Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Khái niệm về thể tích khối đa diện (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Khái niệm về thể tích khối đa diện (Có đáp án)

1. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề 1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V a3 2. D. V . 6 4 3 Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S , SB 2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V 2a3 . B. V 4a3 . C. V 6a3 D. V 12a3 . Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA 4, AB 6, BC 10 và CA 8 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . A. V 40. B. V 192. C. V 32. D. V 24. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB a , BC 2a . Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , cạnh . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. 2a3 15 2a3 15 A. V . B. V . C. V 2a3 15 . 6 3 a3 15 D. V . 3 Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SC a 5 . Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD. a3 3 a3 3 a3 15 A. V . B. V . C. V a3 3 . D. V . 3 6 3 Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA BC a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 3 a3 2a3 A. .V a3 B. V . C. V . D. V . 2 3 3
2. Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC 1, AD 2 . Cạnh bên SA 2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 3 1 A. V 1. B. V . C. V . D. V 2 . 2 3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB a , BC a 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 6 a3 6 2a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 4 12 6 Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 15 a3 15 A. V . B. V . C. V 2a3 . 12 6 2a3 D. V . 3 Câu 10. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 13 a3 11a3 11a3 A. V . B. V . C. V . 12 12 6 11a3 D. V . 4 Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 21 . Tính theo a thể tích V của khối chóp đã cho. 6 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 12 24 6 Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3 . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. a 3 a 3 a 3 A. h . B. h . C. h . D. h a 3. 6 2 3 Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a . Cạnh bên SA a 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy
3. trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. a3 6 a3 6 2a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 4 12 6 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc ·ABC 60. Cạnh bên SD 2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD thỏa HD 3HB. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 5 15 15 15 A. V . B. V . C. V . D. V . 24 24 8 12 Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa AH 2BH . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 2 a3 2 a3 3 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 3 9 9 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc S· BD 600 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 3 a3 2a3 A. V a3 . B. V . C. V . D. V . 2 3 3 Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC 2a , AB SA a . Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABC . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 3a3 2a3 A. V . B. V . C. V a3 . D. V . 4 4 3 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên a2 2 SA a và vuông góc với đáy; diện tích tam giác SBC bằng (đvdt). 2 Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 3 a3 2a3 A. V a3 . B. V . C. V . D. V . 2 3 3 Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền AB bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng 14 với trọng tâm của tam giác ABC và SB . Tính theo a thể tích V của 2 khối chóp S.ABC .
