Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Giới hạn của dãy số (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Giới hạn của dãy số (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA. 1 a1 a a Bài 1. Cho dãy số an xác định bởi : 3 2 . Chứng minh rằng với mọi số thực a 0 2a 2a 2 n n an 1 2 3an 4an 1 thì dãy an hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy an . Hướng dẫn giải 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM). a 1 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên a 2. a a * Nếu a 1 thì a1 2 . Ta chứng minh: an 2, n ¥ . Hiển nhiên a1 2 . 2.23 2.22 2 Giả sử a 2 a 2 . k k 1 3.22 4.2 1 Vậy lim an lim 2 2 . a 0 * . Nếu thì a1 2 . Ta chứng minh an 2 n ¥ . a 1 Rõ ràng a1 2 . . Giả sử ak 2 . Ta chứng minh ak 1 2 . 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 2 2 2 2ak ak 2 0 ( đúng). 3ak 4ak 1 Ta chứng minh an là dãy giảm, thật vậy :. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 ( do tử âm, mẫu dương vì. 2 7 an 2 3 3an 4an 1 0 . 2 7 a n 3 2 7 Mà a 2 3a 2 4a 1 0 ). n 3 n n
2. an giảm và bị chặn dưới an có giới hạn là L . 3 2 3 2 2an 2an 2 2L 2L 2 lim an 1 lim 2 2 3an 4an 1 3L 4L 1 . L 2 an 2 L 1 Vậy lim an 2 . . Nếu a 0 thì a1 2 . Tương tự, ta có:. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 nên an tăng. Hơn nữa an bị chặn trên bởi 1, thật vậy. 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 1 2 1 ak 1 (2a 3) 0 . 3ak 4ak 1 Vậy an tăng và bị chặn trên an có giới hạn là L . an 1,n , an 1 an 0,n 2L3 2L2 2 . L L 1 a 1 L 2 3L2 4L 1 n Vậy lim an 1. Tóm lại: + Nếu a 1 thì lim an 2 . a 0 + Nếu thì lim an 2 . a 1 + Nếu a 0 thì lim an 1. x1 0 Bài 2. Cho dãy số xn được xác định bởi 1 2 3 2015 * . Tìm giới hạn x x L n ¥ n 1 n 2 3 2015 xn xn xn xn của dãy nxn khi n , với là số thực cho trước. Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh được xn 0,n 1 bằng qui nạp. Ta có. 2 1 2 1 2 1 2 xn 1 xn , n 1 xn 1 xn xn 2 2 xn 2 ; n 1. xn xn xn 2 2 2 2 Bởi vậy n N, n 2 thì xn xn 1 2 xn 2 4  x1 2 n 1 . xn 1, n 2 và lim xn . n
3. * 1 2 3 2015 Với n N , đặt xn 1 xn tn trong đó tn 2 3  2015 . xn xn xn xn t xn 1; n 2 0 tn 2 , với t 2 3  2014 2015 (1), suy ra. xn 2 2 2 1 2 1 2 2tn xn 1 xn xn tn xn 2 tn 2 2xntn 2 . khi n . xn xn xn 2 b1 x1 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy bn với 2 2 . bn xn xn 1, n 2. b1 b2  bn ta có lim bn 2 suy ra lim limbn 2 n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 b b  b n 1 Mà n 1 2 n suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 n 1 Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro). n 2 xn 2 2 2 2 Xét dãy cn : c1 x1 2; cn xn xn 1 2 với n 2,3. *  lim cn 0 nên  0 tồn tại m N sao cho cn ,  n m. . n 2 Gọi M max ci  với 1 i m 1. 2 m 1 M 2 m 1 M m 1 M  Với  ở trên tồn tại m 1 thì m' hay .   m 2 Xét n max m,m'. ta có.  n n m 1 n m 1 | ci | ci | ci | m 1 M  m 1 M   i 1 i m i 1 2 . o đó theo định n n n n n 2 m 2 2 n | c | nghĩa lim i 1 i 0 . n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 c c  c n 1 n 1 2 n 2 . suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 1 Nếu 2 thì n.x n.x 2 khi n . n n 2 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn khi n . 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn 0 khi n .
