Bài tập Toán Lớp 12 - Ứng dụng của thể tích khối đa diện (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Ứng dụng của thể tích khối đa diện (Có đáp án)

1. ỨNG DỤNG CỦA THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu 141. Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a , người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau: Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V1 (Hình 1). Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là V2 (Hình 2). Hình 1 Hình 2 V Tính tỉ số k = 1 . V2 3 3 4 3 3 3 3 3 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 2 9 4 8 Câu 142. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 6 3 cm3 . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu? A. Cạnh đáy bằng 2 6cm và cạnh bên bằng 1cm. B. Cạnh đáy bằng 2 3cm và cạnh bên bằng 2cm. C. Cạnh đáy bằng 2 2cm và cạnh bên bằng 3cm. 1 D. Cạnh đáy bằng 4 3cm và cạnh bên bằng cm. 2 Câu 143. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 80cm´ 50cm . Người ta cắt ở bốn góc của tâm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp. Tính thể tích lớn nhất Vmax của hộp tạo thành. 3 3 A. Vmax = 18000cm . B. Vmax = 28000cm . 3 3 C. Vmax = 38000cm . D. Vmax = 8000cm . Câu 144. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm´ 40cm . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng xcm , rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
2. 20 10 A. x = cm. B. x = 4cm. C. x = 5cm. D. x = cm. 3 3 Câu 145. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm) , chiều cao là h(cm) và thể tích là 500cm3. Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất. A. x = 2cm. B. x = 3cm. C. x = 5cm. D. x = 10cm. Câu 146. Một người đã cắt tấm bìa các tông và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét h a h đứt thành cái hộp hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a(cm), chiều cao h(cm) và diện tích a toàn phần bằng 6m2 . Tổng (a + h) bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất. A. a + h = 2cm. B. a + h = 3cm. C. a + h = 4cm. D. a + h = 6cm. Câu 147. Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật không nắp và có các kích thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1: 3 , thể tích khối hộp bằng 18dm3. Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x + y + z bằng: 19 26 A. 10dm. B. dm. C. 26dm. D. dm. 2 3 Câu 148. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là 60cm, thể tích 96000cm3 . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m 2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m 2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá. A. 320.000 đồng.B. 32.000 đồng.C. 83.200 đồng.D. 68.800 đồng. Câu 149. Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy x của hình chóp bằng: 2 2 2 A. x = . B. x = . 5 5 2 C. x = 2 2. D. x = . 5 Câu 150. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m2 và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).
