Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án)

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x)= x 3 - 2x 2 - 4x + 1 trên đoạn 1;3. 67 A. max f x . B. max f x 2. C. max f x 7. D. max f x 4. 1;3 27 1;3 1;3 1;3 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x 2x3 3x2 12x 2 trên đoạn  1;2. A. max f x 6. B. max f x 10. C. 16 cm D. max f x 11.  1;2  1;2  1;2 Câu 3: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốf x 2x3 3x2 1 trên 1 đoạn 2; . Tính P M m . 2 A. P 5 . B. P 1. C. P 4. D. P 5. 3 2 Câu 4: Biết rằng hàm số f x x 3x 9x 28 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;4 tại x0 . Tính P x0 2018. A. P 3. B. P 2019. C. P 2021. D. P 2018. 4 Câu 5: Xét hàm số f x x3 2x2 x 3 trên  1;1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và giá trị lớn nhất tại x 1. B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và giá trị lớn nhất tại x 1. C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x 1 nhưng không có giá trị lớn nhất. D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x 1. Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 2x2 5 trên đoạn  2;2. A. max f x 4. B. max f x 13. C. max f x 14. D. max f x 23.  2;2  2;2  2;2  2;2 Câu 7: Cho hàm số f x 2x4 4x2 10 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn 0;2. A. M 10; m 6. B. M 12; m 6. C. M 10; m 8. D. M 12; m 8. x2 3 Câu 8: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn x 1 2;4. 19 A. min f x 6. B. min f x 2 . C. min f x 3. D. min f x . 2;4 2;4 2;4 2;4 3 9 Câu 9: Tập giá trị của hàm số f x x với x 2;4 là đoạn a;b . Tính P b a . x 13 25 1 A. P 6 . B. P . C. P . D. P . 2 4 2 2x2 x 1 Câu 10: Cho hàm số f x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm x 1 số trên đoạn 0;1. A. M 2; m 1. B. M 2; m 1. C. M 1; m 2. D. M 2; m 2.
2. 3x 1 Câu 11: Cho hàm số f x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số x 3 trên đoạn 0;2. 1 1 1 1 A. M 5; m . B. M ; m 5. C. M ; m 5. D. M 5; m . 3 3 3 3 2 Câu 12: Tìm tập giá trị T của hàm số f x x2 với x 3;5. x 38 526 38 142 29 127 29 526 A. T ; . B. T ; . C. T ; . D. T ; . 3 15 3 5 3 5 3 15 4 Câu 13: Xét hàm số y x trên đoạn  1;2 . Khẳng định nào sau đây đúng? x A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 4 và giá trị lớn nhất là 2. B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 4 và không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 2. D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Câu 14: Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn  2;2 ? x 1 A. y x3 2. B. y x4 x2 . C. y . D. y x 1. x 1 Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x 2 4 x. A. M 1. B. M 2. C. M 3. D. M 4. Câu 16: Cho hàm số f x 2x 14 5 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 7. B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 6. C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1. D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3. Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x x 4 x2 . A. M 2; m 0. B. M 2; m 2. C. M 2; m 2. D. M 2; m 0. Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x x 2 x2 . A. m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 2. Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x 1 3 x 2 x2 4x 3 . 9 A. M 0. B. M 2. C. M 2. D. M . 4 Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x 2 x 2 2x x2 . A. M 2. B. M 4. C. M 2. D. M 8. 9 1 Câu 21: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x 2cos3 x cos2 x 3cos x . 2 2 A. m 24. B. m 12. C. m 9. D. m 1. sin x 1 Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x . sin 2 x sin x 1 90 110 70 A. M 1. B. M . C. M . D. M . 91 111 79
3. Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x sin3 x cos2x sin x 3. 112 A. M 0. B. M 5. C. M 4. D. M . 27 Câu 24: Xét hàm số f x x3 x cos x 4 trên nửa khoảng 0; . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 nhưng không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là 5. C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 và có giá trị nhỏ nhất là 5. D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x2 4x 5 trên đoạn  6;6. A. M 0. B. M 9. C. M 55. D. M 110. Câu 26: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x2 3x 2 x trên đoạn  4;4 . A. M 2. B. M 17. C. M 34. D. M 68. Câu 27: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau: x - ¥ 0 + ¥ y' + - 2 y 1 - 1 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 và 1. Câu 28: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: x - ¥ 0 1 + ¥ y' + - 0 + + ¥ y 0 - 1 - ¥ Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1. Câu 29: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: x 1 0 1 y ' 0 0 0 y 3 4 4