4. Cho hai số a ,b với 0 b 1.Lập hai dãy số a , b với n 1,2, Theo quy tắc sau: Bài 3. 1 1 1 a1 n n 1 giải nghĩa cái đó là:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn Tính: lim an và limbn . 2 . n n Hướng dẫn giải Tính a ,b với 0 b a 1ta có thể chọn 0 a sao cho: b cosa ,. 2 2 1 1 2 1 2 Suy ra a1 cos a . 1 1 a a (cos2 a cos a) cos a(cos a 1) cosa.cos2 . 2 2 2 2 a a b cos a.cos2 .cos a cos a.cos . 2 2 2 Bằng quy nạp, chứng minh được:. a a a a a a cos a.cos cos cos (1) b cos a.cos cos (2) . n 2 2n 1 2n 1 n 2 2n 1 a Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n 1 a sin 2a.cos n 1 sin 2a a 2 , b . n a n a 2n.sin 2n.sin 2n 1 2n 1 Tính giới hạn:. sin 2a sin 2a lim an , limbn . n 2a n 2a 1 an Bài 4. Cho dãy số an ,a1 1 và an 1 an .Chứng minh: lim 2 . n an n Hướng dẫn giải 1 n n 1 n 1 1 a2 a2 2 a2 a2 2(n 1). k 1 k 2  i  j  2 . ak i 2 j 1 j 1 a j n 1 1 a2 2n 1 . n  2 Vậy an 2n 1 , n 2 j 1 a j 2 1 1 1 1 1 1 1 ak 2k 1 k 2 4 2 2 . a k (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k n 1 1 1 1 1 n 1 1 1 5 (1 ) 1 Suyra:  4  4 . k 2 ak 4 n 1 4 j 1 a j 4 4 n 1 1 n 1 1 5 Suyra: (n 1) (n 1) (n 2)  2  4 j 1 a j j 1 a j 4
5. k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 Ta có 2 . xn xn 1 xn n n n 1 1 1 1 2 1 2 . x1 xn n 1 x với mọi n 1. n 2 2 Vậy xn có giới hạn. Bài 19. Cho dãy số a tăng, a 0n 1,2,3, và 0 . Xét dãy số x xác định bởi n n n n ai 1 ai xn . Chứng minh rằng tồn tại lim xn .  n i 1 ai 1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy xn tăng ngặt. Trường hợp 1. Nếu 1. ai 1 ai 1 1 1 1 1 1 xn . ai 1ai ai ai 1ai ai ai 1 a1 vậy dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n . Trường hợp 2. Nếu 0 1. ai 1 ai 1 1 1 1 * thật vậy * ai 1 ai 1 ai ai 1 ai . ai 1ai ai ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 . ai 1 ai Ta chứng minh ( ). Xét hàm số f x x Trên đoạn ai ;ai 1 . Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c ai ;ai 1 thoả mãn ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai f c c ai 1 (đpcm). ai 1 ai ai 1 ai ai 1 ai 1 Từ đó ta có xn dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n a1 .
