã cho có nghiệm Û ³ 4 Û 1 0 ¾ ¾® t > 1. æx ö4 x 4 2x ç 2 ÷ 4 2 4 4 Suy ra t = e + 1 Û çe ÷ = t - 1 Û e = t - 1 . èç ÷ø Khi đó phương trình trở thành m + 4 t 4 - 1 = t Û m = t - 4 t 4 - 1. (*) t 3 Xét hàm f (t)= t - 4 t 4 - 1 trên (1;+ ¥ ). Ta có f '(t)= 1- 1 . 3 4 (t 4 - 1) Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên (1;+ ¥ ). t 1 + ¥ f '(t) - 1 f (t) 0 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm Û 0 - 1. 2 2 (x + 1) Phương trình log(mx)= 2 log(x + 1)Û mx = (x + 1) Û m = . x 2 (x + 1) Xét hàm f (x)= trên (- 1;+ ¥ ). x
12. Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được x - 1 0 1 + ¥ f '(x) - - 0 + + ¥ + ¥ f (x) 4 0 - ¥ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất ém = 4 Û ê ê ëm 0 Û x > 0. t - 1 Đặt t = 4x , với x > 0 ¾ ¾® t > 1. Phương trình trở thành m = log . 2 t + 1 (*) t - 1 2 Xét hàm số f (t)= log trên (1;+ ¥ ). Ta có f '(t)= > 0," t > 1. 2 t + 1 (t 2 - 1)ln 2 Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ). t 1 + ¥ f (t) + 0 f (t) - ¥ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm Û m 0, " t > 2. 2 2 t.ln 2 Suy ra hàm số f (t) là hàm số đồng biến trên [2;+ ¥ ). Nhận thấy (*) có dạng f (x 2 - 2x + 3)= f (2 x - m + 2)Û x 2 - 2x + 3 = 2 x - m + 2
13. é - 1 2 = 2 - é 2 - 4 + 2 + 1 = 0 1 2 ê(x ) (x m) êx x m ( ) Û (x - 1) = 2 x - m Û ê Û ê . ê 2 x 2 = 2m - 1 2 ë(x - 1) = - 2(x - m) ëê ( ) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi TH1. Phương trình (1) và (2) đều có nghiệm kép và hai nghiệm này khác nhau ïì D ¢ = 0 ï (1) Û íï ¾ ¾® m Î Æ. ï 2 îï x = 2m - 1 = 0 TH2. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm ïì D ¢ > 0 ì ï (1) ï 4 - (2m + 1)> 0 1 Û íï Û íï Û m . ï 2 ï îï x = 2m - 1> 0 îï 2m - 1> 0 2 TH4. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) cũng có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm của (1) giống hai nghiệm của (2) hay nói cách khác hai phương trình tương đương ¾ ¾® m Î Æ. æ 1ö æ3 ö Vậy m Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ là giá trị cần tìm. Chọn A. èç 2ø÷ èç2 ÷ø 2 Câu 110. Cho phương trình log3 (x + 4mx)+ log 1 (2x - 2m - 1)= 0 với m là 3 tham số thực. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng [a;b]È{c} với a 0 ï x > (1) Û íï Û íï 2 . ï 2 ï îï x + 4mx = 2x - 2m - 1 ï 2 îï x + 2(2m - 1)x + 2m + 1 = 0 (*) Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn (1). ïì / 2 ï D * = (2m - 1) - (2m + 1)= 0 ï ● TH1: (*) có nghiệm kép thỏa (1)¬ ¾® í 2m + 1 ï x = 1- 2m > îï 2 ïì 4m2 - 6m = 0 Û íï Û m = 0. îï 6m 0 2m + 1 ï x1 0 1 1 Û íï Û - < m < - . ï 2 îï 20m + 12m + 1< 0 2 10
14. 2m + 1 2m + 1 2m + 1 ● TH3: (*) có nghiệm x = và nghiệm x > . Thay x = 1 2 2 2 1 2 1 1 vào phương trình (*) ta nhận được m = - hoặc m = - . Thử lại ta thấy 2 10 thỏa mãn. 1 1 Kết hợp các trường hợp, ta được - £ m £ - hoặc m = 0 thỏa mãn yctb. 2 10 1 1 ¾ ¾® a = - ;b = - ;c = 0 . Chọn C. 2 10