3. A. 16m´ 24m . B. 8m´ 48m . C. 12m´ 32m . D. 24m´ 32m . ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 141. Gọi cạnh hình vuông là a . 2 2 æa ö a3 æaö 3 a3 3 V 3 3 Khi đó V = ç ÷ .a = và V = ç ÷ .a = . Suy ra k = 1 = . Chọn C. 1 ç ÷ 2 ç ÷ è4ø 16 è3ø 4 36 V2 4 Câu 142. Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là A' B' ABC.A¢B¢C ¢ có độ dài AB = x, AA¢= h. 3 3 2 ¢ 2 Khi đó SDABC = x và VABC.A¢B¢C ¢ = SABC .AA = x h. C' 4 4 h 3 24 Theo giả thiết x 2h = 6 3 Þ h = . 4 x 2 Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ A B ABC.A¢B¢C ¢ là nhỏ nhất. Gọi Stp là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ x ¢ ¢ ¢ ABC.A B C , ta có C 3 3 72 S = 2S + 3S = x 2 + 3hx = x 2 + . tp DABC ABB¢A¢ 2 2 x 3 72 Khảo sát f (x)= x 2 + trên (0;+ ¥ ), ta được f (x) nhỏ nhất khi x = 2 3 . 2 x Với x = 2 3 cm ® h = 2cm. Chọn B. Câu 143. Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài 80- 2x (cm), chiều rộng 50- 2x (cm), chiều cao x (cm). Suy ra thể tích thùng tạo thành V = x (80- 2x)(50- 2x)= 4x 3 - 260x 2 + 4000x . Khảo sát f (x)= 4x 3 - 260x 2 + 4000x trên (0;25), được max f (x)= f (10)= 18000cm3. (0;25) Chọn A. 60- 3x Câu 144. Các kích thước khối hộp lần lượt là: ; 40- 2x ; x . 2 æ ö ç60- 3x ÷ 3 2 Khi đó Vhop = ç ÷(40- 2x)x = 3x - 120x + 1200x = f (x). èç 2 ø÷ 20 Khảo sát hàm f (x) với 0 0 . x 6- 2a2 Câu 46. Diện tích toàn phần S = 4ah + 2a2 = 6 Þ h = . tp 4a 6- 2a2 6a - 2a3 Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.a.h = a2 . = . 4a 4
4. 6a - 2a3 Khảo sát hàm f (a)= trên (0; 3), ta được f (a) lớn nhất tại a = 1. 4 Với a = 1 ® h = 1 ¾ ¾® a + h = 2cm. Chọn A. Câu 147. Ta có x : y = 1: 3 Þ y = 3x. 6 Theo giả thiết, ta có xyz = 18 Þ z = . x 2 Tổng diện tích vật liệu (nhôm) cần dùng là: z Stp = Sday + Sxungquanh (do hộp không nắp) x y æ 6 6 ö 2 48 = xy + 2(xz + yz)= x.3x + 2çx. + 3x. ÷= 3x + . èç x 2 x 2 ÷ø x 48 Xét hàm f (x)= 3x 2 + trên (0;+ ¥ ), ta được f (x) nhỏ nhất khi x = 2. x 3 19 Khi x = 2 ® y = 6, z = ¾ ¾® x + y + z = dm. Chọn A. 2 2 2 48 æ 2 8 8ö 2 8 8 Cách 2. BĐT Côsi 3x + = 3çx + + ÷³ 3.33 x . . = 36. x èç x x ø÷ x x 8 8 Dấu '' = '' xảy ra Û x 2 = = ® x = 2. x x Câu 148. Gọi x (m), y(m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể. 0,16 Theo giả thiết, ta có: 0,6xy = 0,096 Þ y = . x 60cm 0,16 x Diện tích mặt đáy: Sday = xy = x. = 0,16 x y ¾ ¾® giá tiền 0,16´ 100.000 = 16.000 đồng. æ ö ç 0,16÷ Diện tích xung quanh: Sxungquanh = 2x.0,6 + 2y.0,6 = 1,2çx + ÷ èç x ø÷ æ 0,16ö æ 0,16ö ¾ ¾® giá tiền 1,2çx + ÷.70000 = 84000çx + ÷ đồng. èç x ÷ø èç x ÷ø æ 0,16ö Suy ra tổng chi phí f (x)= 84000çx + ÷+ 16000 èç x ø÷ Cosi 0,16 ³ 84000.2 x. + 16000 = 83.200 đồng. Chọn C. x Câu 149. Ta có 1 2 x BM = BO - MO = AB - MO = - . 2 2 2 Chiều cao của hình chóp: 2 æ ö æ ö2 - 2 2 ç 2 x ÷ çx ÷ 1 x 2 h = BM - MO = ç - ÷ - ç ÷ = . èç 2 2ø÷ èç2ø 2 Suy ra thể tích của khối chóp: 1 1- x 2 1 x 4 - x 5 2 V = x 2 = . 3 2 3 2 æ 2 ö 4 5 ç ÷ 2 2 Khảo sát hàm f (x)= x - x 2 trên ç0; ÷, ta được f (x) lớn nhất khi x = . èç 2 ø÷ 5 Chọn B.
5. æ ö ç 2 ÷ Cách làm trắc nghiệm. Đầu tiên ta loại đáp án C do x = 2 2 Ï ç0; ÷. Thay ba đáp án còn lại èç 2 ø÷ vào hàm số f (x)= x 4 - x 5 2 . So sánh kết quả nào lớn nhất ta chọn. Nếu đề bài hỏi giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp thì ta không làm theo cách này được. Câu 150. Đặt x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng. 384 Theo giả thiết, ta có x.3y = 1152 ¾ ¾® y = . x Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất. æ ö 384 ç 576÷ Ta có Stp = 4xh + 6yh + 3xy = 4xh + 6. h + 1152 = 4hçx + ÷+ 1152 . x èç x ÷ø 576 Vì h không đổi nên S nhỏ nhất khi f (x)= x + (với x > 0 ) nhỏ nhất. tp x 576 Khảo sát f (x)= x + với x > 0 , ta được f (x) nhỏ nhất khi x = 24 ¾ ¾® y = 16 . x Chọn A. 576 576 576 Cách 2. BĐT Côsi x + ³ 2 x. = 48. Dấu '' = '' xảy ra Û x = ® x = 24. x x x