Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Thể tích khối da diện có yếu tố góc (Có lời giải)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Thể tích khối da diện có yếu tố góc (Có lời giải)

1. CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Định nghĩa: Nếu d  P (·d; P ) 900 A d d' H I (P) Nếu d  P ·d; P ·d;d ' ·AIH với d ' là hình chiếu của d lên P Chú ý: 00 d· ; P 900 2. Góc giữa hai mặt phẳng  Định nghĩa: Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng P và Q . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng P và Q chính là góc giữa hai đường thẳng a và b b a c  Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q). Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b b a d I 5. Thể tích khối đa diện a. Công thức tính thể tích khối chóp 1 h V = S.h 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp. B Chú ý: Cho khối chóp S.ABC và A' , B ' , C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có
2. V SA' SB ' SC ' S.A'B 'C ' = . . . VS.ABC SA SB SC b. Công thức thể tích khối lăng trụ : V B.h ( B là diện tích đáy, h là chiều cao) XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc Ví dụ: Hình chóp S.ABC có S với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên SA vuông góc với cạnh bên vuông góc với đáy. mặt phẳng đáy, tức SA ^ (ABC) thì chiều cao của A C hình chóp là SA. B b) Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với Ví dụ: Hình chóp S.ABCD S mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều có mặt bên (SAB) vuông cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy góc với đáy. (ABCD) thì chiều cao của A hình chóp là SH là chiều D H cao của DSAB. B C c) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với Ví dụ: Hình chóp S mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao S.ABCD có hai mặt bên tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với (SAB) và (SAD) cùng mặt phẳng đáy. vuông góc với mặt đáy D (ABCD) thì chiều cao của A hình chóp là SA. B C d) Hình chóp đều: Ví dụ: Hình chóp đều S Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối S.ABCD có tâm đa giác đỉnh và tâm của đáy. Đối với hình chóp đều đáy là giao điểm của hai đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G của đường chéo hình vuông tam giác đều. ABCD thì có đường cao A D O là SO. B C XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP 1. Diện tích tam giác vuông. S= nửa tích 2 cạnh góc vuông. Pitago: AB2 + AC 2 = AC 2 2. Diện tích tam giác đều. S= (cạnh)2. 3 4 h= (cạnh). 3 2
3. 3. Diện tích hình vuông: . S= (cạnh)2 . Pitago: AB 2 + AD 2 = BD 2 .Đường chéo hình vuông bằng cạnh. 2 4. Diện tích hình chữ nhật: . S= dài x rộng. 5. Diện tích hình thoi: 1 . S = .AC.BD 2 . S= 2.SABC=2.SADC 6. Diện tích hình thang: . S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé) 1 . S = AH.(AB + CD) 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Thể tích khối đa diện  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Góc giữa hai mặt phẳng  Công thức tỉ số thể tích  Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SA và mặt phẳng SBC bằng 45( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng: a3 3a3 3a3 a3 A. .B. .C. .D. . 8 8 12 4 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặt đáy. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy B2: tính thể tích khối lăng trụ V S.h Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
4. Gọi M là trung điểm BC thì AM  BC và SA  BC nên BC  SAM . Từ đây dễ thấy góc cần tìm là ·ASM 45 . a 3 Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và SA AM . 2 1 a 3 a2 3 a3 Suy ra V . . S.ABC 3 2 4 8 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng A. 6a3 .B. 2a3 . C. 3a3 . D. a3 . Lời giải Chọn B 1 1 Ta có V S .h 3a2.2a 2a3 . 3 đ 3 Câu 2. Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là 1 1 A. V 3Bh . B. V Bh . C. V Bh . D. V Bh . 3 6 Lời giải Chọn D 1 Ta có V .3B.h Bh . 3 Câu 3. Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thà nào? A. Tăng 4 lần. . B. Tăng 8 lần C. Tăng 2 lần.D. Không thay đổi. Lời giải Chọn B 1 Thể tích khối chóp là: V B.h . 3 Độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích mặt đáy tăng 22 4 lần. Cạnh bên tăng lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên 2 lần. Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần. Câu 4. Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 1 A. V Bh . B. V Bh . C. V Bh . D. V Bh . 3 3 2 Lời giải Chọn B 1 Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V Bh . 3 Câu 5. Khối chóp S.ABCD có A , B , C , D cố định và S chạy trên đường thẳng song song với AC . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD sẽ: A. Giảm phân nửa B. Tăng gấp đôi C. Tăng gấp bốn. D. Giữ nguyên Lời giải. Chọn D Gọi là đường thẳng qua S và song song AC . 1 Ta có: V B.h 3 + song song AC nên P ABCD d S, ABCD d , ABCD h không đổi. + A , B , C , D cố định nên diện tích tứ giác ABCD cũng không đổi. Vì vậy thể tích khối chóp S.ABCD sẽ giữ nguyên.
5. CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Định nghĩa: Nếu d  P (·d; P ) 900 A d d' H I (P) Nếu d  P ·d; P ·d;d ' ·AIH với d ' là hình chiếu của d lên P Chú ý: 00 d· ; P 900 2. Góc giữa hai mặt phẳng  Định nghĩa: Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng P và Q . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng P và Q chính là góc giữa hai đường thẳng a và b b a c  Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q). Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b b a d I 5. Thể tích khối đa diện a. Công thức tính thể tích khối chóp 1 h V = S.h 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp. B Chú ý: Cho khối chóp S.ABC và A' , B ' , C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có