Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Hình học không gian (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 12 - Hình học không gian (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài 1. Xét các hình chóp n – giác S.A1 A2 An ( n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 2 ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a/ Đáy A1 A2 An có tất cả các cạnh đều bằng 1 . · · · 0 b/ SA1A2 SA2A3 SAn A1 60 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao SH của hình chóp nêu trên. Hướng dẫn giải Chứng minh nếu hình chóp S.A1 A2 An tồn tại thì khi đó hình chóp là đều: Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau Đặt : SA1 = x1 ; SA2 = x2 ; ; SAn = xn . Dùng định lý cosin trong các tam giác SA1 A2 ; SA2 A3 ; ; SAn A1 ta có: 2 2 0 2 x2 = 1+ x1 - 2x1 cos60 = 1+ x1 - x1 2 2 0 2 x3 = 1+ x2 - 2x2cos60 = 1+ x2 - x2 2 2 0 2 xn = 1+ xn- 1 - 2xn- 1cos60 = 1+ xn- 1 - xn- 1 2 2 0 2 x1 = 1+ xn - 2xn cos60 = 1+ xn - xn . ïì x2 = f (x ) ï 2 1 ï 2 ï x3 = f (x2 ) 1 3 ï é 3 ö 2 2 ï ê ÷ Đặt f (x) = x - x + 1= (x - ) + , ta có hệ: í với x1 , x2 , , xn Î ;+ ¥ ÷ 2 4 ï ê2 ÷ ï 2 ê ø ï x = f (x ) ë ï n n- 1 ï 2 îï x1 = f (xn ) 3 f x Trên ; đồng biến. 2 Do đó: x1 x2 thì vô lý. Thật vậy: nếu x2 x2 x x x x . Ta có x x ( vô lý) x1 x2 f x1 f x2 2 3 2 3 n 1 1 1 Tương tự nếu x x cũng suy ra điều vô lý: x x . Vậy . 1 2 1 1 x1 x2 Do ta được x2 x2 x 1 x 1 . Từ đó ta được: . x1 x2 1 1 1 1 x1 x2 xn 1
2. Chứng minh đáy A1 A2 An là đa giác đều. Từ SA1 SA2 SAn 1 suy ra hình vuông góc H của S lên đáy cách đều các đỉnh của đáy. Đa giác A1 A2 An có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên là đa giác đều. a) Tìm SH lớn nhất, nhỏ nhất. b) Chứng minh n 6 .Ta có các mặt bên của hònh chóp là các tam giác đều cạnh 1 . Ngoài ra: 0 ; 0 ; ; 0 . 60 A1SA2 A1HA2 60 A2SA3 A2 HA3 60 An SA1 An HA1 Do đó: n.600 3600 n 6 n 2 . • Tính SH và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của SH : 1 Xét tam giác vuông SHA : SH 2 SA2 HA2.SA 1;HA . 1 1 1 1 1 2sin n 1 1 1 1 SH2 1 1 1 cot g2 3 cot g2 , SH= 3 cot g2 n 3;4;5. 4sin2 4 4 4 4 2 4 n 2 2 1 1 n 3: SH ; n 4 : SH ; n 5: SH . 3 2 2 2 5 2 1 1 • Do đó giá trị lớn nhất của SH là , giá trị nhỏ nhất của SH là . 3 2 2 5 Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a.GọiE, G, K lần lượt là trung điểm của các cạnh A' D ', B 'C ' vàAA' . H là tâm của hình vuôngDCDC ' . M , N là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳngA D và EG sao cho MN vuông góc với KH và cắt KH .Tính độ dài đoạn MN theo a . Hướng dẫn giải D’ C’ H E D 1 C G A’ B’ M H I1 I E1 G1 N1 M D H1 C E1 I1 N1 G1 A B A B Xác định đoạn MN Gọi E1, N1, G1, H1 là hình chiếu vuông góc của E, N, G, H trên mặt phẳng ABCD . Do KH  MN (gt) và KKH  NN suy ra KH  MN , suy ra AH  MN tại . 1 1 1 1 I1 Mà theo giả thiết MN cắt KH tại I suy ra mà I là trung điểm của đoạn MN nên I phải là trung II1 // NN1 1 điểm của MN1 .