4. 3 1 3 A. V . B. V . C. V .D. V 1. 2 4 4 Câu 20. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 6 a3 6 a3 6 a3 A. V . B. V .C. V . D. V . 6 2 3 3 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AC 5a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . A. V 6 2a3 . B. V 4 2a3 . C. V 2 2a3 . D. V 2a3 . Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC ; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 600 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 3a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V a3 . 4 4 2 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc B· AD 1200 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SD tạo với đáy ABCD một góc 600 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 3a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V a3 . 4 4 2 Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AB , góc giữa SC và mặt đáy bằng 300 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 15 15 1 5 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 18 3 6 Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC 2a, BC a . Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60o. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 3a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V a3 . 4 4 2 Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB AC a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC . Gọi I là trung
5. AD BC a Do ABCD là hình thang cân nên AH . 2 2 a 3 Tam giác AHB , có BH AB2 AH 2 . 2 1 3a2 3 Diện tích S AD BC BH . ABCD 2 4 1 a3 3 Vậy V S .SA . Chọn B. S.ABCD 3 ABCD 2 Câu 32. Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt đáy là HC nên 0 · 30 SC, ABCD S·C, HC S· CH . S Tam giác vuông SAD , có SA2 AH.AD 3 3 12a2 AD.AD AD2. 4 4 D C Suy ra AD 4a , HA 3a , HD a , SH HA.HD Ha 3, HC SH.cot S· CH 3a, CD HC 2 HD2 2a 2. A B 2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD AD.CD 8 2a . 1 8 6a3 Vậy thể tích khối chop V S .SH . Chọn D. S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 33. Tam giác SAD vuông tại A, có AN là trung tuyến nên 1 AN SD . 2 Gọi M là trung điểm AD , suy ra MN PSA nên MN  ABCD . Do đó 300 ·AN, ABCD ·AN, AM N· AM . SD 3 Tam giác vuông NMA, có AM AN.cos N· AM . 4 S 2 2 2 2 2 2 SD 3 Tam giác SAD , có SD SA AD SD a . N 2 Suy ra SD 2a nên AD a 3 . A M D 2 Diện tích hình chữ nhật SABCD AB.AD a 3 . B C 1 a3 3 Vậy V S .SA . Chọn B. S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 34. ABCD là hình vuông suy ra AB  AD . 1 S Vì SA  ABCD  SA  AD. 2 Từ 1 và 2 , suy ra AD  SAB . A D B C
6. Khi đó SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAB . Do đó 300 S·D; SAB ·SD;SA D· SA. AD Tam giác SAD vuông tại A, có SA a 3. tan D· SA 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp V S .SA . Chọn D. S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 35. Kẻ SH  BC . Vì SBC  ABCD theo giao tuyến BC nên SH  ABCD . DC  BC Ta có DC  SBC . Do đó DC  SH 600 S·D, SBC S·D,SC D· SC . Từ DC  SBC  DC  SC. S DC Tam giác vuông SCD, có SC 1 tan D· SC . Tam giác vuông SBC , có C D SB.SC BC 2 SC 2 .SC 6 H SH . BC BC 3 B A Diện tích hình vuông ABCD là SABCD 3. 1 6 Vậy V S .SH . Chọn C. S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 36. Gọi E, F lần lượt là trung điểm BC, BA vàO AE  CF . Do S.ABC là hình chóp đều nên S SO  ABC . Khi đó 600 ·SBC , ABC S·E,OE S· EO . Tam giác vuông SOE , có A C O AE a 3 a F E SO OE.tan S· EO .tan 600 . 3 3 6 2 B . Diện tích tam giác đều ABC là a2 3 S . ABC 4
7. 1 a3 3 Vậy V S .SO . Chọn A. S.ABC 3 ABC 24 Câu 37. Ta có SA  ABCD SA  CD nên có CD  AD CD  SAD CD  SD. CD  SA SCD  ABCD CD Do , suy ra SD  CD; AD  CD 600 = ·SCD , ABCD S·D, AD S· DA. Tam giác vuông SAD , có S SA AD.tan S· DA a 3 . Diện tích hình vuông ABCD là A D 2 2 SABCD AB a . Vậy thể tích khối chóp B C 1 a3 3 V S .SA . S.ABCD 3 ABCD 3 Chọn D. Câu 38. Ta có SA  ABCD SA  BC nên có BC  AB BC  SAB BC  SB. BC  SA SBC  ABCD BC Do , suy ra SB  BC; AB  BC 600 = ·SBC , ABCD S·B, AB S· BA. Tam giác vuông SAB , có S SA AB.tan S· BA a 3 . Diện tích hình chữ nhật ABCD là A 2 B SABCD AB.AD a 3. Vậy thể tích khối chóp D C 1 V S .SA a3. S.ABCD 3 ABCD Chọn C. Câu 39. Vì SA  ABCD SA  BD . 1 Gọi O AC  BD , suy ra BD  AO . 2 Từ 1 và 2 , suy ra BD  SAO BD  SO . S A D O B C
