Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Cực trị trong không gian Oxyz

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Cực trị trong không gian Oxyz

1. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz I. PHƯƠNG PHÁP Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và mặt phẳng (P) : ax by cz d 0. Tìm điểm M (P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. MA MB lớn nhất với d(A, (P)) d(B, (P)). Phương pháp: Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P). Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P). Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P). 1. MA MB nhỏ nhất. Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P). Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi M (P)  AB. Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P). Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A ' và B ở khác phía (P) và MA MA nên MA MB MA MB A B. Vậy MA MB nhỏ nhất bằng A B khi M A B  (P). 2. MA MB lớn nhất. Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) . Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi M (P)  AB. Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) . Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) , khi đó A ' và B ở cùng phía (P) và MA MA nên MA MB MA MB A B. Vậy MA MB lớn nhất bằng A B khi M A B  (P). Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết 1. (P) đi qua đường thẳng và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất 2. (P) đi qua và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất 3. (P) đi qua và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số
2. x x y y z z 1. Giả sử đường thẳng : 1 1 1 và A(x ; y ; z ) a b c 0 0 0 Khi đó phương trình (P) có dạng: A(x x1) B(y y1) C(z z1) 0 bB cC Trong đó Aa Bb Cc 0 A (a 0 ) (1) a A(x x ) B(y y ) C(z z ) Khi đó d(A, (P)) 0 1 0 1 0 1 (2) A2 B2 C2 B Thay (1) vào (2) và đặt t , ta đươc d(A, (P)) f (t) C mt2 nt p Trong đó f (t) , khảo sát hàm f (t) ta tìm được max f (t) . Từ đó suy ra được sự biểu m ' t2 n ' t p' diễn của A, B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A, B . 2. và 3. làm tương tự Cách 2: Dùng hình học 1. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên và (P) , khi đó ta có: d(A, (P)) AH AK , mà AK không đổi. Do đó d(A, (P)) lớn nhất H  K  Hay (P) là mặt phẳng đi qua K , nhận AK làm VTPT. · 2. Nếu  (Q) (P), (Q) 900 nên ta xét và (Q) không vuông góc với nhau. Gọi B là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q) . Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ CH  (P), CK  d. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là B· CH. BH BK Ta có sin B· CH . BC BC BK Mà không đổi, nên B· CH nhỏ nhất khi H  K. BC Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng (BCK) . Suy ra     n u , u , n là VTPT của (P) . P Q 3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng d ' qua M và song song với d . Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ AH  (P), AK  d. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d ' là HM KM ·AMH . Ta có cos ·AMH . AM AM KM Mà không đổi, nên ·AMH lớn nhất khi H  K. AM Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng (d ', . Suy ra     n u , u , u là VTPT của (P) . P d ' II. CÁC VÍ DỤ
3. Ví dụ 1. 8 Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho A(2;5; 3) và đường thẳng x 1 y z 2 d : . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d và viết phương trình mặt phẳng 2 1 2 (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Lời giải.  Đường thẳng d có ud (2;1; 2) là VTCP.  Gọi H là hình chiếu của A lên d H(1 2t; t; 2 2t) AH (2t 1; t 5; 2t 1) .   Do AH  d AH.ud 0 2(2t 1) t 5 2(2t 1) 0 t 1 H(3;1; 4) . Gọi H ' là hình chiếu của A lên mp(P) . Khi đó, ta có: AH ' AH d(A, (P)) lớn nhất H  H ' (P)  AH  Suy ra AH (1; 4;1) là VTPT của (P) và (P) đi qua H . Vậy phương trình (P) : x 4y z 3 0 . Ví dụ 2.8 Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho bốn điểm A 1; 0; 0 , B 1;1; 0 , C 0;1; 0 , D 0; 0; m với m 0 là tham số. 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m 2 ; 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD . Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất. Lời giải.  Ta có: AB (0;1; 0), CD (0; 1; m)   1. Với m 2 ta có: CD (0; 1; 2) và AC ( 1;1; 0)      Do đó AB, CD (2; 0; 0) AB, CD .AC 2    AB, CD .AC   2 Vậy d(AB, CD)   1 . AB, CD 2 2. Đặt x OH BH OB2 OH2 2 x2 1 1 1 1 Suy ra S x. 2 x2 x2(2 x2) (x2 2 x2) . OBH 2 2 4 2 Đẳng thức xảy ra x 1 OH 1 d(O, BD) 1     Ta có: BD ( 1; 1; m), OB (1;1; 0) BD, OB ( m; m; 0)   BD, OB m 2 Do đó d(O, BD)  1 2m2 2 m2 BD 2 m2 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3.8 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 9; 4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) sao cho: 1. M là trực tâm của tam giác ABC ; 2. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) là lớn nhất; 3. OA OB OC ; 4. 8OA 12OB 16 37OC và xA 0, zC 0 . Lời giải.
4. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz I. PHƯƠNG PHÁP Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và mặt phẳng (P) : ax by cz d 0. Tìm điểm M (P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. MA MB lớn nhất với d(A, (P)) d(B, (P)). Phương pháp: Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P). Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P). Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P). 1. MA MB nhỏ nhất. Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P). Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi M (P)  AB. Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P). Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A ' và B ở khác phía (P) và MA MA nên MA MB MA MB A B. Vậy MA MB nhỏ nhất bằng A B khi M A B  (P). 2. MA MB lớn nhất. Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) . Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi M (P)  AB. Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) . Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) , khi đó A ' và B ở cùng phía (P) và MA MA nên MA MB MA MB A B. Vậy MA MB lớn nhất bằng A B khi M A B  (P). Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết 1. (P) đi qua đường thẳng và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất 2. (P) đi qua và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất 3. (P) đi qua và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số