Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tích phân (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tích phân (Có đáp án)

1. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) được b gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là f (x)dx . a b f (x)dx F(b) F(a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b f (x)dx f (t)dt f (u)du F(b) F(a) a a a Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình b thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S f (x)dx a 2. Tính chất của tích phân a f x dx 0 a b a f (x)dx f (x)dx a b b b kf (x)dx k f (x)dx (k: const) a a b b b f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx a a a b c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a c b Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì f (x)dx 0 a b b Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì f (x)dx g(x)dx a a 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u(b) f u(x).u '(x)dx f (u)du a u(a) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì: b b udv uv b vdu a a a
2. VẤN ĐỀ 1 LÝ THUYẾT é ù Câu 1. Cho hàm số y = f (x)liên tục trên ëa;bû. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b a b a A. ò f (x)dx = ò f (x)dx B. ò f (x)dx = - ò f (x)dx a b a b b b b a C. ò f (x)dx = 2ò f (x)d(2x) D. ò f (x)dx = - 2ò f (x)dx a a a b Câu 2. Cho hàm số y = f (x)liên tục trên ¡ và a Î ¡ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a a a A. ò f (x)dx = 1. B. ò f (x)dx = 0. C. ò f (x)dx = - 1. D. a a a a ò f (x)dx = 2 f (a). a é ù Câu 3. Cho hàm số y = f (x), y = g(x)liên tục trên ëa;bû. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b b b A. é + ù = + . B. ò ëêf (x) g(x)ûúdx ò f (x)dx ò g(x)dx a a a b b b ò f (x).g(x)dx = ò f (x)dx.ò g(x)dx . a a a b f (x)dx b b b f (x) ò C. kf (x)dx = f (kx)dx . D. dx = a . ò ò ò g(x) b a a a ò g(x)dx a Câu 4. Cho hàm số y = f (x)liên tục trên ¡ và a,b,c Î ¡ thỏa mãn a < b < c . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? c b c c b c A. ò f (x)dx = ò f (x)dxò f (x)dx B. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx a a b a a b c b c c b b C. ò f (x)dx = ò f (x)dx- ò f (x)dx D. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx a a b a a c Câu 5. Cho f x , g(x) là hai hàm số liên tục trên ¡ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: b b b b b A. f (x)dx f (y)dy B. f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx. a a a a a a b b b C. f (x)dx 0. D. f (x)g(x) dx f (x)dx g(x)dx. a a a a Câu 6. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy ý. Khi đó: a (I) ò f (x)dx = 0 . a a b (II) ò f (x)dx = ò f (x)dx . b a
3. b b (II) ò k. f (x)dx = kò f (x)dx . a a Trong ba công thức trên: A. Chỉ có (I) sai.B. Chỉ có (II) sai. C. Chỉ có (I) và (II) sai.D. Cả ba đều đúng. Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 A. ò dx = 1. - 1 b b b B. . d = d . d . ò f1 (x) f 2 (x) x ò f1 (x) x ò f 2 (x) x a a a b C. Nếu f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì ò f (x)dx ³ 0 . a a D. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f (x) là hàm số lẻ. 0 Câu 8. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: 1 1 A. ò x 2dx ³ ò x 3dx . 0 0 x dt 1 B. Đạo hàm của F (x)= là F / (x)= (x > 0). ò + + 1 1 t 1 x a a C. Hàm số f (x) liên tục trên [- a;a] thì ò f (x)dx = 2ò f (x)dx . - a 0 b c c D. Nếu f (x) liên tục trên ¡ thì ò f (x)dx + ò f (x)dx = ò f (x)dx . a b a Câu 9. Cho hàm f x là hàm liên tục trên đoạn a;b với a b và F x là một nguyên hàm của hàm f x trên a;b . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? b A. kf x dx k F b F a a a B. f x dx F b F a b C.Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng x a; x b ; đồ thị của hàm số y f x và trục hoành được tính theo công thức S F b F a b b D. f 2x 3 dx F 2x 3 a a Câu 10. Cho hai hàm f x , g x cùng đồng biến và liên tục trên [a; b]. Với a b . Khi đó, xét khẳng định sau đây: b b b (1) x a;b . Ta có: f a dx f x dx f b dx . a a a b (2) f x dx f b . a 1 b (3) Tồn tại x a;b sao cho f x f x dx . 0   0 b a a Các khẳng định đúng trong 3 khẳng định trên là:
4. A.Chỉ (1) và (2).B.Chỉ (2) và (3).C.Chỉ (1) và (3).D.Cả (1), (2) và (3). Câu 11. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: 1 1 A. ò x 2dx ³ ò x 3dx . 0 0 x dt 1 B. Đạo hàm của F (x)= là F / (x)= (x > 0). ò + + 1 1 t 1 x a a C. Hàm số f (x) liên tục trên [- a;a] thì ò f (x)dx = 2ò f (x)dx . - a 0 b c c D. Nếu f (x) liên tục trên ¡ thì ò f (x)dx + ò f (x)dx = ò f (x)dx . a b a f x khi f x g x Câu 12. Ta định nghĩa: max f x , g x . g x khi g x f x Cho f x x2 và g x 3x 2 . 2 Như thế max f (x), g(x)dx bằng: 0 2 1 2 2 A B.x.2C.dx.D.15. x2dx 3x 2 dx 3x 2 dx 0 0 1 0 2 4 4 Câu 13. Cho ò f (x)dx = 1 và ò f (t)dt = - 3 . Giá trị của ò f (u)du là: 1 1 2 A. - 2 .B. - 4 .C. 4.D. 2. d d c Câu 14. Cho hàm f liên tục trên ¡ thỏa mãn ò f (x)dx = 10, ò f (x)dx = 8, ò f (x)dx = 7 . a b a c Tính I = ò f (x)dx , ta được. b A. I = - 5 .B. I = 7. C. I = 5. D. I = - 7 . 1 1 Câu 15. Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên đoạn [0; 1], có f x dx 4 và g x dx 2 . 0 0 1 Tính tích phân I f x 3g x dx . 0 A. 10 .B. 10 .C.2.D. 2. 3 3 Câu 16. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ sao cho ò f (x)dx = 3 . Tính I = ò2 f (x)dx . 1 1 A. I = 3. B. I = - 3. C. I = 6. D. I = - 6. b b a Câu 17. Cho I f x dx, J f u du, K f t dt . Khẳng định nào sau đây đúng? a a b A. I K. B. I J. C. K J. D. I J K. 2 Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f 1 = 1 và f 2 = 2. Tính I f x dx 1 7 A. I 1. B. I 1. C. I 3.D. I . 2 3 Câu 19. Nếu f 0 1, f ' x liên tục và f ' x dx 9 thì giá trị của f 3 là: 0 A.3.B.9.C.10.D.5.
5. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) được b gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là f (x)dx . a b f (x)dx F(b) F(a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b f (x)dx f (t)dt f (u)du F(b) F(a) a a a Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình b thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S f (x)dx a 2. Tính chất của tích phân a f x dx 0 a b a f (x)dx f (x)dx a b b b kf (x)dx k f (x)dx (k: const) a a b b b f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx a a a b c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a c b Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì f (x)dx 0 a b b Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì f (x)dx g(x)dx a a 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u(b) f u(x).u '(x)dx f (u)du a u(a) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì: b b udv uv b vdu a a a