Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Mặt cầu, khối cầu (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Mặt cầu, khối cầu (Có đáp án)

1. MẶT CẦU – KHỐI CẦU Câu 1. Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng D . Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh D là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây: (I)Đường kính AB thuộc D . (II)D cố định và đường kính AB thuộc D . (III)D cố định và hai điểm A, B cố định trênD . A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Không cần thêm điều kiện nào. Câu 2. Cho mặt cầu (S) tâm O , bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R . Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N . Hình chiếu của O trên (P) là I . Mệnh đề nào sau đây đúng? O A. NI tiếp xúc với (S). M B. ON = R 2 Û IN = R. N (P) I C. Cả A và B đều sai. D. Cả A và B đều đúng. Câu 3. Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B . Khi đó độ dài đoạn AB bằng: R A. R .B. .C. R 2 .D. R 3 . 2 Câu 4. Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R . Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = R 3 . Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng: Trang 1
2. R A. R .B. .C. R 2 .D. R 3 . 2 Câu 5. Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (a). Biết R khoảng cách từ O đến (a) bằng . Khi đó thiết diện 2 O tạo bởi mặt phẳng (a) với S(O;R) là một đường tròn H có đường kính bằng: (a) r A. R .B. R 3 . R R 3 C. .D. . 2 2 Câu 6. Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6cm . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là: A.1,2cm .B. 1,3cm .C. 1cm .D. 1,4cm . Câu 7. Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p . Một mặt phẳng (a) cắt hình cầu theo p một hình tròn có diện tích là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (a) bằng: 2 p 1 2 p p A. . B. .C. .D. . p p p 2p Câu 8. Một hình cầu có bán kính là 2m , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là 2,4pm . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là: A.1,6m . B. 1,5m .C. 1,4m . D. 1,7m . Câu 9. Cho mặt cầu S(O;R), A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 600. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng: O 2 2 pR A. pR . B. . 600 2 A r H (P) Trang 2
3. pR2 pR2 C. . D. . 4 8 Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng: a(1+ 3) a( 6 - 2) a( 6 + 2) a( 3 - 1) A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a 2 a 6 A. . B. 3a. C. . D. a 6. 2 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA = a 6 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được: A. a2 2. B. 8pa2. C. 2a2. D. 2pa2. Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: a 2 a 6 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 a 21 Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . 6 Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số R bằng: h Trang 3
4. 7 7 7 1 A. B. . C. . D. . 12 24 6 2 Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: 4pa3 2pa3 6 8pa3 6 8pa3 6 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 27 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Tỉ số nhận giá trị nào sau đây? a A. a 2. B. a. C. 1 D. 2. Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h là: 4 5 5 A. 4R = 5h. B. 5R = 4h. C. R = h. D. R = h. 5 5 4 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA = a 2 vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M , F nhận giá trị nào sau đây? a 2 a A. a 2. B. a .C. . D. . 2 2 Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây? a 2 a A. a 2. B. a .C. . D. . 2 2 Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình Trang 4
5. chóp A.HKCB là: 2pa3 pa3 pa3 A. . B. 2pa3. C. . D. . 3 6 2 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây? a a a A. . B. . C. . D. a. 4 3 2 Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai? é ù A. R = d ëG,(SAB)û. B. 3 13R = 2SH. R2 4 3 R C. = . D. = 13. SDABC 39 a Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 2pa3 11 11pa3 pa3 pa3 A. . B. . C. . D. . 3 162 6 3 Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: a a 13 a 39 a 15 A. . B. . C. .D. . 2 2 6 4 Câu 25. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a , Trang 5