3. Từ đó suy ra cách dựng hai điểm M , N . Tính độ dài MN Đặt DAH1 H1 AN1 E1N1M . 1 1 3 AE 5 Xét tam giác vuôngDAH , ta có: sin tg cos2 AN 1 a . 5 2 5 1 cos 2 6 5 1 a 5 a 5 Xét tam giác vuông AIN , ta có: IN AN .sin a. MN . 1 1 1 6 5 6 1 3 2 (Cách khác: Gọi P là trung điểm của CG , suy ra được N ở trên AP , suy ra E N a .) 1 1 1 1 3 E N a 5 5 14 a 14 MN 1 1 MN2 NN2 MN2 a 2 a 2 a 2 MN . 1 cos 3 1 1 9 9 3 Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó cạnh đáy a 12,54(cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc 720 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD . Hướng dẫn giải a 2 Chiều cao của hình chóp: SH tg720 27,29018628 2 1 Thể tích của hình chóp: V a2h 1430,475152 cm3 3 Trung đoạn của hình chóp a2 d SH 2 28,00119939 4 1 2 Diện tích xung quanh của hình chóp: Sxq .4a.d 702,2700807 cm 2 Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a 12,54(cm) , a 12,54(cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc 720 . a) Tính thể tích hình cầu S1 nội tiếp hình chópS.ABCD . b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu S1 cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt cầu S2 với các mặt bên của hình chóp S.ABCD . Hướng dẫn giải
4. SH.MH SH 27.29018628; IH 4.992806526 R (bán kính mặt cầu nội tiếp) MH MS S 4 Thể tích hình chóp S : V R3 521.342129(cm3 ) 1 3 SM 28,00119939 K MH 6,27; IK IH I A 720 D H B Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của S1 với các mặt bên M C của hình chóp: S IH 2 d EI 4.866027997 SH IH E K 2 2 Bán kính đường tròn giao tuyến: r EK R d 1,117984141 I Diện tích hình tròn giao tuyến: S 74,38733486(cm2 ) H M Bài 5. Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) bằng đựng12 nước,24 cm cao lên 4,56 cm so với mặt trong của đáy. Một viên bi hình cầu được thả vào trong thùng thì mực nước dâng lên sát với điểm cao nhất của viên bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu). Hãy tính bán kính của viên bi. Hướng dẫn giải 4 Ta có phương trình : R2 h x3 R2 .2x 4x3 6R2 x 3R2 h 0 (0 x R) 3 Với R, x, h lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước. Bấm máy giải phương trình: 4x3 224,7264x 512,376192 0(0 x 6,12) Ta có: x1 2,588826692; x2 5,857864771 (AB) :5x 3y 8 0; (AC) :3x 8y 42 0; (BC) : 2x 5y 3 0 B. Xét hai độ dài khác nhau a, b . Tìm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện T có một cạnh bằng a và các cạnh còn lại đều bằng b .Với tứ diện T này, hãy xác định mặt phẳng sao cho thiết diện của mặt phẳng và tứ diện T là một hình vuông V .Tính diện tích của hình vuông V theo a và b . Điều kiện độ dài a, b : + Giả sử tứ diện T tồn tại. Gọi AB là cạnh bằng a , các cạnh AC, AD, BC, BD, CD đều cùng bằng b . Gọi I là trung điểm cạnh CD .Tam giácAIB là tam giác cân:
5. b Dấu "=" xảy ra khi x . 3 Bài 85. [THPT Quảng Xương 2 THANH HOÁ 2009- 2010] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao SO a . a) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SCD . b) Gọi I là trọng tâm tam giác ABO , xác định hình chiếu H của I lên mp SCD và tính độ dài IH theo a . Hướng dẫn giải a) Gọi M là trung điểm CD suy ra góc giữa ABCD và SCD là góc SMO , a Tam giác SMO vuông tại O , SO a, OM suy ra tan SMO 2 hay SMO 63,4 . 2 b) Kẻ OK là đường cao tam giác SOM suy ra OK vuông góc mp SCD , từ I kẻ đường thẳng song song với OK trong mp SOM cắt SM tại H thì H là điểm cần tìm. 5 5 a 5 a 5 Ta có IH .OK . 3 3 5 3 S H K A D I M O B C Bài 86. Cho tứ diện ABCD có các đường cao AA', BB ', CC ', DD ' đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng AA', BB ', CC ', DD ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ AA' BB ' CC ' DD ' 8 tự tại A1, B1,C1, D1 . Chứng minh: . AA1 BB1 CC1 DD1 3 Bài 87.