8. SBD  ABCD BD Do , suy ra SO  BD, AO  BD 600 = ·SBD , ABCD S·O, AO S· OA . a 6 Tam giác vuông SAO , ta có SA AO.tan S· OA . 2 2 Diện tích hình vuông ABCD là SABCD a . 1 a3 6 Vậy V S .SA . Chọn C. S.ABCD 3 ABCD 6 Câu 40. Gọi H là trung điểm AB , suy ra SH  AB . Mà SAB  ABCD theo giao tuyến AB nên SH  ABCD . CH  AB  CH  CD S Tam giác ABC đều cạnh a nên AB 3 a 3 . CH 2 2 SCD  ABCD CD A D Ta có SC  SCD , SC  CD suy ra H HC  ABCD , HC  CD B C 450 ·SCD , ABCD S·C, HC S· CH . a 3 Tam giác vuông SHC , có SH HC.tan S· CH . 2 a2 3 Diện tích hình thoi ABCD là S 2S . ABCD ADC 2 1 a3 Vậy thể tích khối chóp V S .SH . Chọn A. S.ABCD 3 ABCD 4 1 Câu 41. Gọi I là trung điểm AB , suy ra CI AD 1 AB . 2 Do đó tam giác ABC vuông tại C . Suy ra BC  AC nên 450 ·SBC , ABCD S·C, AC S· CA . Ta có AC AD2 DC 2 2 . S Tam giác vuông SAC , có SA AC.tan S· CA 2 . AB DC AD 3 Diện tích hình thang S . A I B ABCD 2 2 1 2 Vậy thể tích khối chóp V S .SA D. C S.ABCD 3 ABCD 2
9. Chọn C. 1 8 Câu 42. Kẻ CK  AB . Ta có S AB.CK  CK Ccm. ABC 2 3 Gọi H là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh C . Xét tam giác vuông CHK , ta có 4 3A D CH CK.sinC· KH CK.sin ·ABC , ABD . 3 K H 1 8 3 B Vậy thể tích khối tứ diện V S .CH cm3. Chọn D. 3 ABD 3 Câu 43. Do AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau nênA 1 1 V AB.AC.AD .6a.7a.4a 28a3. ABCD 6 6 1 Dễ thấy S S . B P D MNP 4 BCD 1 M N Suy ra V V 7a3 . Chọn D. AMNP 4 ABCD C 1 Câu 44. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S S . GBC 3 DBC 1 1 Suy ra V V .12 4. Chọn B. A.GBC 3 ABCD 3 Câu 45. Gọi H là hình chiếu của A trên SB S AH  SB. Ta có H SA  ABCD SA  BC BC  SAB AH  BC. AB  BC A B a 2 D C Suy ra AH  SBC d A, SBC AH . 2 Tam giác SAB vuông tại A, có 1 1 1 SA a. AH 2 SA2 AB2 1 a3 Vậy V .SA.S . Chọn D. 3 ABCD 3 Câu 46. Từ giả thiết suy ra AB BC a . 1 a2 1 a3 Diện tích tam giác S ABC AB.BC . Do đó VS.ABC S ABC .SA . 2 2 S 3 6 Gọi I là trung điểm BC . N G A C M I B
10. SG 2 Do G là trọng tâm SBC nên . SI 3 Vì BC P  BC song song với giao tuyến MN 2 4  AMN ∽ ABC theo tỉ số  S S . 3 AMN 9 SBC 4 2a3 Vậy thể tích khối chóp V .V . S.AMN 9 S.ABC 27 Chọn A. Nhận xét. 1) bạn đọc có thể tham khảo cách giải khác bằng tỉ số thể tích ở Bài ??? 2) Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì tỉ số thể tích bằng k 2. Câu 47. Theo giả thiết, ta có SH a 3 . S Diện tích tứ giác SCDNM SABCD S AMN S BMC 1 1 a2 a2 5a2 AB2 AM.AN BM.BC a2 . A M B 2 2 8 4 8 N H D C 1 5a3 3 Vậy V S .SH . Chọn B. S.CDNM 3 CDNM 24 Câu 48. Gọi M là trung điểm CD , suy ra OM  CD nên 600 ·SCD , ABCD S·M ,OM S·MO . S Tam giác vuông SOM , có SO OM.tan S·MO a 3 . Kẻ KH  OD KH PSO nên KH  ABCD . KH DK DO2 Tam giác vuông SOD , ta có K SO DS DS 2 A D 2 OD 2 2 2a 3 H 2 2  KH SO . SO OD 5 5 5 O M 1 Diện tích tam giác S AD.DC 2a2 . B C ADC 2 1 4a3 3 Vậy V S .KH . Chọn C. DKAC 3 ADC 15 Câu 49*. Gọi M là trung điểm của AB SM  AB. S 1 AB a SA SB Ta có SAB đều  . · 0 a 3 ASB 60 SM 2 A C M B
11. Tam giác SAC , có AC SA2 SC 2 a 10. Tam giác SBC , có BC SB2 SC 2 2SB.SC.cos B· SC a 7. AB2 AC 2 BC 2 10 Tam giác ABC , có cos B· AC . 2AB.AC 5 a 33  CM AM 2 AC 2 2AM.AC.cos B· AC . 2 Ta có SM 2 MC 2 SC 2 9a2  SMC vuông tại M  SM  MC . 2 Từ 1 và 2 , ta có SM  ABC . 1 a2 6 Diện tích tam giác S AB.AC.sin B· AC . ABC 2 2 1 a3 2 Vậy thể tích khối chop V S .SM . Chọn D. SABC 3 ABC 4 Cách 2. (Dùng phương pháp tỉ số thể tích-Bạn đọc sẽ hiểu rõ hơn vấn đề này ở Bài ??? đến Bài ???). Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho SD a . AB CD a, AD a 2 ABD vuong can Dễ dàng suy ra  . SA SD a, AD a 2 SAD vuong can Lại có SA SB SD a nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABD là trung điểm I của AD . S a 2 1 2 a a Ta tính được SI và S ABD a . 2 2 a A D 1 a3 2 Suy ra V S .SI . I S.ABD 3 ABD 12 V SD 1 Ta có S.ABD B 2a VS.ABC SC 3 a3 2  V 3V . S.ABC S.ABD 4 C Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. '' Cho hình chóp S.ABC có ·ASB , B· SC , C· SA  và SA a, SB b, SC c.'' Khi đó ta có: abc V 1 cos2 cos2  cos2  2cos cos  cos . S.ABC 6 a3 2 Áp dụng công thức, ta được V . S.ABC 4
