Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tỉ số thể tích (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tỉ số thể tích (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT A. CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Cho khối chóp tam giác S.ABC . Mặt phẳng P cắt các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt tại V SA' SB ' SC ' A', B ',C ' . Khi đó ta có S.A'B'C ' . . . VS.ABC SA SB SC Ví dụ 1. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC . Tính tỉ số thể V tích A.BCNM . VS.ABC Lời giải S N A C M B SM SM.SB SA2 4 Ta có . SB SB2 SB2 5 SN 4 Tương tự . SC 5 2 VS.AMN SM SN 4 VA.BCNM 9 . VS.ABC SB SC 5 VS.ABC 25 2. Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng P cắt các cạnh SA, SB, SC, SD, SO lần lượt tại A', B ',C ', D ' và O ' . Ta có SA SC SB SD SO a) 2. . SA' SC ' SB ' SD ' SO '
2. SA SB SC SD V x y z t b) Đặt x , y , z , t . Ta có S.A'B'C 'D' . SA' SB ' SC ' SD ' VS.ABCD 4xyzt Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB , điểm V P thuộc cạnh SD sao cho SP 2PD . Mặt phẳng AMP cắt SC tại N . Tính tỷ số S.AMNP . VS.ABCD Lời giải S N M P I A D O B C SA SC SB SD SC 3 SC 5 Ta có 1 2 SA SN SM SP SN 2 SN 2 5 3 1 2 V 7 Vậy S.AMNP 2 2 V 5 3 30 S.ABCD 4.1.2. . 2 2 Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng P chứa cạnh AB và đi qua điểm M trên SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỷ số SM k . SC Lời giải S N M A D B C
3. AB  P Gọi N P  SC ta có nên MN //CD . AB//CD SM SC SD 1 Ta có k SC SM SN k 1 1 1 1 V 1 1 1 1 1 5 5 1 Khi đó SABMN k k 1 0 k . V 1 2 k 2 k k 2 2 SABCD 4. k 2 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình vuông; SA  ABCD và SC hợp với đáy một góc bằng 30 . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC , cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại E, F, K . Tính thể tích khối chóp S.AEFK . Lời giải S F K E D A O B C SB SB2 SD SD2 SB SD Ta có . Tương tự nên . SE SA2 SK SA2 SE SK SC SC 2 SC SB SD SB SD 5 Mà 4 ( do SCA vuông tại A, ·SCA 300 ) nên 1 5 SF SA2 SF SE SK SE SK 2 V 10 1 V V S.AEFK V S.ABCD . V 5 5 10 S.AEFK 10 10 S.ABCD 4.1.4. . 2 2 Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho IS 2IC . Mặt phẳng P chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tạiM , N . Gọi V ',V lần lượt là thể V ' tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích . V
4. Lời giải S I M N D A O B C SB SD 3 5 5 Đặt x, y x, y 1. Ta có x y 1 x y . SM SN 2 2 2 3 x y 1 V ' 5 5 8 5 Ta có 2 . Dấu bằng xảy ra khi x y . 3 2 V 4x.y.1. 6xy x y 15 4 6 2 2 Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua B , trung điểm I của SO và cắt các cạnh SA, SC và SD lần lượt tại M , N và P. Tính giá V trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số S.BMPN . VS.ABCD Lời giải S P M N I B C O A D SA SC SA SC SB SD SO Đặt x, y x, y 1.Ta có 2. 4 SM SN SM SN SB SP SI SD V 8 2 2 Nên 3; x y 4. Từ đó S.BMPN SP VS.ABCD 4.x.y.3.1 3xy 3x 4 x