6. n a1a2 an 1 Bài 20. Cho dãy số xác định bởi a0 1;a1 1;an 1 1 n 1,2,3, . Đặt Sn  . a n k 1 ak 1a k 2 2 Chứng minh tồn tại lim Sn ( trong đó x là phần nguyên của x ). n Hướng dẫn giải 1 1 a 1 1 1 Ta có k 1 . a a a a a a a a a a a a a a k 1 k a 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 1 2 k 1 k 1 2 ak 1 1 n 1 1 1 1 Suy ra Sn  . k 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 a1 a1a2 an 1 Chứng minh lim a1a2 an 1 . n Ta có : an 1 n 2 . n n an 1 an 1 suy ra dãy đã cho là tăng. 2 Như vậy an an 1 1 a1 n 1. 1 Vậy lim a1a2 an 1 , suy ra lim Sn . n n a1 u1 3, v1 2 2 2 Bài 21. Cho dãy số un ; vn được xác định như sau un 1 un 2vn n N vn 1 2unvn . 2n 2n Tìm các giới hạn sau: lim vn và lim u1.u2 un x x . Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta có: n N : un 1 2.vn 1 un 2vn 2 2.unvn un 2.vn (1). 2 Áp dụng (1) ta suy ra: un 2.vn un 1 2.vn 1 . 2n 1 2n 1 2n Theo quy nạp ta có: un 2.vn u1 2.v1 3 2 2 2 1 (2). 2n Lập luận tương tự ta cũng có: un 2.vn 2 1 (3). 1 2n 2n un 2 1 2 1 2 Từ (2) và (3) ta suy ra: . n n 1 2 2 vn 2 1 2 1 2 2
7. 1 2n 2n 2n 2n Lại có: un 2 1 2 1 2 1 , từ đó suy ra: un 2 1. 2 2n 2n n n 2 2 2 1 n 2 1 1 n 2 Tương tự ta có : 2 . vn 2 1 2 1 vn 2 2 8 8 Mặt khác ta có: vn un . Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau:. n 1 2 n 2 1 1 2 2n 2n 2n 2 1 vn un 2 1. 8 8 2n 2n Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra lim un lim vn 2 1. n n vn 1 Hơn nữa theo đề bài ta có: vn 1 2unvn un . 2vn v2 v3 vn 1 vn 1 vn 1 Suy ra: u1.u2 un . n n 1 . 2v1 2v2 2vn 2 v1 2 v 1 2n 2n n 1 2n 2n Vậy lim u1.u2 un lim lim vn 1 .lim . n n 2n 1 n n 2n 1 1 n 1 2n 2n 2 2n 2n 2n lim 2unvn .lim lim 2.lim un .lim vn .lim . n n 2n 1 n n n n 2n 1 1. 2 1 . 2 1 .1 3 2 2 . 2n 2n Tóm lại ta có: lim vn 2 1 và lim u1.u2 un 3 2 2 . n n n Bài 22. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và an 1 an ,n 1. Chứng minh rằng an lim an n 0 . n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 (do a1 1). a1 Nhận xét: an n,n 2 . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy. Với n 2 ta có a2 2 (đúng). Giả sử ak k . k 2 Ta có ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak . ak
8. 2 ak k 1 ak k 0 . ak 1 ak k 0 (đúng). Suy ra ak 1 k 1. Như vậy an n,n 2 (điều phải chứng minh). n n Mặt khác, an 1 n 1 an n 1 an n 1. an an a2 n 1 a n a n a 1 n n n n (1). an an Áp dụng (1) ta có. a2 2 a2 1 a3 3 a 2 a3 3 a3 1 a4 4 a3 . an n an 1 an 1 n 1 an a2 2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 Suy ra a3 3 a4 4 an 1 n 1 . a2a3 an a2 2 a2 1 a3 1 an 1 an 1 n 1 . a2a3 an 1 1 1 an 1 n 1 a2 2 1 1 1 . a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 2  1 (2). i 2 ai n an 1 1 an 1 1 an an n Ta lại có 1 (do an n 1). an 1 an 1 an 1 an 1 an n 1 a a a a Suy ra  1 1 . 2 n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an a1 a1 Từ (2) an 1 n 1 a2 2 . a2 2 . (vì an n ). an n a 0 a n 1 a 2 . 1 . n 1 2 n a1 a1 Mà lim 0 lim a2 2 0 . n n n n
9. Do đó lim an 1 n 1 0 hay lim an n 0 . n n 1 1 Bài 23. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương xn thỏa mãn xn 1 1 với mọi xn * n ¥ . Chứng minh rằng dãy xn hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) x , x 0 . x 1 1 1 x 1 Ta có f (x) x 1 ; f (x) 0 x x 1 . x2 x2 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f x :. x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) . 1 1 1 1 Suy ra f (x) f x0 ( 1) . 1 1 1 Do đó xn 1 1 xn 1 . xn xn 1 Suy ra xn 1 xn hay xn là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy xn hội tụ. 1 Đặt lim x  0 . Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x . n  0 1 1 Vậy lim xn . u ,u (0;1) 1 2 Bài 24. Cho dãy số thực un thỏa mãn 1 4 . Chứng minh rằng dãy (un ) có u u3 3 u , n 1 n 2 5 n 1 5 n giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải x min u ,u  1 1 2 Xét dãy (xn ) : 1 4 . 3 3 xn 1 xn xn 5 5 Ta thấy xn (0;1) .