6. OB = 2a , OC = 3a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là: 3a a 6 a 14 A. a 3 B. . C. .D. . 2 2 2 Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với đáy (ABC) một góc 600. Gọi S, V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu V ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tỉ số bằng ? S a 14 3a 14 a 2 A. a 14 B. . C. . D. . 12 4 6 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc B·AD = 1200 . Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy (ABCD). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị: a 13 2a a 13 a 13 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 3 3 Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC = a . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a , A·SB = 1200 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a a A. . B. . C. a. D. 2a. 4 2 Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = a 3 , góc ·ACB bằng 300 . Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A' ABC bằng: 3a a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. .D. . 4 4 2 8 Câu 30. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng (AB'C ') tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính Trang 6
7. mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C ' bằng: 85a 3a 3a 31a A. . B. .C. . D. . 108 2 4 36 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 1. Chọn C. é ù é ù Câu 2. Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên d ëO,(P)û= OI mà d ëO,(P)û= R nên I là tiếp điểm của (P) và (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I . Suy ra IN tiếp xúc với (S). Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R 2 Û IN = R . Chọn D. Câu 3. Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên AB ^ OB . Suy ra AB = OA2 - OB2 = 4R2 - R2 = R 3. Chọn D. Câu 4. Gọi H là hình chiếu của O lên BC . CD R 3 Ta có OB = OC = R , suy ra H là trung điểm của BC nên HC = = . 2 2 R Suy ra OH = OC 2 - HC 2 = . Chọn B. 2 Câu 5. Gọi H là hình chiếu của O xuống (a). R Ta có d éO,(a)ù= OH = < R nên (a) cắt S(O;R) theo đường tròn C(H;r). ë û 2 R 3 Bán kính đường tròn C(H;r) là r = R2 - OH 2 = . 2 Suy ra đường kính bằng R 3.Chọn B. Câu 6. Mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6cm) theo một đường tròn (H;r). Trang 7
8. Vậy r = R2 - IH 2 = (2,6)2 - (2,4)2 = 1cm . Chọn C. Câu 7. Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu. Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R . p p p Theo giả thiết, ta có pR2 = p Û R = và pr 2 = Û r = . p 2 2p p Suy ra d = R2 - r 2 = . Chọn D. 2p Câu 8. Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d , ta có d 2 = R2 - r 2 . 2,4p Theo giả thiết R = 2m và 2pr = 2,4pm Þ r = = 1,2m . 2p Vậy d = R2 - r 2 = 1,6m . Chọn A. Câu 9. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (P) thì ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S). ● O·A,(P)= (·OA, AH )= 600. R Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.cos600 = . 2 2 2 2 æRö pR Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: pr = pç ÷ = . Chọn C. èç2 ø÷ 4 Câu 10. Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc S·MH (I Î SH ) . Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán Trang 8
9. kính r = IH . a 2 Ta có SH = SA2 - AH 2 = ; 2 a 3 a SM = ; MH = . 2 2 Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: IS MS SH MS + MH SH.MH a a( 6 - 2) = Þ = Þ IH = = = . IH MH IH MH MS + MH 2 + 6 4 Chọn B. Câu 11. Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi I là trung điểm SC , suy ra S IM PSA nên IM ^ (ABC). I Do đó IM là trục của DABC , suy ra A C IA = IB = IC. (1) M Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung B điểm SC nên IS = IC = IA. (2) Từ (1) và (2), ta có IS = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . SC SA2 + AC 2 a 6 Vậy bán kính R = IS = = = .S Chọn C. 2 2 2 Câu 12. Gọi O = AC Ç BD , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . I Gọi I là trung điểm SC , suy ra A D IO PSA Þ IO ^ ABCD . ( ) O B C Do đó IO là trục của hình vuông ABCD , suy ra Trang 9