6. a. Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2 KD . Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng IJK . Chứng minh rằng DE DC . b. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên các BM NC đoạn thẳng SB, AC sao cho x, x 0, x 1 , Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Chứng minh MS NA rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi và tìm x để NG / / SAD . Bài 88.[ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp S.AB đềuC cạnh , acạnh bên a 3 bằng . Gọi P là mặt phẳng qua A song song với BC và vuông góc với mặt phẳng SBC . Gọi I là 2 trung điểm của BC . a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm I đến P . b) Tính sin với là góc giữa AB và P . Bài 89.[ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hình lăng trụ ABC.A' B ' cóC ' AB a , AC 2a, AA’ 2a 5 và góc BAC 120O . Gọi M là trung điểm của CC ' . a) CMR: MB  MA' . b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng A’BM . Bài 90.[HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện OAB Ccó OA, OB, O C đôi một vuông góc với nhau tại O . Gọi A1, B1, C1 thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . a) Chứng minh tam giác A1B1C1 là tam giác nhọn. b) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C . Gọi là số đo của góc nhị diện C1,OA1, B1  , tìm cos theo B và C . c) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường 6 cao của tam giác ABC . Chứng minh rằng: h d h 3 Bài 91.[HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2004] Cho hình chóp tam giác đều S.AB cóC cạnh đáy bằng a . a) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O , gọi là góc giữa mp SAB và mp ABC . Hãy tính cos để O cách đều tất cả các mặt của SABC . b) Biết ·ASB 30 . Xét mặt phẳng P thay đổi đi qua A , sao cho mp P cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B ', C ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB 'C ' theo a . Bài 92.[HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2011-2012] Cho tứ diện đều S.ABC . Gọi P là mặt phẳng đi qua đường cao SO của tứ diện; mặt phẳng P cắt các mặt phẳng SBC , SCA và SAB lần lượt theo các giao tuyến SM , SN, SP . Các giao tuyến này lần lượt tạo với mặt phẳng ABC các góc ,  , . Chứng minh: tan2 tan2  tan2  12
7. Bài 93.[NGHỆ AN 2015-2016] Cho hình thoi ABC D có góc B· AD 6 0, 0 AB 2 .a Gọi Hlà trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Trên 1 tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM BC . 4 a 3 a) Khi SH , chứng minh rằng đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng SAD . 2 b) Tính SH theo a để góc giữa SC và SAD có số đo lớn nhất. Bài 94.[TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG - BÌNH ĐỊNH] Trong không gian cho khối đa diện có số cạnh qua mỗi đỉnh là một số chẵn .Một thiết diện tạo bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của khối đa diện với khối đa diện .Chứng minh số cạnh của thiết diện là một số chẵn. Hướng dẫn giải Giả sử số đỉnh của thiết diện là m ;Ta xét một tron2k . Tổng các cạnh đi qua m đỉnh mới là 3m . 2k 3m Vậy số cạnh của khối đa diện này bằng Z m là số chẵn 2 Bài 95.[VĨNH PHÚC 2009-2010] Cho hình chóp S.ABC , D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AB a 2, BC a và SA SB SC SD 2a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA . a) Tính độ dài HK theo a . b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK, CD . Chứng minh rằng các đoạn thẳng BM và MN vuông góc với nhau. Bài 96.[TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho tứ diện S.AB đều,C gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB . Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ / /BI . Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1. Hướng dẫn giải S P E Q K A I C B F Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI .
8. Trong mặt phẳng SBI kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P . Qua A kẻ A F / / BI (F thuộc BC ) , CK cắt SF tại Q . Vậy PQ / / BI . SP 1 Ta có I , E là các trung điểm của AC và SI SA 3 PQ SP 1 1 Mà PQ AF AF SA 3 3 3 Ta có AF 2BI 3 . Vậy PQ . 3 Bài 97.[TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp S.ABC ,D đáy ABC D là hình vuông và SA SB SC SD . Mặt phẳng P thay đổi nhưng luôn cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A , B ,C , D (A , B ,C , D không trùng với đầu mút các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD . Chứng minh rằng: SB SD SB .SD . SA SC SA .SC Hướng dẫn giải Gọi O là tâm đáy ABCD , O A C  B D . Ta có S,O,O thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng SAC và SBD ). S D' A' O' C' D C B' O A B Đặt A· SC B· SD 2 . Trong tam giác SA C , ta có: 1 1 1 S S S SA .SC sin 2 SA .SO sin SO .SC sin SA C SA O SC O 2 2 2 SA SC 2cos 2SA .SC cos SO SA SC (1). SA .SC SO SB SD 2cos Tương tự với tam giác SB D ta được (2). SB .SD SO SB SD SA SC SB SD SB .SD Từ (1) và (2) ta suy . Ta có ĐPCM. SB .SD SA .SC SA SC SA .SC