5. Từ x y 4 x 4 y 3 vì y 1. 2 2 4 2x Xét f x , 1 x 3 f ' x 0 x 2 3x 4 x 2 3x 4 x 2 1 Ta có f 1 f 3 ; f 2 . 9 6 V 1 2 Vậy S.BMPN đạt GTNN, GTLN lần lượt là , . VS.ABCD 6 9
6. 3. Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác Cho lăng trụ ABC.A B C có các điểm M , N, P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC sao cho A M B N C P V x y z x, y, z . Khi đó A B C MNP . AA BB CC VA B C .ABC 3 V x V y z Đặc biệt: A.MNP , M .BCPN . V 3 V 3 ABC.A1B1C1 ABC.A1B1C1 Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ ABC.A B C , có M , N, P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC sao cho AM MA , BN 3NB ,CP 3PC . Đặt V1 là thể tích của khối đa diện ABCMNP , V2 là thể tích của V khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 . V2 Lời giải A' C' B' P M N A C B MA 1 BN 3 CP 3 Ta có MA MA ; BN 3NB ;CP 3PC AA 2 BB 4 CC 4 1 3 3 V1 2 4 4 2 2 1 V1 Đặt V VABC.A B C . Suy ra V1 V V2 V V1 V 2. V 3 3 3 3 V2 Ví dụ 8. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V , các điểm M , N, P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC sao cho AM 2MA , BN 3NB ,CP x.PC . Đặt V1 là thể tích của khối đa diện V 3 ABC.MNP , tính giá trị của x để 1 . V 5 Lời giải
7. A' C' B' M P N A C B AM 2 BN 3 CP x Ta có MA 2MA ; BN 3NB ; CP xPC AA 3 BB 4 CC x 1 2 3 x V 3 17 x 9 x 23 23 Suy ra 1 3 4 x 1 x . V 3 5 12 x 1 5 x 1 60 37 Ví dụ 9. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 60cm3 , các điểm M , N, P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC sao cho AM 2MA , BN 3NB ,CP 4PC . Thể tích của khối đa diện BC.MNP . Lời giải A' C' B' P M N A C B AM 2 BN 3 CP 4 Ta có MA 2MA ; BN 3NB ;CP 4PC AA 3 BB 4 CC 5 2 3 4 VABCMNP 3 4 5 133 133 133 Nên VABCMNP .60 VABCA'B'C ' 3 180 180 3 1 1 2 2 40 Mà VM .ABC d M ; ABC .SABC . d A'; ABC .SABC .VABC.A'B'C ' . 3 3 3 9 3
8. 133 40 3 Vậy VBCMNP 31 cm . 3 3 Nhận xét. Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức tính thể tích như chóp hay lăng trụ. Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác. Ví dụ 10. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có G,G ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A' B 'C . Mặt phẳng cắt AA', BB ',CC ',GG ' lần lượt tại M , N, P, I . AM BN CP GI Chứng minh 3. . AA' BB ' CC ' GG ' Chứng minh A' C' G' B' M P I N A C G B AM BN CP GI Đặt x , y , z ,t ; V V AA' BB ' CC ' GG ' ABC.A'B'C ' V Dễ thấy V V V . AGB.A'G'B' CGB.C 'G'B' AGC.A'G'C ' 3 V x y t V z y t V z y t Ta có AGBMIN . Tương tự ta có CGBPIN ; CGAPIN V 3 V 3 V 3 VAGB. A'G ' B ' VCGB.C 'G ' B ' VCGA.C 'G ' A' Cộng vế với vế cả 3 đẳng thức trên ta được 3V x y t z y t z y t 2 x y z ABCMNBP t V 3 3 3 3 3V x y z x y z Mà ABCMNBP 3. x y z nên t . Ta được điều phải chứng minh. V 3 3
9. V GI Từ kết quả trên ta có ABCMNBP . VABC.A'B'C ' GG ' Nhận xét. Dựa vào kết quả trên ta thấy rẳng chỉ cần biết cắt GG ' tại vị trí điểm I xác định là ta đã biết chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số bao nhiêu rồi.