12. Câu 50. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. S A D M H N B C Tam giác SAB cân tại S suy ra SM  AB SM  d, với d SAB  SCD . Vì SAB  SCD suy ra SM  SCD SM  SN và SMN  ABCD . Kẻ SH  MN  SH  ABCD . Ta có 7a2 1 1 7a2 7a S S AB.SM CD.SN  SM SN . SAB SCD 10 2 2 10 5 Tam giác SMN vuông tại S nên SM 2 SN 2 MN 2 a2. Giải hệ 7a SM SN 3a 4a SM.SN 12a 5 SM & SN  SH . 2 2 2 5 5 MN 25 SM SN a 1 4a3 Vậy thể tích khối chóp V .S .SH . Chọn C. S.ABCD 3 ABCD 25 Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG Câu 51. Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a.
13. a2 3 Diện tích tam giác đều cạnh a là S . A' C' 4 B' Chiều cao của lăng trụ h AA' a. a3 3 A C Vậy thể tích khối lăng trụ là V S.h . ABC.A B C 4 Chọn D. B Câu 52. Xét khối lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều và AA  ABC . Diện tích xung quanh lăng trụ là Sxq 3.SABB A A' C' 2 2 3a 3. AA .AB 3a 3. AA .a AA a. B' a2 3 Diện tích tam giác ABC là S . C ABC 4 A Vậy thể tích khối lăng trụ là a3 3 B V S .AA . ABC.A B C ABC 4 Chọn D. Câu 53. Tam giác ABC vuông cân tại B , A' C' AC a2 suy ra BA BC a S . B' 2 ABC 2 a3 Vậy thể tích khối lăng trụ V S .BB . A C ABC 2 Chọn C. B 1 a2 3 Câu 54. Diện tích tam giác ABC là S AB.AC.sin B· AC . ABC 2 2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC.A' B 'C ' S ABC .AA' a 15. Chọn B. Câu 55. Đặt cạnh của khối lập phương là x x 0 . D' C' A' B' Suy ra CC ' x; AC x 2 . Tam giác vuông ACC ', có D C 2 2 AC ' AC CC ' x 3 a 3 x a. A B Vậy thể tích khối lập phương V a3. Chọn A. Câu 56. Do ABCD.A'B'C 'D' là lăng trụ đứng nên D' C' AA'  AB . A' B' Xét tam giác vuông A' AB , ta có C A' A A'B2 AB2 a 5 . D 2 2 A B Diện tích hình vuông ABCD là SABCD AB 4a .
14. 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .A' A 4 5a . Chọn B. Câu 57. Trong tam giác vuông ABB', có BB' AB'2 AB2 2a . 2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD AB.AD a 2 . 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .BB' 2a 2. Chọn D. Câu 58. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật. D' C' 2 A' B' SABCD 10cm AB.AD 10 2 Theo bài ra, ta có SABB A 20cm AB.AA 20. 2 AA .AD 32 D C SADD A 30cm 2 A B Nhân vế theo vế, ta được AA .AB.AD 6400 AA .AB.AD 80. 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' AA .AB.AD 80cm . Chọn A. Câu 59. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA a, AB b, AD c và có đường chéo AC . Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q 2. Suy ra b 2a . c 4a Mặt khác, độ dài đường chéo AC 21 AA 2 AB2 AD2 21 a2 b2 c2 21. Ta có hệ a 1 c 2b 4a c 2b 4a c 2b 4a b 2. 2 2 2 2 2 2 2 a b c 21 a 2a 4a 21 21a 21 c 4 Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD.A B C D AA .AB.AD abc 8. Chọn A. Câu 60. Vì ABC.A'B'C ' là lăng trụ đứng nên AA'  ABC , suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy ABC là AB . Do đó 600 ·A'B, ABC ·A'B, AB ·A'BA . A' C' Tam giác vuông A' AB , ta có B' AA' AB.tan ·A'BA 3. A C Diện tích tam giác ABC là 1 1 S BA.BC . B ABC 2 2 3 Vậy V S .AA' . Chọn C. ABC 2
15. Câu 61. Ta có AA'  ABCD nên D' C' B' ·A'C, ABCD ·A'C, AC ·A'CA. A' Tam giác vuông A' AC , ta có AC AA'.cot a 5 . D C Tam giác vuông ABC , ta có A B BC AC 2 AB2 2a . Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 SABCD AB.BC 2a . 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .AA' 2a . Chọn A. Câu 62. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B C . Tam giác ABC cân tại A  tam giác A B C cân tại A  A M  B C . Lại có B C  AA . Từ đó suy ra B C  AA M  B C  AM. Do đó A C 600 ·AB C , A B C ·AM ; A M ·AMA . Tam giác vuông A B M , có B a A M A B .cos M· A B a.cos600 . 2 Tam giác vuông AA M , có A' C' a a 3 AA A M.tan ·AMA .tan 600 . M 2 2 B' Diện tích tam giác 1 a2 3 S AB.AC.sin B· AC . ABC 2 4 3a3 Vậy V S .AA . Chọn A. ABC.A B C ABC 8 Câu 63. Tương tự như bài 62. Chọn B.
