Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 16 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 16 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 16 (100TN) 2 Câu 1: Gọi zz12, là hai nghiệm phức của phương trình zz++=2 10 0 . Tính Az=12 + z. A. 20 . B. 10 . C. 10. D. 2 10 . Câu 2: Căn bậc hai của số thực −7 là A. − 7 . B. ±i 7 . C. 7 . D. ±7i . Câu 3: Phần ảo của số phức zi=23 − là A. 3. B. 2 . C. −3i . D. −3 . Câu 4: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = cos2 x là xxsin 2 sin 2x xxsin 2 xxcos 2 A. −+C . B. xC++. C. ++C . D. −+C . 24 2 24 24 6 Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( )= là cos2 x A. 6cot xC+ . B. 6 tan xC+ . C. −+6cot xC. D. −+6 tan xC. xt=2 +  Câu 6: Trong không gian Oxyz , đường thẳng dy:1 = − có một vectơ chỉ phương là  zt=34 − A. u1 =(1;0; − 4). B. u2 =(1; − 1;4) . C. u3 =(2; − 1;3) . D. u4 =(1;0;4) . 2 1 Câu 7: Nếu fx( ) liên tục trên đoạn [−1; 2 ] và ∫ fx( )d6 x= thì ∫ fx(3− 1d) x bằng −1 0 A. 2. B. 1. C. 18. D. 3. 1 Câu 8: Tích phân ∫ xx2020d có kết quả là 0 1 1 A. . B. 1. C. 0. D. . 2020 2021 Câu 9: Số phức z=+∈ a bi( a, b ) có điểm biểu diễn như hình vẽ bên dưới. Tìm a và b . A. ab=−=4, 3. B. ab=3, = 4 . C. ab=3, = − 4 . D. ab=−=−4, 3. Câu 10: Cho số phức z=−+53 ii2 . Khi đó môđun của số phức z là A. z = 29 . B. z = 35. C. z = 5 . D. z = 34 .
2. Câu 11: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = 4x là x x+1 4 + 4 A. + C . B. 4x 1 + C . C. + C . D. 4x ln 4 + C . ln 4 x +1 Câu 12: Hình (H ) giới hạn bởi các đường y= fx( ) , xa= , xb= (ab< ) và trục Ox . Khi quay (H ) quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích tính bằng công thức sau b b b b A. V= π ∫ fx( ) d x. B. V= π ∫ fx( )d x. C. V= π ∫ f2 ( xx)d . D. V= ∫ fx( )d x. a a a a Câu 13: Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau bằng 3 3 A. S=∫ ( −+ xx2 2 + 3d) x. B. S=∫ ( xx2 −−2 3d) x. −1 −1 3 3 C. S=∫ ( −+ xx2 2 − 3d) x. D. S=∫ ( −+ xx2 4 + 3d) x. −1 −1 5 5 Câu 14: Cho ∫ fx( )d x= 10 . Khi đó ∫ 24− fx( ) d x bằng 2 2 A. 144. B. −144 . C. 34. D. −34 . Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn (1+iz) −− 13 i = 0. Phần thực của số phức w=−+1 iz z bằng A. −1. B. 2 . C. −3 . D. 4 . Câu 16: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = sin x là A. Fx( ) =tan x + C. B. Fx( ) =cos x + C. C. Fx( ) =−+tan C. D. Fx( ) =−+cos x C. xt=23 +  Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng dy: = 54 − t và điểm A(−1;2;3) . Phương trình  zt=−+67 mặt phẳng qua A và vuông góc với d là A. 3xyz− 4 +−= 7 10 0 . B. 3xyz−++= 4 7 10 0 . C. 2xyz+−+= 5 6 10 0 . D. −++−=xyz2 3 10 0 .