4. f 4 34 f 1 1 Đạo hàm f ' x 2x 4  f ' x 0 x 2  4;12;4.Ta có . f 2 2 f 4 2 So sánh hai trường hợp, ta được max f x f 4 34. Chọn C.  4;4 Câu 27. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau: x - ¥ -¥ + ¥ y' + - 2 y 1 - 1 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 và 1. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy: ● f x 2, x ¡ và f 0 2 nên GTLN của hàm số bằng 2. ● f x 1, x ¡ và vì lim f x 1 nên không tồn tại x0 ¡ sao cho f x0 1, do đó x hàm số không có GTNN. Chọn A. Có thể giải thích cách khác: y ' đổi dấu qua x 0 và tồn tại y 0 2 nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 . Câu 28. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: x - ¥ 0 1 + ¥ y' + - 0 + + ¥ y 0 - 1 - ¥ Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1. Lời giải. Chọn D. A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị. B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ¡ . D Đúng. Câu 29. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau:
5. x 1 0 1 y ' 0 0 0 y 3 4 4 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4. C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3. D. Hàm số có một điểm cực tiểu. Lời giải. Chọn B. A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là x 1; x 0; x 1. C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất. D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là x 1 và x 1. Câu 30. Cho hàm số y f x và có bảng biến thiên trên  5;7 như sau: x - ¥ - 5 1 7 + ¥ y' - 0 + 9 y 6 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. min f x 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên  5;7 .  5;7 B. max f x 6 và min f x 2 .  5;7  5;7 C. max f x 9 và min f x 2 .  5;7  5;7 D. max f x 9 và min f x 6.  5;7  5;7 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy: ● Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 , đạt tại x 1  5;7 . f x 9,x  5;7 ● Ta có . Mà 7   5;7 nên không tồn tại x0  5;7 sao cho f x0 9 lim f x 9 x 7 . Do đó hàm số không đạt GTLN trên  5;7 . Vậy min f x 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên  5;7 . Chọn A.  5;7 Câu 31. Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn  2;4 như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y f x trên đoạn  2;4. A. M 2. B. M f 0 . C. M 3.
6. y 2 1 -2 -1 x O 2 4 -1 -3 D. M 1. Lời giải. Từ đồ thị hàm số y f x trên đoạn  2;4 ta suy ra đồ thị hàm số f x trên  2;4 như hình vẽ. Do đó max f x 3 tại x 1.  2;4 Chọn C. y 3 1 x -2 -1 O 2 4 Câu 32. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  2;3 bằng: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. y 4 2 x -2 2 -3 O 3 -2 Lời giải. Nhận thấy trên đoạn  2;3 đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ 3;4 .  giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  2;3 bằng 4. Chọn C. Câu 33. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y f x trên đoạn  2;2 . A. m 5, M 0. B. m 5, M 1. C. m 1, M 0.
7. 4 y x -2 -1 1 2 O -1 -3 5 D. m 2, M 2. Lời giải. Nhận thấy trên đoạn  2;2 ● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ 2; 5 và 1; 5  giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn  2;2 bằng 5. ● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ 1; 1 và 2; 1  giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  2;2 bằng 1. Chọn B. 3 Câu 34. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 1; và có đồ thị là đường cong như 2 3 hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x trên 1; là: 2 7 A. z B. M , m 1. 4 2 C. z4 5 D. a 2,b 2 Lời giải. Chọn C. Câu 35. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số có GTLN là 2 và GTNN là 2001 25 2026 C. Hàm số đồng biến trên ;0 và 2; . D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 0;2 y 2 x 1 2 -1 O -2 & 2; 2 . Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Chọn B.