10. 3 3 3 3 3 13 1 4 x x x x x 5 Ta có x x3 3 x n n n n n x 3 x . n 1 5 n 5 n 5 n n Vậy dãy xn tăng, bị chặn trên nên hội tụ, lim xn a (0 a 1) . 1 4 Chuyển qua giới hạn ta được: a a3 3 a a 1. 3 5 Ta sẽ chứng minh xn u2n 1; u2n 1 (*) bằng quy nạp theo n. Ta có x1 u1;u2 1. Giả sử xn u2n 1;u2n 1. 1 4 1 4 Suy ra x x3 3 x u3 3 u u 1. n 1 5 n 5 n 5 2n 5 2n 1 2n 1 1 4 1 4 1 4 x x3 3 x x3 3 x u3 3 u u 1. n 1 5 n 5 n 5 n 1 5 n 5 2n 1 5 2n 2n 2 Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy ra limun 1. x1 2007 Bài 25. Cho dãy số thực x xác định bởi: x . Chứng minh dãy số (x ) có n x 3 n n 1 n n 1 2 xn 1 giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn 3 . x 1 Ta có: x 3 n = 3 1 3 2 n 1. n 1 2 x2 1 xn 1 n Vậy xn 2007 với mọi n nên dãy bị chặn. x 1 1 Xét f x 3 f x f x khi x 3 . 2 3 x 1 x2 1 2 2 Ta có:. 2 x 2 x f x x x 3 (x 3) 2 x2 1 x 1 . (x2 3x)2 2(x2 3x) 3 0 x2 3x 1 (L) 2 x 3x 3 . 3 15 x a 2 Áp dụng định lý Lagrang có:.
11. n 1 1 xn 1 a f (xn ) f (a) f '(n ) xn a xn a x1 a n  0 Do đó 2 2 2 2 3 15 lim x a . n 2 u e 2 1 un 1 Bài 26. Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 Vì u e 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a 2n 1 Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được un 1 a n , n ¥ . a2 Xét. n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 . 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 e2 4 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 Bài 1. Cho dãy số xn xác định bởi. x1 a x2 7 . x n , n 1,2,3, n 1 2 xn 3 Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải Theo Côsy thì. 1 16 xn 1 xn 7 xn xn 3 6 1; xn 1 xn 0. 2 xn 3 2 xn 3 dãy giảm, bị chặn bởi 1, vậy dãy có giới hạn. Từ lim xn a a 1. x1 1 Bài 27. Cho dãy số xn , xác định bởi: 2014 . Chứng minh rằng dãy số xn có x 1 , n 1,2,3 n 1 1 xn giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
12. Hướng dẫn giải 2014 Xét hàm số f (x) 1 trên 0; . Ta thấy f (x) liên tục và nghịch biến trên 0; (Vì 1 x 2014 f '(x) 0 ). Do đó 1 f (x) 2015 . 1 x 2 2014 Ta có xn 1 1 f (xn ) với mọi n dãy xn bị chặn. 1 xn Mặt khác, ta có x1 x3 f (x1) f (x3 ) x2 x4 f (x2 ) f (x4 ) x3 x5 .Suy ra dãy x2n 1 là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy x2n là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy x2n 1 , x2n có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim x2n 1 a và lim x2n b , ( a,b 1). Từ x2n 1 f (x2n ) lim x2n 1 lim f (x2n ) b f (a) . x2n 2 f (x2n 1) lim x2n 2 lim f (x2n 1) a f (b) . 2014 b 1 1 a Vậy ta có hệ a b 2015 . 2014 a 1 1 b Vậy lim xn = 2015 . x1 2,1 2 Bài 28. Cho dãy số xn được xác định bởi x 2 x 8x 4 với mỗi số x n n n * ,n 1,2, n 1 2 n 1 y nguyên dương n, đặt n  2 . Tìm lim yn . i 1 xi 4 Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2 bất kì, ta có. a 2 a2 8a 4 a 2 a2 4a 4 a 2 a 2 a . 2 2 2 Do đó 2,1 x1 x2 Suy ra dãy xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2 . Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. x 2 x2 8x 4 x x2 4 x 3 x 2 . 2 phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy xn tăng và không bị chặn trên nên lim xn .