3. Câu 18: Cho hai số phức zi1 =23 + và zi2 =3 − . Số phức 2zz12− có phần ảo bằng A. 1. B. 3. C. 7 . D. 5. Câu 19: Cho f( x), gx( ) là các hàm số liên tục và xác định trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∫∫55f( x) dx= f( x) dx . B. ∫f( x) g( x) dx= ∫∫ f( x) dx g( x) dx . C. ∫f( x) −= g( x) dx ∫∫ f( x) dx − g( x) dx . D. ∫f( x) += g( x) dx ∫∫ f( x) dx + g( x) dx Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (2; 4;− 1) và A(0; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là 2 22 2 22 A. ( xyz−+−++=2) ( 4) ( 1) 26. B. ( xyz++++−=2) ( 4) ( 1) 26. 2 22 2 22 C. ( xyz++++−=2) ( 4) ( 1) 24 . D. ( xyz−+−++=2) ( 4) ( 1) 24 . Câu 21: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(1;− 2; 2 ) và có véc-tơ pháp tuyến n =(3;1;2 −−) có phương trình là A. 3xy− − 2 z −= 10. B. xyz−2 + 2 += 10. C. 3xy− − 2 z += 10. D. xyz−2 + 2 −= 10. 1 2 Câu 22: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = trên khoảng −; +∞ là 32x + 3 1 ++ ++ 1 1 A. ln( 3xC 2) . B. ln( 3xC 2) . C. −+2 C . D. −+2 C . 3 33( x + 2) (32x + )  Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;3) và B(0;− 1;2) . Tọa độ AB là A. (−−1; 3;1) . B. (−−−1;3;1) . C. (1;− 3;1) . D. (−−1; 3; 1) . Câu 24: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 4 y += 30 tại điểm H (0;− 1; 0 ) là A. −+xyz ++=10. B. −+xy −=10. C. xyz− +−=10. D. −+xy +=10. 2 Câu 25: Điểm biểu diễn của số phức zi=(2 − ) là A. (3;− 4). B. (3;4) . C. (−3;4) . D. (−−3; 4) . Câu 26: Trong không gian Oxyz , tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;2;− 3) và B(2;− 1;1) là 31 −13 13− A. (3;1;− 2) . B. ;;1− . C. ;;2− . D. ; ;2 . 22 22 22 Câu 27: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(2;− 1; 4 ) , B(3; 2;− 1) và vuông góc với mặt phẳng xy++2 z −= 30 là A. 11xyz−−+= 7 2 21 0 . B. 11xyz−−−= 7 2 21 0. C. 5340xyz+−=. D. xyz+7 −+= 2 13 0 . Câu 28: Cho hai số phức zi1 =1 + và zi2 =1 − . Tính zz12− .
4. A. −2i . B. 2i . C. 2 . D. −2 . Câu 29: Môđun của số phức z thỏa mãn (12+=−iz) i bằng 10 A. 2 . B. . C. 3. D. 5 . 2 Câu 30: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M (0;0;5) đến mặt phẳng (Px) :+ 2 y + 2 z −= 30 bằng 8 4 7 A. 4 . B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 31: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(1;− 2; 3 ) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là A. (1;0;0) . B. (0;− 2;3) . C. (1; 0; 3 ) . D. (1;− 2; 0 ) . 2 5 5 Câu 32: Nếu ∫ f( x) dx = 3 và ∫ f( x) dx = −1 thì ∫ f( x) dx bằng 1 2 1 A. 2 . B. −2 . C. 4 . D. −3 . Câu 33: Số phức liên hợp của số phức zi=68 − là A. 68+ i . B. −−68i . C. 86− i . D. −+68i . Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn (23+iz) −+( 12 iz) =− 7 i. Tìm môđun của z . A. z = 3 . B. z =1. C. z = 2. D. z = 5 . xt=12 + xt=3 + 2'   Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ∆=−:2yt và ∆=−':yt 1 ' . Vị trí tương   z = −3 z = −3 đối của ∆ và ∆ ' là A. ∆ cắt ∆ ' . B. ∆ và ∆ ' chéo nhau. C. ∆∆// ' . D. ∆≡∆'. Câu 36: Cho số phức zi=32 − . Tìm phần ảo của số phức w=(12 + iz) . A. −4 . B. 4 . C. 4i . D. 7 . 1 Câu 37: Cho hàm số fx() thỏa mãn fx′()= 2 x − 1 và f (0)= 1. Tính ∫ f() x dx . 0 5 5 1 A. 2 . B. − . C. . D. − . 6 6 6 xt=12 +  Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : yt=−+13. Điểm nào dưới đây thuộc ∆ ?  zt=2 − A. (2; 3;− 1). B. (−−1; 4; 3 ) . C. (−−1;1; 2 ). D. (2;− 2; 4) . Câu 39: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=sin xy , = 0, x = 0, x = π quay quanh trục Ox bằng
5. 5 5 Câu 14: Cho ∫ fx( )d x= 10 . Khi đó ∫ 24− fx( ) d x bằng 2 2 A. 144. B. −144 . C. 34. D. −34 . Lời giải Chọn D 5 55 5 Ta có 2− 4fx d x = 2 d x − 4 fx d x =−=− 2 x 4.10 34 . ∫( ) ∫∫( ) 2 2 22 Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn (1+iz) −− 13 i = 0. Phần thực của số phức w=−+1 iz z bằng A. −1. B. 2 . C. −3 . D. 4 . Lời giải Chọn B 1+ 3i (1 + 3 i )(1 − i ) 1 −+ iii 3 − 32 4 + 2 i Ta có (1+iz) −− 13 i = 0 ⇔ z = = = = =2 +i. 1+i (1 +− ii )(1 ) 1 − i2 2 ⇒=−⇒=−+=−++−=−z2 i w 1 iz z 12 i i2 2 i 23 i . Câu 16: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = sin x là A. Fx( ) =tan x + C. B. Fx( ) =cos x + C. C. Fx( ) =−+tan x C. D. Fx( ) =−+cos x C. Lời giải Chọn D ∫sin xdx=−+ cos xC. xt=23 +  Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng dy: = 54 − t và điểm A(−1;2;3) . Phương trình  zt=−+67 mặt phẳng qua A và vuông góc với d là A. 3xyz− 4 +−= 7 10 0 . B. 3xyz−++= 4 7 10 0 . C. 2xyz+−+= 5 6 10 0 . D. −++−=xyz2 3 10 0 . Lời giải Chọn A Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ud =(3; − 4;7). Mặt phẳng đi qua A(−1;2;3) và vuông góc với d , nhận ud =(3; − 4;7) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 3( x+− 1) 4( y −+ 2) 7( z −=⇔− 3) 0 3 xyz 4 + 7 −= 10 0 . Câu 18: Cho hai số phức zi1 =23 + và zi2 =3 − . Số phức 2zz12− có phần ảo bằng A. 1. B. 3. C. 7 . D. 5. Lời giải Chọn D Ta có: 2zz12− = 22( + 3 i) −+=+( 3 i) 1 5 i. Vậy, số phức 2zz12− có phần ảo bằng 5.
6. Câu 19: Cho f( x), gx( ) là các hàm số liên tục và xác định trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∫∫55f( x) dx= f( x) dx . B. ∫f( x) g( x) dx= ∫∫ f( x) dx g( x) dx . C. ∫f( x) −= g( x) dx ∫∫ f( x) dx − g( x) dx . D. ∫f( x) += g( x) dx ∫∫ f( x) dx + g( x) dx Lời giải Chọn B Áp dụng tính chất của nguyên hàm, ta có đáp án B là sai. Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (2; 4;− 1) và A(0; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là 2 22 2 22 A. ( xyz−+−++=2) ( 4) ( 1) 26. B. ( xyz++++−=2) ( 4) ( 1) 26. 