8. Chú ý. Học sinh thường nhầm tưởng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất nên chọn B. Câu 36. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình sau: y 2 x -1 O 1 (I). Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . (II). Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . (III). Hàm số có ba điểm cực trị. (IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. Trong các mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1. B. 2 .C. 3.D. 4 . Lời giải. Xét trên 0;1 ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến. Do đó (I) đúng Xét trên 1;2 ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cực trị. Do đó (III) đúng. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên ¡ . Do đó (IV) sai. Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B. 1 Câu 37. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x x trên khoảng 0; . x A. m 2. B. m 0. C. m 2. D. m 1. 1 1 2 x2 x 1 x 1 0; Lời giải. Đạo hàm f ' x  f ' x 0 . 1 1 x 1 0; 2 x 2x2 x x x Bảng biến thiên x 0 1 + ¥ f '(x) - 0 + + ¥ + ¥ f (x) 2 Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là f 1 2 . Chọn A. 2 Câu 38. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x x2 trên khoảng 0; . x A. m 1. B. m 2. C. m 3. D. m 4. 2 2 x3 1 Lời giải. Đạo hàm f x 2x  f x 0 x 1 0; . x2 x2 Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f x f 1 3.Chọn C. 0;
9. 2 Câu 39. Gọi y là giá trị cực tiểu của hàm số f x x2 trên 0; . Mệnh đề nào sau đây CT x là đúng? A. yCT min y. B. yCT 1 min y. C. yCT min y. D. yCT min y. 0; 0; 0; 0; 2 2x3 2 Lời giải. Đạo hàm f ' x 2x  f ' x 0 x 1 0; . x2 x2 Qua điểm x 1 thì hàm số đổi dấu từ '' '' sang '' '' trong khoảng 0; . Suy ra trên khoảng 0; hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực tiểu nên đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy yCT min y. Chọn C. 0; 1 Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x trên 0;3. x 8 3 A. M 3. B. M C. M . D. m 0. 3 8 1 Lời giải. Đạo hàm f x 1 0, x 0;3 . x2 Suy ra hàm số f x đồng biến trên 0;3 nên đạt giá trị lớn nhất tại x 3 và 8 max f x f 3 . Chọn B. 0;3 3 1 Câu 41. Biết rằng hàm số f x x 2018 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;4 tại x . Tính x 0 P x0 2018. A. P 4032. B. P 2019. C. P 2020. D. P 2018. 1 x 1 0;4 Lời giải. Đạo hàm f ' x 1 2  f ' x 0 . x x 1 0;4 Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 0;4 tại x x0 1 P 2019. Chọn B. Câu 42. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f x x2 4x m có giá trị lớn nhất trên đoạn  1;3 bằng 10. A. m 3. B. m 6 . C. m 7 . D. m 8 . Lời giải. Đạo hàm f ' x 2x 4  f ' x 0 x 2  1;3. f 1 5 m Ta có f 2 4 m  max f x f 2 4 m.  1;3 f 3 3 m Theo bài ra: max f x 10 4 m 10 m 6. Chọn B.  1;3 x m2 Câu 43. Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0;1 bằng: x 1 1 m2 1 m2 A. . B. m2 . C. . D. m2. 2 2
10. 1 m2 Lời giải. Đạo hàm f ' x 0,x 0;1 . x 1 2 1 m2 Suy ra hàm số f x đồng biến trên 0;1  max f x f 1 . Chọn C. 0;1 2 x m2 Câu 44. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn  1;0 bằng: x 1 m2 1 1 m2 A. . B. m2 . C. . D. m2. 2 2 1 m2 Lời giải. Đạo hàm y ' 0,x  1;0. x 1 2 Suy ra hàm số f x nghịch biến trên  1;0  min f x f 0 m2 . Chọn B.  1;0 Câu 45. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f x x3 3x2 a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1;1 bằng 0. A. a 2. B. a 6 . C. a 0 . D. a 4. x 0  1;1 Lời giải. Đạo hàm f ' x 3x2 6x  f ' x 0 . x 2  1;1 f 1 a 2 Ta có f 0 a  min f x f 1 a 4.  1;1 f 1 a 4 Theo bài ra: min f x 0 a 4 0 a 4. Chọn D.  1;1 Câu 46. Cho hàm số f x x3 m2 1 x m2 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;2 bằng 7. A. m 1. B. m 7 . C. m 2 . D. m 3 . Lời giải. Đạo hàm f ' x 3x2 m2 1 0, x ¡ . Suy ra hàm số f x đồng biến trên 0;2  min f x f 0 m2 2. 0;2 Theo bài ra: min f x 7 m2 2 7 m 3. Chọn D. 0;2 x m2 Câu 47. Cho hàm số f x với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm x 8 số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 2. A. m 4 . B. m 5. C. m 4 . D. m 1. 8 m2 Lời giải. Đạo hàm y ' 0, x 0;3. x 8 2 m2 Suy ra hàm số f x đồng biến trên đoạn 0;3  min f x f 0 . 0;3 8 m2 Thao bài ra: min f x 2 2 m 4  giá trị m lớn nhất là m 4. 0;3 8 Chọn A.