9. Bài 98. [THPT QUỲNH LƯU – HOÀNG MAI NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là nửa lục giác đều với BC 2a , AB AD DC a a 0 . Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Cho biết SD vuông góc với AC . a) Tính SD . b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OB (M không trùng với B ), song song với SD và AC . Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( ). Tính diện tích thiết diện theo a và x biết BM x 3 . Tìm x để diện tích thiết diện đó lớn nhất. Hướng dẫn giải a) Tính SD +) Dựng OI song song SD ( I thuộc cạnh SB ); AC BD a 3 OA AD 1 2 2a 3 Ta có: OC AC OC BC 2 3 3 1 2a SI BS OI BI BO 2 3 3 +) Mặt khác: SD BS BD 3 3 SD OI 2 28a2 +) Áp dụng định lý cosin trong tam giác SIC , tính được IC 2 9 +) Do SD  AC và OI / /SD nên OI  AC . 4a 3 Trong tam giác vuông OIC , tính được OI SD OI 2a . 3 2 b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( ). +) Xác định được thiết diện là tam giác NPQ (với N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh BA, BC, BS) MQ / /SD, NP / / AC +) Ta có: NP  MQ SD  AC 1 Diện tích thiết diện: S NP.MQ NPQ 2 +) Trong tam giác SBD , tính được MQ 2x 3 +) Trong tam giác BAC , tính được NP x 3 2 3 3x2 +) Diện tích thiết diện: S NPQ 2 2a 3 2a +) Vì M thuộc đoạn BO (M B ) nên 0 x 3 BO 0 x 3 3 2 3 3 2a 2a2 3 2a2 3 Do đó, SNPQ . . Vậy, min SNPQ . 2 3 3 3
10. AB AC Bài 99. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho 3 . Chứng minh AI AJ rằng mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định. Hướng dẫn giải   Đặt AB b; AC c. Gọi M là trung điểm BC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Gỉa sử  AB 1 AC 1 3k 1  k    k AI kb 3 AJ c IJ AJ AI c kb AI k AJ k k 3k 1 3k 1 . r r uur uur uur uuur r 2 uuur r 2 b c r 3k 1 r 1 r Ta có: GI GA AI AG kb AM kb . kb b c. Ta thấy 3 3 2 3 3  3k 1 1 1 3k k 1 3k  GI b c c kb IJ. Vậy G, I, J thẳng hàng. Hay IJ luôn đi qua 3 3 3k 3k 1 3k điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua đường thẳng cố định SG. Bài 100. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC và ,, lần lượt là góc tạo bởi OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: cos2 cos2 cos2 . sin 2A sin 2B sin 2C Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) H là trực tâm của tam giác ABC. O· AH ;O· BH ; O· CH  AH 2 AH 2 AH Gọi AK là đường cao của tam giác ABC. Ta có: cos2 1 OA2 AH.AK AK AB2 AC 2 BC 2 2OA2 Mặt khác: cos A 0 2AB.AC 2AB.AC Tương tự: cos B,cosC 0 nên tam giác ABC nhọn. - Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BC BC 2R ; sin A sin B· HC 2R R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam sin A sin B· HC giác BHC.
11. - Trong tam giác ABH: AH 2R.sin ·ABH 2R.cos A BC AH BC.AH Nên: sin 2A 2sin A.cos A 2 . 2 2R 2R R2 cos2 A R2 Từ (1) và (2) ta có: sin 2A S ABC cos2B R2 cos2C R2 Chứng minh tương tự ta cũng có: ; sin 2B S ABC sin 2C S ABC Vậy ta có ĐPCM. Bài 101. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc 2 của S trên BC, AB, AC. a. Chứng minh rằng SH 2 HI.HJ . b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của . Hướng dẫn giải Bài 102. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM, điểm G là trọng tâm tam giác BCD. a) Chứng minh rằng MG song song với mp(SBC) b) Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MG và song với CD. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp( ) c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC. Tính PQ theo a. Hướng dẫn giải
12. S M H D C E G F I A B Gọi I là trung điểm của BC DG DM 2 Ta có MG / /SI DI DS 3 Mà SI  (SBC) nên MG //(SBC) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H Thiết diện của hình chóp với mp( ) là tứ giác EFHM Ta có HM//EF vì cùng song song với CD 2a a MD HC , DE CF , MDE HCF 600 nên tam giác DME bằng tam giác CHF 3 3 suy ra ME = HF do đó EFHM là hình thang cân 4a2 a2 2a a 1 a2 Ta có: EM 2 DM 2 DE2 2DM.DE.cos600 2 . . 9 9 3 3 2 3 a MH ,EF = a 3 2 2 2 2 EF HM a a a 2 Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có h EM 2 3 9 3 1 1 a 2 4a 2a2 2 Diện tích thiết diện là S .h.(EF HM ) . . EFHM 2 2 3 3 9