10. IA = IB = IC = ID. (1) Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA. (2) SC Từ (1) và (2), ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = = a 2. 2 Vậy diện tích mặt cầu S = 4pR2 = 8pa2 (đvdt). Chọn B. Câu 13. Gọi M là trung điểm AC , suy ra SM ^ (ABC)Þ SM ^ AC. Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S . Ta có AC = AB2 + BC 2 = a 2 , suy ra tam giác SAC đều.S Gọi G là trọng tâm DSAC , suy ra GS = GA = GC . (1) G Tam giác ABC vuông tại B , có M là trung điểmA cạnh C huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M ABC . B Lại có SM ^ (ABC) nên SM là trục của tam giác ABC . Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC . (2) Từ (1) và (2), suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC . 2 a 6 Bán kính mặt cầu R = GS = SM = . Chọn B. 3 3 Trang 10
11. aS 3 Câu 14. Gọi O là tâm DABC , suy ra SO ^ (ABC) và AO = . 3 a M Trong SOA, ta có h = SO = SA2 - AO2 = . 2 A I C Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra O ● I Î d nên IS = IA . B ● I Î SO nên IA = IB = IC . Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC . Gọi M là tung điểm SA, ta có DSMI ÿ DSOA nên SM.SA SA2 7a R 7 R = SI = = = . Vậy = . Chọn C. SO 2SO 12 h 6 S Câu 15. Gọi O = AC Ç BD , suy ra SO ^ (ABCD). d Ta có 600 =S·B,(ABCD)= S·B,OB = S·BO . I A B a 6 Trong DSOB , ta có SO = OB.tan S·BO = . 2 O D C Ta có SO là trục của hình vuông ABCD . Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB . ïì I Î SO ïì IA = IB = IC = ID Gọi I = SO Çd Þ íï Þ íï Þ IA = IB = IC = ID = IS = R . îï I Î d îï IS = IB ïì SB = SD Xét DSBD có íï Þ DSBD đều. ï · · o îï SBD = SBO = 60 Do đó d cũng là đường trung tuyến của DSBD . Suy ra I là trọng tâm DSBD . Trang 11
12. 2 a 6 4 8pa3 6 Bán kính mặt cầu R = SI = SO = . Suy ra V = pR3 = . Chọn D. 3 3 3 27 Câu 16. Ta có SA ^ AD hay S·AD = 900. Gọi E là trung điểm AD . Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi. 1 Suy ra CE = EA = AD . 2 Do đó tam giác ACD vuông tại C . Ta có: ïì DC ^ AC íï Þ DC ^ (SAC)Þ DC ^ SC hay S·CD = 900. îï DC ^ SA Tương tự, ta cũng có SB ^ BD hay S·BD = 900. Ta có S·AD = S·BD = S·CD = 900 nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD SD SA2 + AD2 R làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R = = = a 2 . Suy ra = 2. 2 2 a Chọn D. Câu 17. Ta có 450 = S·C,(ABCD)= S·C, AC = S·CA . Trong DSAC , ta có h = SA = a 5. ïì BC ^ AB Ta có íï Þ BC ^ (SAB)Þ BC ^ BN . îï BC ^ SA Lại có NA ^ AC . Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC , bán kính 2 NC 1 2 æSAö 5a R = JN = = . AC + ç ÷ = . Chọn A. 2 2 èç 2 ø÷ 4 Câu 18. Mặt phẳng (a) song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F nên EF PBD . S Trang 12 I M F E A D O B C
13. DSAC cân tại A, trung tuyến AM nên AM ^ SC . (1) ïì BD ^ AC Ta có íï Þ BD ^ (SAC)Þ BD ^ SC . îï BD ^ SA Do đó EF ^ SC .(2) Từ (1) và (2), suy ra SC ^ (a)Þ SC ^ AE . (*) ïì BC ^ AB Lại có íï Þ BC ^ (SAB)Þ BC ^ AE .( ) îï BC ^ SA Từ (*) và ( ), suy ra AE ^ (SBC)Þ AE ^ SB . Tương tự ta cũng có AF ^ SD. Do đó S·EA = S·MA = S·FA = 900 nên năm điểm S, A, E, M , F cùng thuộc mặt cầu SA a 2 tâm I là trung điểm của SA, bán kính R = = . Chọn C. 2 2 Câu 19. Gọi O = AC Ç BD . S Vì ABCD là hình vuông nên OB = OD = OC .(1) ïì CB ^ AB Ta có íï Þ CB ^ (SAB)Þ CB ^ AH . ï CB ^ SA H îï A D O Lại có AH ^ SB . B C Suy ra AH ^ (SBC)Þ AH ^ HC nên tam giác AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH = OC .(2) Từ (1) và (2), suy ra a 2 R = OH = OB = OD = OC = . Chọn C. 2 Câu 20. Theo giả thiết, ta có A·BC = 900 và ·AKC = 900 . (1) Trang 13
14. ì AH ^ SB ï Do í Þ AH ^ HC. (2) ï BC ^ AH BC ^ SAB îï ( ( )) Từ (1) và (2), suy ra ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 900 nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC , bán kính AC AB 2 a 2 R = = = . 2 2 2 4 2pa3 Vậy thể tích khối cầu V = pR3 = (đvtt). Chọn A. 3 3 Câu 21. Ta có 600 = S·D,(ABCD)= S·D, HD = S·DH . Trong tam giác vuông SHD , có BD a 3 HD a SH = .tan S·DH = và SD = = . 4 4 cos S·DH 2 Trong tam giác vuông SHB , có a 3 SB = SH 2 + HB2 = . 2 Xét tam giác SBD , ta có SB2 + SD2 = a2 = BD2 . Suy ra tam giác SBD vuông tại S . Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu 1 a ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là O , bán kính R = BD = . Chọn C. 2 2 Câu 22. Ta có 600 = S·A,(ABC)= S·A, HA = S·AH . a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = . 2 3a Trong tam giác vuông SHA, ta có SH = AH.tan S·AH = . 2 Trang 14
