Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Có đáp án)

1. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM I. Định nghĩa: Giả sử y f x liên tục trên khoảng a,b , khi đó hàm số y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x khi và chỉ khi F '(x) f (x), x a,b . Nếu y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x thì f ( x )dx F( x ) C , C ¡ II. Vi phân: Giả sử y f x xác định trên khoảng a,b và có đạo hàm tại điểm x a,b . Vi phân của hàm số y f x là: dy f ' x .dx Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân: f x dx F x c F x f x dF x f x dx III. Các tính chất của nguyên hàm 1. Nếu f x là hàm số có nguyên hàm thì : f x dx f x ; d f x dx f x dx 2. Nếu F x có đạo hàm thì: d F x F x C 3. Phép cộng, phép trừ: f x g x dx f x dx g x dx 4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: kf x dx k f x dx , k 0 IV. Phương pháp tính nguyên hàm: 1. Phương pháp đổi biến số: Nếu f (u)du F(u) C và u u(x) có đạo hàm liên tục thì: f u(x).u'(x)dx Fu(x) C 2. Phương pháp từng phần Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì: u x .v' x dx u x .v x u' x .v x dx Hay: u.dv u.v v.du
2. V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp 1 dx x C d ax b ax b C du u C a 1 1 x 1 u x dx C 1 1 ax b u du C 1 1 ax b dx C 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 2 dx C 2 du C x x 2 dx C u u ax b a ax b 1 1 dx 2 x C 1 1 2 du 2 u C x dx C u ax b a ax b 1 cos xdx sin x C cos ax b dx sin ax b C cosudu sin u C a sin xdx cos x C 1 sin udu cosu C sin ax b dx cos ax b C 1 a 1 dx tan x C du tan u C 2 1 1 2 cos x dx tan ax b C cos u 1 cos 2 ax b a 1 dx cot x C du cot u C 2 1 1 2 sin x dx cot ax b C sin u sin 2 ax b a dx dx 1 du ln x C x 0 ln ax b C x 0 ln u C u 0 x ax b a u x x 1 u u e dx e C e ax b dx e ax b C e du e C a x u x a x  u a a dx C 0 a 1 x  1 a a dx C 0 a 1 ln a a dx . C 0 a 1 ln a ln a VI. Vi phân + Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y f x tại điểm x0 là : df x0 f x0 . x . + Cho hàm số y f x có đạo hàm f x thì tích f x . x được gọi là vi phân của hàm số y f x Kí hiệu : df x f x . x f x .dx hay dy y .dx . VII. Các quy tắc tính đạo: Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số . u v ' u ' v ' u.v ' u '.v v'.u C.u C.u u u '.v v'.u C C.u , v 0 v v2 u u2 N ế u y f u , u u x y x yu .u x
3. VIII. Các công thức tính đạo: Đạo hàm của hàm số sơ cấp Đạo hàm của hàm số hợp C 0 ; x 1 xn n.xn 1 un n.un 1.u , n ¥ , n 2 ' ' 1 1 1 u x x2 u u2 1 u x , x 0 u , u 0 2 x 2 u sin x cos x sin u u. cosu cos x sin x cosu u .sin u 1 u tan x tan u cos2 x cos2 u 1 u cot x cot u sin2 x sin2 u ' ' x .x 1 , x 0 u .u 1.u ' ' ' ax ax.ln a au au.ln u.u ' ' ' ex ex eu eu.u ' ' 1 ' u ' loga x loga u x ln a u ln a 1 u ' ln x ' , x 0 ln u ' x u ' 1 ' u ' n x n u n.n xn 1 n.n un 1 IX. Nguyên hàm mở rộng 1 1 x 1 1 1 x a .dx .ln C .dx .ln C (a 0) x 2 1 2 x 1 x 2 a 2 2a x a 1 1 1 x .dx arctan x C .dx .arctan C (a 0) x 2 1 x 2 a 2 a a 1 1 x dx arcsin x C dx arcsin C (a 0) 2 2 2 1 x a x a 1 1 dx ln x x 2 1 C dx ln x x 2 a 2 C 2 2 2 x 1 x a tan x.dx ln cos x C x a 2 x a 2 x 2 dx . a 2 x 2 arcsin C 2 2 a x a 2 cot x.dx ln sin x C x 2 a 2 dx . x 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x ' a x a b 1 .dx .dx .ln a x b C a x b a x b b.ln a
4. X. Lượng giác 1. Hệ thức cơ bản: sin tan cos cos cot sin n sin2 cos2 1 sin2 cos2 1 tan .cot 1 tann .cotn 1 1 1 1 tan2 ; 1 cot2 cos2 sin2 2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Góc hơn kém Góc hơn kém 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau: cos đối, sin bù, phụ chéo kém tan, cot, kém chéo cos 2
5. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM I. Định nghĩa: Giả sử y f x liên tục trên khoảng a,b , khi đó hàm số y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x khi và chỉ khi F '(x) f (x), x a,b . Nếu y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x thì f ( x )dx F( x ) C , C ¡ II. Vi phân: Giả sử y f x xác định trên khoảng a,b và có đạo hàm tại điểm x a,b . Vi phân của hàm số y f x là: dy f ' x .dx Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân: f x dx F x c F x f x dF x f x dx III. Các tính chất của nguyên hàm 1. Nếu f x là hàm số có nguyên hàm thì : f x dx f x ; d f x dx f x dx 2. Nếu F x có đạo hàm thì: d F x F x C 3. Phép cộng, phép trừ: f x g x dx f x dx g x dx 4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: kf x dx k f x dx , k 0 IV. Phương pháp tính nguyên hàm: 1. Phương pháp đổi biến số: Nếu f (u)du F(u) C và u u(x) có đạo hàm liên tục thì: f u(x).u'(x)dx Fu(x) C 2. Phương pháp từng phần Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì: u x .v' x dx u x .v x u' x .v x dx Hay: u.dv u.v v.du