13. S M P D C N Q A B Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P. Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán. MN DM 2 AQ AB 3 AQ 3 Ta có , SC DS 3 QN DN 2 AN 5 PQ AQ 3 PQ PQ MN 3 2 2 , . . MN AN 5 SC MN SC 5 3 5 2a Suy ra PQ . 5 Bài 103. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’. Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AN và DM. ’ D C’ A’ B’ N Gọi I là trung điểm của BC. NI  mp(ABCD) NI  DM (1đ) K D C Chứng minh được: AI  DM H I A M B DM  mp(AIN) Gọi H là giao điểm của AI và DM, từ H hạ HK  AN ,HK là đoạn vuông góc chung của AN và DM,
14. a Tính được AH 5 a 5 AI 2 3a AN 2 AKH đồng dạng AIN KH AH IN AN a a 2a KH . 5 3a 3 5 2 2a 5 Vậy khoảng cách AN và DM là: 15 Bài 104. Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng 6 mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm. Bài 105. Cho hình chóp SABC có SC  ABC và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB a; AC a 3 13 và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với sin . Tính độ dài SC theo a. 19 Hướng dẫn giải Xét hai trường hợp: +) B và C không tù. Khi đó A 2 2 1 cosCBB ' sin C ,cosC B’ 5 5 5 BB ' 5 C’ BC H cosCBB ' 2 CC ' 4 3 Suy ra sin B ,cos B C BC 5 5 B A B C
15. B’ C’ H 2 BB ' 5 1 5 sin A sin B cosC sin C cos B AB S AB.CC ' . 5 sin A 2 2 2 +) B hoặc C tù. 2 1 Do BB ' CC ' nên B C và C tù sin C ,cosC . 5 5 4 3 2 25 25 Còn sin B ,cos B (giống trường hợp 1) sin A , AB Suy ra S . 5 5 5 5 2 2 Bài 106. Cho tứ diện ABCD , O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD . Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng ACD , ABD , ABC lần lượt tai M , N, P . Chứng OM ON OP minh rằng: không đổi. AB AC AD Bài 107. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng A’BD và đường thẳng A’C đi qua trọng tâm tam giác A’BD . b) Hãy xác định các điểm M , N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng CB’D’ . Tính độ dài đoạn MN theo a . Bài 108. Cho hình chóp S.ABCD . Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E . AD và BC cắt nhau tại F . AC và BD cắt nhau tại G . P là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ . a) Tìm giao điểm D’ của SD và P . b) Với điều kiện nào của P thì A’B’C’D’ là hình bình hành. Bài 109. Cho tứ diện ABCD , mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng AD và BC . Gọi M , N, P,Q tương ứng là giao điểm của ( ) với các đường thẳng AB, AC, CD, DB . Xác định tất cả các vị trí của ( ) để: a) Tứ giác MNPQ là hình thoi. b) Diện tích thiết diện giữa ( ) và tứ diện ABCD là lớn nhất. Bài 110. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB c, AC b .Gọi P là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng ABC ;S là một điểm di động trên P sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB , SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu 2 vuông góc của S trên BC, AB, AC . a) Chứng minh rằng SH 2 HI.HJ .
16. b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của . Bài 111. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ . Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Bài 112. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM. a) Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động. b) Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC đạt giá trị lớn nhất. Bài 113. Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M và N (M C, N D). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (P C, Q D). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP. Bài 114. Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đôi một vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. a) Tính PG theo PA, PB, PC. b) Tìm quỹ tích điểm G khi A, B, C thay đổi. Bài 115. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi C1(O;r) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD). 1 h2 1 a) Chứng minh rằng: r . h b) Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích hình chóp. Bài 116. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có các cạnh bằng a. Xét các đoạn thẳng MN có hai đầu mút M, N lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC’, CA’ và song song với mặt phẳng(ABB’A’). Tìm theo a độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng ấy. Khi MN ngắn nhất hỏi MN có vuông góc với BC’ và CA’ hay không? Chứng minh. Bài 117. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân được vuông góc hạ từ O đến (ABC). a) Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC. abc 3 b) Chứng minh rằng a.S b.S c.S . HBC HAC HAB 2 Bài 118. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2CD=2AD, SA vuông góc với đáy tại A. Gọi M là trung điểm của SC, K là điểm di động trên AB. Tìm tập hợp hình chiếu của H của M lên CK. Bài 119. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Tìm điểm M sao cho tổng: MA MB MC MD đạt giá trị bé nhất. GB.GC.GD GA.GC.GD GA.GB.GD GA.GB.GC