11. x m Câu 48. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y (với m là tham số thực) thỏa x 1 mãn min y 3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2;4 A. 3 m 4. B. 1 m 3. C. m 4. D. m 1. m 1 Lời giải. Đạo hàm f x . x 1 2 m 1 TH1. Với m 1 suy ra f x 0; x 1 nên hàm số f x nghịch biến trên mỗi x 1 2 m 4 khoảng xác định. Khi đó min y f 4 3 m 5 (chọn). 2;4 3 m 1 TH2. Với m 1 suy ra f x 0; x 1 nên hàm số f x đồng biến trên mỗi x 1 2 khoảng xác định. Khi đó min y f 2 m 2 3 m 1 (loại). 2;4 Vậy m 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m 4 . Chọn C. x m2 m Câu 49. Cho hàm số f x với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để x 1 hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng 2. A. m 1, m 2. B. m 1, m 2. C. m 1, m 2. D. m 1, m 2. m2 m 1 Lời giải. Đạo hàm f ' x 0,x 0;1. x 1 2 Suy ra hàm số f x đồng biến trên 0;1  min f x f 0 m2 m. 0;1 2 2 m 1 Theo bài ra: min f x 2 m m 2 m m 2 0 . Chọn D. 0;1 m 2 x m Câu 50. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y (với m là tham số thực) thỏa x 1 16 mãn min y max y . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? 1;2 1;2 3 A. 0 m 2 . B. 2 m 4. C. m 0. D. m 4 . 1 m Lời giải. Đạo hàm f x . x 1 2 Suy ra hàm số f x là hàm số đơn điệu trên đoạn 1;2 với mọi m 1. m 1 m 2 16 5m 25 Khi đó min y max y f 1 f 2 m 5. 1;2 1;2 2 3 3 6 6 Vậy m 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m 4 . Chọn D.
12. 2 x m Câu 51. Cho hàm số f x với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m 1 để x 1 hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn 0;4 nhỏ hơn 3. A. m 1;3 . B. m 1;3 5 4 . C. m 1; 5 . D. m 1;3. Lời giải. 2 m x 2 4 Đạo hàm f ' x  f ' x 0 x x 0;4,m 1. 2 x 1 x x 1 m m2 4 2 Lập bảng biến thiên, ta kết luận được max f x f 2 m 4. x 0;4 m Vậy ta cần có m2 4 3 m 5 m 1 m 1; 5 . Chọn C. Câu 52. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 2 S .B. 4 S .C. 2S . D. 4S . Lời giải. Gọi a, b 0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Diện tích của hình chữ nhật: S ab . 2S Chu vi hình chữ nhật: P 2 a b 2a . a 2S Khảo sát hàm f a 2a trên 0; , ta được min f a 4 S khi a S . a Chọn B. Cách 2. Ta có P 2 a b 2.2 ab 4 ab 4 S . Dấu '' '' xảy ra a b . Câu 53. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 16 cm thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng: A. 36cm2 . B. 20cm2 . C. 16cm2 . D. 30cm2 . Lời giải. Gọi a, b 0 lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật. Theo giả thiết, ta có 2 a b 16 a b 8. Diện tích hình chữ nhật: S ab a 8 a a2 8a. Khảo sát hàm f a trên khoảng 0;8 , ta được max f a 16 khi a 4. Chọn C. 2 a b 82 Cách 2. Ta có S ab 16cm2 . 4 4 Câu 54. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x 6 . B. x 3. C. x 2 . D. x 4 . Lời giải. Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng 12 2x cm và chiều cao x cm với 0 x 6 . Do đó thể tích khối hộp V 12 2x 2 .x 4x3 48x2 144x .