10. 4. Tính chất 4: Tỉ số thể tích khối hộp Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng cắt các cạnh AA', BB ',CC ', DD ' lần lượt tại AM BN CP DQ M , N, P,Q sao cho x, y, z, t . Khi đó ta có: AA' BB' CC ' DD' a) x z y t. V x y z t x z y t b) ABCDMNQP . VABCD.A'B'C 'D' 4 2 2 Chứng minh B C O A D N P I M B' Q C' O' A' D' a. Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành. Gọi I,O lần lượt là tâm của hình bình hành MNPQ và AM CP hình vuông ABCD . Ta có OI là đường trung bình của hình thang AMPC nên OI . 2 BN DQ Tương tự OI , do đó AM CP BN DQ xAA' zCC ' yBB ' tDD ' x z y t 2 b. Áp dụng Tính chất 3 ta có V x y t 2V x y t V x y t ABDMNQ ABDMNPQ ABDMNQ VABD.A'B'D' 3 VABCD.A'B'C 'D' 3 VABCD.A'B'C 'D' 6 V y z t tương tự BCDNPQ VABCD.A'B'C 'D' 6 Do đó,
11. V V V x y t y z t x y z t y t ABCDMNPQ ABDMNQ BCDNPQ VABCD.A'B'C 'D' VABCD.A'B'C 'D' VABCD.A'B'C 'D' 6 6 6 x y z t x y z t x y z t 2 6 4 V x y z t OI Chú ý : ABCDMNQP . VABCD.A'B'C 'D' 4 OO ' Nhận xét. Một kết quả tương tự như Tính chất 3. Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình hộp là chia bốn. Và cũng chỉ cần biết cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối tạo thành do cắt hình hộp. Tuy nhiên, Tính chất 4 cũng khẳng định chỉ cần biết hai tỉ số ở hai cạnh bên đối diện của hình hộp mà cắt là ta cũng tìm được tỉ số thể tích các khối. Ví dụ 11. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D có thể tích bằng 2110 . Biết A M MA ; DN 3ND và CP 2C P . Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn. Lời giải B C O A D Q P M B' N C' O' A' D' AM 1 CP 2 MNP cắt BB’ tại Q . Từ giải thiết ta có ; . AA' 2 CC ' 3 AM CP 1 2 VABCDMNPQ AA' CC ' 2 3 7 7 7385 Do đó VABCDMNPQ .2110 VABCD.A'B'C 'D' 2 2 12 12 6 7385 5275 Vậy V 2110 . A'B'C 'D'MNPQ 6 6
12. Ví dụ 12. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có N là trung điểm CC . Mặt phẳng đi qua AN , cắt các cạnh BB ', DD lần lượt tại M , P ; chia khối lập phương thành hai phần có thể tích V2 tương ứng bằng V1 và V2 V1 V2 . Tính tỉ số . V1 Lời giải B C M O A D I N P B' C' O' A' D' AA CN 1 0 V 1 V 1 V Từ giải thiết ta có ABCDPNM AA' CC ' 2 . Nên ABCDPNM 2 3 . VABCD.A'B'C 'D' 2 2 4 VAMNPA'B'C 'D' 3 V1
13. B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA a và SA  ABCD . Gọi V B ', D ' lần lượt là trung điểm SB, SD . Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC tại C '. Đặt k S.AB'C 'D' , VS.ABCD giá trị của k bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 3 4 6 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M , N lần lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.MNCD và S.ABCD. Tỷ số V 1 bằng V2 3 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 4 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD lần lượt cắt các cạnh bên SB và SD tại N V và Q . Tỷ số S.ANMO bằng VS.ABCD 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 4 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm I nằm trên cạnh SC sao cho IS 2IC . Mặt phẳng P chứa AI cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V ' và V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMIN và S.ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số V ' bằng V 4 5 8 5 A. . B. . C. . D. . 5 54 15 24 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, điểm M thuộc cạnh SA , điểm N SM 1 SN 2 thuộc cạnh SD sao cho , . Mặt phẳng thay đổi luôn chứa MN , cắt các SA 2 SD 3 cạnh SB và SC lần lượt tại Q và P. Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng V , khi đó giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNPQ bằng