2 22 2 22 C. ( xyz++++−=2) ( 4) ( 1) 24 . D. ( xyz−+−++=2) ( 4) ( 1) 24 . Lời giải Chọn D     22 Ta có: IA =−−⇒=( 2; 2; 4) IA IA =−+−+=( 2) ( 2) 42 24 . Mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính của mặt cầu bằng IA = 24 . 2 22 Phương trình mặt cầu là: ( xyz−+−++=2) ( 4) ( 1) 24 . Câu 21: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(1;− 2; 2 ) và có véc-tơ pháp tuyến n =(3;1;2 −−) có phương trình là A. 3xy− − 2 z −= 10. B. xyz−2 + 2 += 10. C. 3xy− − 2 z += 10. D. xyz−2 + 2 −= 10. Lời giải Chọn A Phương trình của mặt phẳng (P) qua A(1;− 2; 2 ) với véc-tơ pháp tuyến n =(3;1;2 −−) là 3( x− 1) −( y + 2) − 2( z − 2) = 0 ⇔ 3 xy − − 2 z −= 10. 1 2 Câu 22: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = trên khoảng −; +∞ là 32x + 3 1 ++ ++ 1 1 A. ln( 3xC 2) . B. ln( 3xC 2) . C. −+2 C . D. −+2 C . 3 33( x + 2) (32x + ) Lời giải Chọn B 2 Với x ∈ −; +∞ thì 3x +> 20, ta có 3 11 1 fx( )d x= d x = ln 3 x ++= 2 C ln( 3 x + 2) + C. ∫∫32x + 3 3  Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;3) và B(0;− 1;2) . Tọa độ AB là A. (−−1; 3;1) . B. (−−−1;3;1) . C. (1;− 3;1) . D. (−−1; 3; 1) . Lời giải Chọn B
7.  Ta có: AB =(0 − 1; −− 1 2;2 − 3) =−−( 1; 3; − 1). Câu 24: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 4 y += 30 tại điểm H (0;− 1; 0 ) là A. −+xyz ++=10. B. −+xy −=10. C. xyz− +−=10. D. −+xy +=10. Lời giải Chọn D Mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 4 y += 30 có tâm I (1;− 2;0) .    Ta có: IH =( −1;1;0) . Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S ) tại điểm H (0;− 1; 0 ) là mặt phẳng đi qua H (0;− 1; 0 ) và nhận    IH =( −1;1;0) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là −1( xyz − 01) +( ++ 10) ( − 0) = 0⇔−xy + +10 = . 2 Câu 25: Điểm biểu diễn của số phức zi=(2 − ) là A. (3;− 4). B. (3;4) . C. (−3;4) . D. (−−3; 4) . Lời giải Chọn A 2 Ta có z=(2 − i) =−+=−−=− 44 ii2 44 i 134 i. Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là (3;− 4). Câu 26: Trong không gian Oxyz , tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;2;− 3) và B(2;− 1;1) là 31 −13 13− A. (3;1;− 2) . B. ;;1− . C. ;;2− . D. ; ;2 . 22 22 22 Lời giải Chọn B  xx+ 12+ 3 =AB = = xI  2 22  yyAB+ 21− 1 Gọi Ix( I;; y II z) là trung điểm của AB khi đó ta có yI = = = .  2 22  zz+ −+31 =AB = = − zI 1  22 31 Suy ra I ;;1− . 22 Câu 27: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(2;− 1; 4 ) , B(3; 2;− 1) và vuông góc với mặt phẳng xy++2 z −= 30 là A. 11xyz−−+= 7 2 21 0 . B. 11xyz−−−= 7 2 21 0. C. 5340xyz+−=. D. xyz+7 −+= 2 13 0 . Lời giải Chọn B