13. Xét hàm f x 4x3 48x2 144x trên 0;6 , ta được max f x f 2 128. 0;6 Vậy với x 2 cm thể tích khối hộp lớn nhất. Chọn C. Cách 2. Ta có 3 2 1 1 4x 12 2x 12 2x V x 12 2x .4x. 12 2x . 12 2x 128. 4 4 3 Dấu '' '' xảy ra 4x 12 2x x 2. Câu 55. Tính diện tích lớn nhất Smax của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn. 2 2 2 2 A. Smax 80cm . B. Smax 100cm . C. Smax 160cm . D. Smax 200cm . Lời giải. Đặt BC x cm là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính của đường tròn D C 0 x 10 . Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là AB 2OB 2. 102 x2 cm. x  Diện tích hình chữ nhật: S 2x 102 x2 cm2. A O B Khảo sát f x 2x 102 x2 trên 0;10 , ta 10cm được 10 2 max f x f 100. Chọn B. 0;10 2 x2 102 x2 Cách 2. Ta có 2.x 102 x2 2. 100 . 2 Câu 56. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961m2 , người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất Smin của 4 phần đất được mở rộng. 2 A. Smin 961 961 m . 2 B. Smin 1922 961 m . 2 C. Smin 1892 946 m . 2 D. Smin 480,5 961 m . A B O D C Lời giải. Gọi x m , y m x 0, y 0 lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình chữ nhật; x2 y2 R m là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn  R2 OB2 . 4 Theo đề bài, ta có xy 961m2 . 2 Diện tích 4 phần đất mở rộng: S Stron S ABCD R xy
14. 2 2 x y Cosi 2xy . xy . xy 480,5 961. Chọn D. 4 4 Nhận xét. Dấu '' '' xảy ra khi ABCD là hình vuông. Nếu phát hiện đều này thì làm trắc nghiệm rất nhanh. Câu 57. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất. A. x y 7. B. x y 5. 7 2 C. x y . D. x y 4 2 . 2 Lời giải. Ta có SEFGH nhỏ nhất S S AEH S CGF S DGH lớn nhất (do S BEF không đổi). Tính được 2S 2x 3y 6 x 6 y xy 4x 3y 36. 1 Ta có EFGH là hình thang ·AEH C· GF AE AH 2 x  AEH ~ CGF    xy 6. 2 CG CF y 3 18 Từ 1 và 2 , suy ra 2S 42 4x . x 18 Để 2S lớn nhất khi và chỉ khi 4x nhỏ nhất. x 18 18 18 3 2 Mà 4x 2 4x. 12 2. Dấu '' '' xảy ra 4x x y 2 2 . Chọn C. x x x 2 Câu 58. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất? A. 3,0km. B. 7,0km. C. 4,5km. D. 2,1km. A 5km B M C 7km
15. AM x2 25km Lời giải. Đặt BM xkm 0 x 7  . MC 7 x km x2 25 Thời gian chèo đò từ A đến M là: t h. AM 4 7 x Thời gian đi bộ từ M đến C là: t h. MC 6  Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là x2 25 7 x t t t h. AM MC 4 6 x2 25 7 x 14 5 5 Xét hàm số f x trên 0;7, ta được min f x f 2 5 . 4 6 0;7 12 Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm M cách B một khoảng x 2 5 4,5km. Chọn C. Câu 59. Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r . Để tổng diện tích của a hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số bằng: r a a a a A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. r r r r Lời giải. Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0 x 60 . Suy ra chiều dài đoạn còn lại là 60 x . x x2 Chu vi đường tròn: 2 r x r  Diện tích hình tròn: S .r 2 . 2 1 4 2 60 x Diện tích hình vuông: S2 . 4 2 x2 60 x 4 .x2 120 x 3600 Tổng diện tích hai hình: S . 4 4 16 4 .x 60 60 4 Đạo hàm: S ' ; S ' 0 x ; S '' 0 . 8 4 8 60 Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x . 4 60 Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x . 4 60 30 240 a 240 Với x  r & a  2. Chọn B. 4 4 4 .4 r 120
16. 2 x2 60 x 602 Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có S . 4 4 4 16 x 60 x 60 Dấu '' '' xảy ra khi x . 4 16 4 Câu 60. Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm và chiều rộng 6cm. Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại. Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu? A. min L 6 2 cm. 9 3 B. min L cm . 2 7 3 C. min L cm . 2 D. min L 9 2 cm . EF a Lời giải. Đặt EB a 0 như hình vẽ  . AE 6 a Trong tam giác vuông AEF có 6 a a 6 cos ·AEF  cos F· EB (hai góc bù nhau). a a Ta có BEG FEG a 6 1 cos F· EB a 3  F· EG B· EG F· EB a  cos F· EG . 2 a EF a3 Trong tam giác vuông EFG có EG . cos F· EG a 3 a3 9 9 3 Xét hàm f a với a 3, ta được min f a đạt tại a  EG . a 3 2 2 Chọn B.