14. V 2V 3V V A. . B. . C. . D. . 4 5 8 3 Câu 6: Cho khối chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác SBC . Đường thẳng d đi qua G , cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N. Gọi V1,V lần lượt là thể tích của các khối chóp S.AMN V và S.ABC . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1 bằng V 17 21 37 10 A. . B. . C. . D. . 18 22 33 9 Câu 7: Cho chóp S.ABC . Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A , B ,C . Gọi G là trọng SA SB SC tâm tam giác ABC và SG cắt A B C tại G . Khi đó bằng SA' SB ' SC ' 3SG SG ' 2SG 3SG ' A. . B. . C. . D. . SG ' SG SG ' SG Câu 8: Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA và BB . Mặt phẳng CMN chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Đặt V 1 là thể tích của khối chóp V1 C '.MNB ' A' và V2 là thể tích của khối đa diện ABC.MNC '. Tỷ số bằng V2 2 1 3 A. . B. 2. C. . D. . 3 2 2 Câu 9: Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Các điểm M , N, P lần lượt thuộc các AM 1 BN CP 2 cạnh AA , BB ,CC sao cho , . Thể tích của khối đa diện ABC.MNP AA' 2 BB ' CC ' 3 bằng 2 9 20 11 A. V. B. V. C. V. D. V. 3 16 27 18 Câu 10: Cho khối lăng trụ đều ABC.A B C . Gọi I là trung điểm của AA'. Mặt phẳng IB 'C chia khối lăng trụ thành hai phần: phần chứa đỉnh A, B có thể tích bằng V1 và phần còn lại có thể V1 tích bằng V2 . Tỉ số bằng V2 2 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 3 3 2
15. Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trên các cạnh AA , BB ,CC lần lượt lấy ba điểm M , N, P A'M 1 B 'M 2 C ' P 1 sao cho ; ; . Biết mặt phẳng MNP cắt cạnh DD ' tại Q . Tỉ số AA' 3 BB ' 3 CC ' 2 D 'Q bằng DD ' 1 1 5 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3 Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Trên các cạnh AA , BB ,CC lần lượt lấy ba điểm X ,Y, Z sao cho AX 2A X , BY B Y, CZ 3C Z . Mặt phẳng XYZ cắt cạnh DD ' tại điểmT . Tỉ số thể tích của khối XYZT.ABCD và khối XYZT.A B C D bằng 7 7 17 17 A. . B. . C. . D. . 24 17 7 24 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Mặt phẳng cắt các cạnh 1 2 AA , BB ,CC và DD lần lượt tại M , N, P,Q . Biết AM a,CP a . Thể tích của khối 3 5 đa diện ABCD.MNPQ bằng 11 a3 2a3 11 A. a3 . B. . C. . D. a3 30 3 3 15 Câu 14: Cho khối lập phương ABCD.A B C D . Mặt phẳng đi qua A cắt các cạnh BB ,CC , DD lần lượt tại M , N, P sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B bằng một nửa thể CN tích của khối đa diện còn lại. Tỉ số bằng CC 3 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 9.D 10.A 11.A 12.B 13.A 14.C
16. BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA a và SA  ABCD . Gọi V B ', D ' lần lượt là trung điểm SB, SD . Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC tại C '. Đặt k S.AB'C 'D' , VS.ABCD giá trị của k bằng. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 3 4 6 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M , N lần lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.MNCD và S.ABCD. Ttỷ số V 1 bằng. V2 3 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 4 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD lần lượt cắt các cạnh bên SB và SD V tại N và Q . Tỷ số S.ANMO bằng. VS.ABCD 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 4 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm I nằm trên cạnh SC sao cho IS 2IC . Mặt phẳng P chứa cạnh AI cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V ' và V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMIN và S.ABCD . Giá trị nhỏ nhất của V ' tỷ số bằng. V 4 5 8 5 A. . B. . C. . D. . 5 54 15 24 Câu 5: Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Các điểm M , N, P lần lượt thuộc các AM 1 BN CP 2 cạnh AA , BB ,CC sao cho , . Thể tích của khối đa diện ABC.MNP AA' 2 BB ' CC ' 3 bằng. 2 9 20 11 A. V. B. V. C. V. D. V. 3 16 27 18