15. é ù Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d ëG,(SAB)û. 1 2 Ta có d éG,(SAB)ù= d éC,(SAB)ù= d éH,(SAB)ù. ë û 3 ë û 3 ë û Gọi M , E lần lượt là trung điểm AB và MB . ì CM ^ AB ì HE ^ AB ï ï ï ï Suy ra í a 3 và í 1 a 3 . ï CM = ï HE = CM = îï 2 îï 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK ^ SE . (1) ïì HE ^ AB Ta có íï Þ AB ^ (SHE)Þ AB ^ HK. (2) îï AB ^ SH é ù Từ (1) và (2), suy ra HK ^ (SAB) nên d ëH,(SAB)û= HK . SH.HE 3a Trong tam giác vuông SHE , ta có HK = = . SH 2 + HE 2 2 13 2 a Vậy R = HK = . Chọn D. 3 13 Câu 23. Gọi O = AC Ç BD Suy ra OA = OB = OC = OD. (1) Gọi M là trung điểm AB , do tam giác SAB vuông tại S nên MS = MA = MB . Gọi H là hình chiếu của S trên AB . Từ giả thiết suy ra SH ^ (ABCD). ïì OM ^ AB Ta có íï Þ OM ^ (SAB)nên OM là trục îï OM ^ SH của tam giác SAB , suy ra OA = OB = OS. (2) Trang 15
16. Từ (1) và (2), ta có OS = OA = OB = OC = OD. a 2 Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD , bán kính R = OA = . 2 4 2pa3 Suy ra V = pR3 = (đvtt). Chọn A. 3 3 Câu 24. Gọi G là trọng tâm DABC , suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC . Từ G dựng tia Gx ^ (ABC) (như hình vẽ). Suy ra Gx là trục của tam giác ABC . Trong mặt phẳng (SA,Gx), kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA. ïì O Î Gx ïì OA = OB = OC Gọi O = Gx Çd Þ íï Þ íï îï O Î d îï OA = OS Þ OA = OB = OC = OS = R . Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC . 1 a 3 Ta có OG = PA = SA = ; 2 2 2 2 a 3 a 3 AG = AM = . = . 3 3 2 3 a 39 Trong tam giác vuông OGA , ta có R = OA = OG2 + AG2 = . Chọn C. 6 Câu 25. Gọi M là trung điểm BC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp DOBC. Kẻ Mx ^ (OBC) (như hình vẽ). Suy ra Mx là trục của DOBC . Trang 16
17. Trong mặt phẳng (OA,Mx), kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I . Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. a 14 Bán kính mặt cầu: R = IO = IM 2 + OM 2 = .Chọn D. 2 Câu 26. Ta có 60o = S·I,(ABC)= S·I, AI = S·IA. S 1 a 2 Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra AI = BC = . x 2 d 2 a 6 J Trong DSAI , ta có SA = AI.tan S·IA = . 2 A C Kẻ Ix ^ (ABC) (như hình vẽ). I B Suy ra Ix là trục của DABC . Trong mặt phẳng (SA, Ix), kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J . Khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. a 14 V R a 14 Bán kính: R = JA = JI 2 + AI 2 = nên = = . Chọn B. 4 S 3 12 Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD . Kẻ Gx ^ (ACD), suy ra Gx là trục của DACD . Trong mặt phẳng (SA,Gx), kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I . S Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp. x SA a 3 I Ta có IG = MA = = ; M 2 2 d A D 2 a 3 GA = AE = . G E 3 3 B C Trang 17
18. Suy ra bán kính: a 39 R = IA = IG2 + GA2 = . Chọn A. 6 Câu 28. Gọi M là trung điểm AB , suy ra SM ^ AB và SM ^ (ABC). Do đó SM là trục của tam giác ABC . Trong mặt phẳng (SMB), kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính R S= SI. Ta có AB = SA2 + SB2 - 2SA.SB.cos A·SB = a 3. P Trong tam giác vuông SMB , ta có a SM = SB.cos M· SB = a.cos600 = . A M B 2 I Ta có DSMBÿDSPI , suy ra C SM SP SB.SP = Þ R = SI = = a. SB SI SM Chọn C. Câu 29. Ta có 600 = ·AB',(ABC)= ·AB', AB = B·' AB . Trong DABC , ta có a 3 AB = AC.sin ·ACB = . 2 Trong DB'BA, ta có 3a BB' = AB.tan B·' AB = . 2 Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC . Trang 18
19. Gọi I là trung điểm A'C , suy ra IN PAA' Þ IN ^ (ABC). Do đó IN là trục của DABC , suy ra IA = IB = IC. (1) Hơn nữa, tam giác A' AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA' = IC = IA. (2) Từ (1) và (2), ta có IA' = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình A'C AA'2 + AC 2 a 21 chóp A'.ABC với bán kính R = IA' = = = . Chọn B. 2 2 4 A C G Câu 30. Gọi M là trung điểm B'C ', ta có B 0 · · · 60 = (AB'C '),(A'B'C ')= AM , A'M = AMA' . P a 3 I Trong DAA'M , có A'M = ; 2 A' C' G' 3a AA' = A'M.tan ·AMA' = . B' 2 Gọi G ' là trọng tâm tam giác đều A'B'C ', suy ra G ' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp DA'B'C '. Vì lặng trụ đứng nên GG ' ^ (A'B'C '). Do đó GG ' là trục của tam giác A'B'C '. Trong mặt phẳng (GC 'G '), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC ' cắt GG ' tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C ' , bán kính R = GI. GP GG ' Ta có DGPI ÿ DGG 'C ' Þ = GI GC ' GP.GC ' GC '2 GG '2 + G 'C '2 31a Þ R = GI = = = = . Chọn D. GG ' 2GG ' 2GG ' 36 Trang 19