16. Câu 64. Ta có B' C' 300 ·A'C, ABCD ·A'C, AC ·A'CA; A' D' 600 ·A'BC , ABCD ·A'B, AB ·A'BA . Tam giác vuông A' AB , có AA' AB a . B C tan ·A'BA Tam giác vuông A' AC , có D AA' A AC 3a . tan ·A'CA Tam giác vuông ABC ,có BC AC 2 AB2 2a 2 . Diện tích hình chữ nhật 2 SABCD AB.BC 2a 2 . 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .AA' 2a 6. Chọn A. Câu 65. Hình thoi ABCD có B· AD 1200 , suy ra ·ADC 600 . Do đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên C ' N  A'B' 3 . C ' N 2 Suy ra C' D' 0 · · · 30 AC ', ADD' A' AC ', AN C ' AN . B' A' Tam giác vuông C ' NA , có N C ' N 3 AN . tanC· ' AN 2 C D Tam giác vuông AA' N , có B A AA' AN 2 A' N 2 2 . 3 Diện tích hình thoi S AB2.sin B· AD . ABCD 2 6 Vậy V S .AA' . Chọn C. ABCD.A' B 'C ' D ' ABCD 2 Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
17. Câu 66. Gọi O là tâm của hình vuông B' C' ABCD , A' D' suy ra A'O  ABCD . Tam giác vuông A'OA , có 2 2 2 2 B A'O AA' AO 4a 2a a 2 . C 2 O Diện tích hình vuông SABCD 4a . A D 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' S ABCD .A'O 4a 2. Chọn D. Câu 67. Theo giả thiết, ta có A'H  AB . B' C' Tam giác vuông A'HA , có A' D' a 3 A'H AA'2 AH 2 . 2 B H 2 C Diện tích hình vuông SABCD a . A D a3 3 Vậy V S .A'H . Chọn ABCD.A' B 'C ' D ' ABCD 2 B. Câu 68. Từ giả thiết suy ra BA BC a 2. A' C' Tam giác vuông A'HA , có B' a 6 A'H AA'2 AH 2 . 2 A C Diện tích tam giác ABC là H 1 B S BA.BC a2. ABC 2 a3 6 Vậy V S .A'H . Chọn C. ABC 2 a2 3 Câu 69. Diện tích tam giác đều S . Chiều cao khối lăng trụ ABC 4 A'O a . a3 3 Vậy thể tích khối lăng trụ V S .A'O . Chọn A. ABC 4 Câu 70. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, BC . A' C' Khi đó G AN  CM là trọng tâm ABC. Theo giả thiết, ta có A'G  ABC . B' Tam giác ABC đều cạnh 2a 2 nên suy ra 2 2 A AN a 6  AG AN a 6. C 3 3 M G N B
18. a 3 Tam giác vuông A'GA , có A'G A' A2 AG2 . 3 2 3 Diện tích tam giác ABC là S 2a 2 . 2a2 3. ABC 4 3 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC.A' B 'C ' SABC .A'G 2a . Chọn D. Câu 71. Gọi I là trung điểm BC . Từ A' A A'B A'C a , suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra A'I  ABC . B' C' Tam giác ABC , có BC AB2 AC 2 a 2. A' Tam giác vuông A'IB , có a 2 A'I A'B2 BI 2 . 2 B I C Diện tích tam giác ABC là 1 a2 A S AB.AC . ABC 2 2 a3 2 Vậy V S .A'I . Chọn C. ABC.A' B 'C ' ABC 4 Câu 72. Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong ABC . Theo giả thiết, ta có A'H  ABC . A' C' Tam giác vuông ABC , có B' AB2 1 BC AC 2 AB2 3 ; AH . AC 2 7 Tam giác vuông A'HA , có A'H AA'2 AH 2 A H . 2 C 1 3 Diện tích tam giác ABC là S AB.BC . B ABC 2 2 21 Vậy V S .A'H . Chọn A. ABC.A' B 'C ' ABC 4 1 Câu 73. Ta có thể tích khối chóp V V . A.A B C 3 ABC.A B C 2 3 3 Suy ra V V  V V .2a3 3a3. A.BCB C 3 ABC.A B C ABC.A B C 2 A.BCB C 2 Chọn D. Câu 74. Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.
