Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Ứng dụng của tích phân (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Ứng dụng của tích phân (Có đáp án)

1. PHẦN 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ 1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Dạng 1: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox ( y 0 ) và hai đường thẳng x a và x b là: b S f (x) dx a y x b x a (C) : y f (x) x O a y 0 b Phương pháp giải: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y f (x) trên đoạn a;b . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : f (x) dx . a b Chú ý: có 2 cách tính tích phân f (x) dx a b b + Cách 1: Nếu trên đoạn a;b hàm số f x không đổi dấu thì: f (x)dx f (x)dx a a + Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x trên đoạn a;b rồi khử trị tuyệt đối. Dạng 2: Cho hàm số x f y liên tục trên a;b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x f y , trục Oy ( x 0 ) và hai đường thẳng y a và y b là: b S f (y) dy a y b y b x 0 (C) : x f ( y) a y a x O
2. 2. Diện tích hình phẳng Dạng 1: Cho 2 hàm số y f x và y g x liên tục trên a;b . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x và y g x và hai đường thẳng x a và x b là: b S f (x) g(x) dx a y x b x a (C1) : y f (x) (H) (C2 ) : y g(x) x O a b Phương pháp giải: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f x g x trên đoạn a;b . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f (x) g(x) dx . a Dạng 2: Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  các đường y f x và y g x là: S f (x) g(x) dx . Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f x g x a  b Phương pháp giải: Bước 1. Giải phương trình f x g x 0 . Giả sử ta tìm được ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình a  b . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : f x g x trên đoạn  ; .  Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f (x) g(x) dx . Dạng 3: Cho hai hàm số x f y và x g y liên tục trên a;b . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x f y và x g y và hai đường thẳng y a và y b là: b S f (y) g(y) dy y a (C2 ) : x g( y) b y b (H) a y a x O Phương pháp giải: (C1 ) : x f ( y) Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f y g y trên đoạn a;b . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f (y) g(y) dy . a
3. Dạng 4: Cho hai hàm số x f y và x g y liên tục trên a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  các đường x f y và x g y là: S g (y) g (y) dy . 1 2 Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f y g y a  b Phương pháp giải: Bước 1. Giải phương trình f y g y 0 . Giả sử ta tìm được ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình a  b . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : f y g y trên đoạn  ; .  Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f (y) g(y) dy . Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị để tính. Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số y f x , y g x và y h x liên tục trên a;b . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số y f x , y g x và y h x là: x2 x3 S f x g x dx h x g x dx x1 x2 Với: + x1 là nghiệm phương trình: f x g x + x2 là nghiệm phương trình: f x h x + x3 là nghiệm phương trình: h x g x Trong đó: a x1 x2 x3 b Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau: y f ( x ) b 1. Diện tích S của miền giới hạn: y 0 S f (x)dx a x a;x b y f ( x ) b 2. Diện tích S của miền giới hạn: y g( x ) S f (x) g(x)dx a x a;x b x f ( y ) b 3. Diện tích S của miền giới hạn: x g( y ) S f (y) g(y)dy a y a; y b DẠNG 1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
4. Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b và cắt trục hoành tại điểm x c (như hình vẽ). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng? b c b A. S f x dx B. S f x dx f x dx a a c c b c b C. S f x dx f x dx D. S f x dx f x dx a c a c Câu 2. Cho đồ thị hàm số y f (x) . Diện tích hình phẳng (phần có đánh y dấu gạch trong hình) là: 0 4 4 O 1 4 x A.S f (x)dx f (x)dx. B.S f (x)dx . -3 3 0 3 4 0 4 C. S f (x)dx. D.S f (x)dx f (x)dx. 3 3 0 Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1,x 2 (như hình vẽ). 0 2 Đặt a f x dx, b f x dx. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 0 A. S b a. B. S b a. C. S b a. D. S b a. Câu 4. Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là: 4 0 0 A. S f x dx B. S f x dx f x dx 3 3 4 1 4 3 4 C. S f x dx f x dx D. S f x dx f x dx 3 1 0 0 Câu 5. Cho đồ thị hàm số y f (x) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
5. PHẦN 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ 1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Dạng 1: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox ( y 0 ) và hai đường thẳng x a và x b là: b S f (x) dx a y x b x a (C) : y f (x) x O a y 0 b Phương pháp giải: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y f (x) trên đoạn a;b . b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : f (x) dx . a b Chú ý: có 2 cách tính tích phân f (x) dx a b b + Cách 1: Nếu trên đoạn a;b hàm số f x không đổi dấu thì: f (x)dx f (x)dx a a + Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x trên đoạn a;b rồi khử trị tuyệt đối. Dạng 2: Cho hàm số x f y liên tục trên a;b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x f y , trục Oy ( x 0 ) và hai đường thẳng y a và y b là: b S f (y) dy a y b y b x 0 (C) : x f ( y) a y a x O