13. x 2 x2 8x 4 Ta có x n n n 2x x 2 x2 8x 4 . n 1 2 n 1 n n n 2 2 2 2xn 1 xn 2 xn 8xn 4 xn 2 4 xn 3 xn 2 . 1 xn 3 xn 2 1 1 1 2 2 2 . xn 2 xn 1 4 xn 1 4 xn 1 2 xn 1 4 1 1 1 2 . xn 1 4 xn 2 xn 1 2 n 1 1 1 1 y 10 Suy ra n  2 . i 1 xi 4 x1 2 xn 1 2 xn 1 2 Vậy lim yn 10 . x0 a Bài 29. Dãy số thực x n được xác định bởi: n . Tìm tất cả các giá trị của n ¥ 2  ¥ xn 1 2xn 1 a để xn 0 với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải Giả sử xn 0 với n ¥ . 2 Từ x 2x2 1 0 có x 0 . n 2 n 1 2 n 1 2 2 2 2 1 Lại từ 2x2 1 0 có x 1 x ,n ¥ . 2 n 2 n 2 n 4 1 3 1 Suy ra x và x 1,n ¥ . n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó x 2x2 1 2 x2 2 x . x x ,n ¥ . n 1 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:. 2 n n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 a x0 x1 x2 xn ,n ¥ . 2 2 3 2 3 2 3 2 3 n 2 1 1 Mà lim 0 nên phải có a 0 a . n 3 2 2 1 1 Thử lại với a thì x 0,n . 2 n 2 1 Vậy a là giá trị duy nhất cần tìm. 2 x1 2014 Bài 30. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: . 3 * xn 1 6xn 6sin xn ,n ¥
14. Hướng dẫn giải x3 Sử dụng bất đẳng thức x sin x x,x 0. 6 Xét hàm số f x 3 6x 6sin x, x 0. 6 1 cos x Ta có: f ' x 0,x 0 f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 2 33 6x 6sin x Do đó: f x f 0 0x 0 . mà x2 f x1 0 vì x1 2014 0 * Vậy ta có xn 1 f xn 0,n N . 6x 6sin x x3 Mặt khác: x x 3 6x 6sin x x n n n . n 1 n n n n 2 3 3 2 6xn 6sin xn xn 6xn 6sin xn xn x3 Vì x sin x x,x 0 6x x3 – 6sinx 0,x 0 . 6 3 6xn – 6sinxn xn 0 do xn 0 xn 1 – xn 0 . xn là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limxn x(x 0) , ta có phương trình:. x 3 6x 6sin x x3 6x 6sin x 0. Xét hàm số g x x3 6x 6sin x . g ' x 3x2 – 6 6cosx . g’’ x 6x – 6sinx 0x 0 . g’ x g’ 0 0 . Do đó g x luôn đồng biến và liên tục với mọi x 0 . phương trình g x 0 có nghiệm duy nhất x 0 . Vậy limxn 0 . 1 an 1 an bn Bài 31. Cho hai dãy số dương a , b xác định bởi: a 3,b 2 và 1 a . Với n n 0 n n 0 0 0 n 1 2 2 an 1 bn mọi n 0,1,2, Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh bằng quy nạp a tan ,b ,n 0,1,2, (*) . Thật vậy. n n n 3.2 cos 3.2n
15. 1 Với n 0 , ta có a 3 tan tan ,b 2 , vậy * đúng. 0 0 0 3 3.2 cos 3.20 1 2 1 Với n 1, ta có a tan tan ,b , vậy * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 cos 3.21 1 Giả sử khẳng định đúng đến n k,k 1, tức là a tan ,b . n n n 3.2 cos 3.2n 1 Ta chứng minh a tan ,b . Thật vậy. Từ 1 ta có. n 1 n 1 n 1 3.2 cos 3.2n 1 sin 1 2sin cos sin2 cos2 1 a n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 a 2 2 n 1 cos cos sin 3.2n 3.2n 1 3.2n 1 2 sin n 1 cos n 1 sin cos tan 1 3.2 3.2 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 Khi đó từ 2 , suy cos sin 1 tan cos n 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 a tan n 1 3.2n 1 1 1 ra b2 a2 1 tan2 1 b . n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 cos2 cos 3.2n 1 3.2n 1 1 Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a tan ,b ,n 0,1,2, . n n n 3.2 cos 3.2n 1 1 Do đó lim an lim tan tan 0 0; lim bn lim 1. n n n n 3.2 n cos cos0 3.2n Kết luận: lim an 0; lim bn 1.■. n n u1 2014 Bài 32. Cho dãy số (un ) xác định như sau:. 2 2 . Tìm điều kiện của a un 1 un (1 2a)un a ;n 1,2, để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng knn; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