19. 3 Thể tích khối hộp VABCD.A' B 'C ' D ' S.h 12cm . D' C' Chia khối hộp ABCD.A B C D thành khối tứ B' diện AB CD và 4 khối chóp: A.A B D , A' C.B C D , B .BAC, D .DAC (như hình vẽ). Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau D 1 S C và cùng bằng . .h. Suy ra tổng thể tích 4 3 2 A B 2 khối chóp bằng V ' Sh. 3 2 1 1 Vậy thể tích khối tứ diện V Sh Sh Sh .12 4cm3. Chọn C. AB CD 3 3 3 Câu 75. Vì A'O  ABCD nên B' C' 450 ·AA', ABCD ·AA', AO ·A' AO . A' D' Đường chéo hình chữ nhật AC AC AB2 AD2 2a AO a 2 B . C Suy ra tam giác A'OA vuông cân tại O O nên A D A'O AO a . Diện tích hình chữ nhật 2 SABCD AB.AD a 3 . 3 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .A'O a 3. Chọn D. Câu 76. Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 A' B' nên AH 3 . Vì A'H  ABC nên hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt đáy C' ABC là AH. Do đó 0 · A 45 AA', ABC ·AA', AH ·A' AH . Suy C ra tam giác A'HA vuông cân tại H nên H A'H HA 3 . B Diện tích tam giác đều ABC là S ABC 3 . Vậy V S ABC .A'H 3. Chọn A. Câu 77. Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng ABC . C' B' Suy ra AH là hình chiếu của AC trên mặt phẳng ABC . A' Do đó 600 ·AC , ABC ·AC , AH H· AC . C H B A
20. Tam giác vuông AHC , có C H AC .sin H· AC 2 3. Thể tích khối lăng trụ VABC.A B C S ABC .C H 8 3. 2 16 3 Suy ra thể tích cần tính V V . Chọn D. ABCB C 3 ABC.A B C 3 Câu 78. Xét khối lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác ABC. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt A' B' phẳng ABC A H  ABC . Suy ra C' AH là hình chiếu của AA trên mặt phẳng ABC . Do đó A B 0 · · · 60 AA , ABC AA , AH A AH. H Tam giác A AH vuông tại H , có C A H AA .sin ·A AH 5 3. 3 Vậy V S ABC .A H 50 3 cm . Chọn B. Câu 79. Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a . Gọi H là tâm tam giác ABD . Vì A' cách đều các điểm A, B, D nên A'H  ABD . B' C' A' Do đó 600 ·AA', ABCD ·AA', HA ·A' AH . D' 2 2 a 3 a 3 Ta có AH AO . . 3 3 2 3 B Tam giác vuông A' AH , có A'H AH.tan ·A' AH a . C a2 3 H O Diện tích hình thoi S 2S . A D ABCD ABD 2 a3 3 Vậy V S .A'H . Chọn C. ABCD.A' B 'C ' D ' ABCD 2 AC a Câu 80. Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC đều cạnh a OA . A' 2 2 D' Vì A O  ABCD nên 600 ·AA , ABCD ·AA , AO ·A AO. C' a 3 B' Tam giác vuông A AO , có OA OA.tan ·A AO . 2 A 3a3 D Suy ra thể tích khối hộp V S .OA . ABCD 4 O B C Ta có V VO.ABC D VAA D .BB C VC .BOC VD .AOD VO.CDD C 1 1 1 1 V a3 V V V V V V . Chọn C. O.ABC D 2 12 12 6 O.ABC D 6 8