16. 2 2 Giả sử lim un L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: n L L2 (1 2a)L a2 L a . * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k trái với kết quả lim un L a . n 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, a 1 u1 a a 1 2014 a . * Đảo lại: Nếu a 1 2014 a a 1 u1 a . 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a . và u1 u2 a 1 u2 a . Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, . Như vậy dãy (un ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 a thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và lim un a . n u1 1 Bài 33. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức truy hồi 1 * . Chứng minh u u 2,n n 1 n ¥ un rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt f (x) x 2; g(x) f ( f (x)) x 2 2 . Khi đó. 1 x x x 2 x 2 2 x x2 1 2 1 1 g '(x) 2 0 g(x) g( ) 0 f ( f (x)) x,x ( ;1) (*) 4 1 2 2 x x 2 x 1 Mặt khác f '(x) 0,x ( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1 f (x) f ( ) f ( f (x)) f ( ) ,x ( ;1) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra: f ( f (x)) x,x ( ;1) 2 2 1 1 Vậy: 1 u u 1 u u u , Do đó (u ) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 2 1 3 5 2 2n 1 1 tại limu2n 1 n 2
17. 1 1 Vì f (x) liên tục trên ;1 nên u2n f (u2n 1) limu2n f limu2n 1 2 n n 2 Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (un ) có giới hạn 1 bằng 2 u1 2 n uk Bài 34. Cho dãy số un xác định 1 . Tính lim . 2 n  un 1 un un un ,n 1 k 1 uk 1 1 2014 Hướng dẫn giải u u 1 Theo giả thiết ta có: u n n u mà u 2 suy ra. n 1 2014 n 1 2 u1 u2 u3 do đó dãy un là dãy tăng. Giả sử dãy un bị chặn trên suy ra limun L với L 2 khi đó. n 2 2 un 2013un L 2012L L 0 limun 1 lim L . n 2014 2014 L 1 Vô lý do L 2 . Suy ra dãy un không bị chặn trên do đó. 1 limun lim 0 . n n un Ta có. u2 2013u u n n u u 1 2014 u u n 1 2014 n n n 1 n . u 1 1 n 2014 un 1 1 un 1 un 1 1 1 1 Sn 2014 lim Sn 2014. x u1 1 un 1 1 x1 2014 Bài 35. Cho dãy số thực x xác định bởi: . Tính lim x ? . n 3 * n xn 1 6xn 6sin xn ,n ¥ Hướng dẫn giải x3 Sử dụng bất đẳng thức x sin x x,x 0. 6 Xét hàm số f x 3 6x 6sin x, x 0. 6 1 cos x Ta có: f ' x 0,x 0 f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 2 33 6x 6sin x
18. Do đó: f x f 0 0x 0. mà x2 f x1 0 vì x1 2014 0 *. Vậy ta có xn 1 f xn 0,n N . 6x 6sin x x3 Mặt khác: x x 3 6x 6sin x x n n n . n 1 n n n n 2 3 3 2 6xn 6sin xn xn 6xn 6sin xn xn x3 Vì x sin x x,x 0 6x x3 – 6sinx 0. x 0 . 6 3 6xn – 6sinxn xn 0 do xn 0 xn 1 – xn 0 . xn là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limxn x(x 0) , ta có phương trình:. x 3 6x 6sin x x3 6x 6sin x 0. Xét hàm số g x x3 6x 6sin x . g ' x 3x2 – 6 6cosx . g x 6x – 6sinx 0,"x 0 . g x g 0 0 . Do đó g x luôn đồng biến và liên tục với mọi x 0 phương trình g x 0 có nghiệm duy nhất x 0 . Vậy limxn 0 .