8. Gọi (α ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(2;− 1; 4 ) , B(3; 2;− 1) và vuông góc với mặt phẳng xy++2 z −= 30.  Mặt phẳng xy++2 z −= 30 có vectơ pháp tuyến n = (1;1; 2 ) ; AB =(1; 3; − 5 ) .   ⇒ vectơ pháp tuyến của (α ) là AB, n =( 11;7;2 −−) . Vậy (α ) : 11( x− 2) − 7( y +− 1) 2( z − 4) =⇔ 0 11 xyz − 7 − 2 − 21 = 0 . Câu 28: Cho hai số phức zi1 =1 + và zi2 =1 − . Tính zz12− . A. −2i . B. 2i . C. 2 . D. −2 . Lời giải Chọn B Ta có zz12− =+−−=(1 i) ( 12 i) i. Câu 29: Môđun của số phức z thỏa mãn (12+=−iz) i bằng 10 A. 2 . B. . C. 3. D. 5 . 2 Lời giải Chọn B (12+=−iz) i 2− i 13 ⇔=zi =− 1+ i 22 22 1  3  10 z = +−   = . 2  22  Câu 30: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M (0;0;5) đến mặt phẳng (Px) :+ 2 y + 2 z −= 30 bằng 8 4 7 A. 4 . B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D 0++− 2.0 2.5 3 7 dM( ,( P)) = = . 122222++ 3 Câu 31: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(1;− 2; 3 ) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là A. (1;0;0) . B. (0;− 2;3) . C. (1; 0; 3 ) . D. (1;− 2; 0 ) . Lời giải Chọn B + Ta có hình chiếu của A(1;− 2; 3 ) lên mặt phẳng tọa độ (Oyz) có tọa độ là (0;− 2;3) . 2 5 5 Câu 32: Nếu ∫ f( x) dx = 3 và ∫ f( x) dx = −1 thì ∫ f( x) dx bằng 1 2 1 A. 2 . B. −2 . C. 4 . D. −3 . Lời giải
9. Chọn A 5 25 + Ta có ∫∫∫f( x) dx= f( x) dx + f( x) dx =3 +− ( 1) = 2 . 1 12 Câu 33: Số phức liên hợp của số phức zi=68 − là A. 68+ i . B. −−68i . C. 86− i . D. −+68i . Lời giải Chọn A Ta có số phức z= a + bi sẽ có số phức liên hợp là z= a − bi . Do đó số phức liên hợp của zi=68 − là zi=68 + . Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn (23+iz) −+( 12 iz) =− 7 i. Tìm môđun của z . A. z = 3 . B. z =1. C. z = 2. D. z = 5 . Lời giải Chọn D Gọi z= a + bi khi đó z= a − bi . Ta có (23+iz) −+( 12 iz) =− 7 i ⇔(23 +i)( a + bi) −+( 12 i)( a − bi) =− 7 i ⇔−ababi5 +( + 37) =− i ab−=57 a = 2 ⇔⇔ ab+=−31 b =− 1 Số phức zi=2 − nên z = 5 . xt=12 + xt=3 + 2'   Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ∆=−:2yt và ∆=−':yt 1 ' . Vị trí tương   z = −3 z = −3 đối của ∆ và ∆ ' là A. ∆ cắt ∆ ' . B. ∆ và ∆ ' chéo nhau. C. ∆∆// ' . D. ∆≡∆'. Lời giải Chọn D   Đường thẳng ∆ có VTCP u∆ =(2; − 1; 0 ) và qua N (1; 2;− 3 ) , đường thẳng ∆ ' có  VTCP u∆' =(2; − 1; 0 ) và qua M (3;1;− 3 ).     = ∆ ∆ = Xét uu∆∆,0' suy ra và ' có thể song song hoặc trùng.( Có thể dùng uu∆∆' ) 1= 3 + 2't  Thay tọa độ N (1; 2;− 3 ) vào ∆ ' ta được 21=−⇔=−tt ' ' 1 hay N (1; 2;− 3 ) thuộc ∆ ' .  −=−33 Vậy ∆≡∆'. Câu 36: Cho số phức zi=32 − . Tìm phần ảo của số phức w=(12 + iz) . A. −4 . B. 4 . C. 4i . D. 7 . Lời giải
10. Chọn B Ta có: w=+(12 iz) =+( 12 i)( 32 −=+ i) 74 i. Suy ra phần ảo của w là 4. 1 Câu 37: Cho hàm số fx() thỏa mãn fx′()= 2 x − 1 và f (0)= 1. Tính ∫ f() x dx . 0 5 5 1 A. 2 . B. − . C. . D. − . 6 6 6 Lời giải Chọn C Ta có: fx( )=∫∫ f′ ( x )d x = (2 x − 1)d x = x2 −+ x C ⇒==fC(0) 1. 11 32 2 2 xx 1 11 5 ⇒fx() = x −+ x 1⇒∫∫fx( )d x =( x −+ x1) d x = − + x = − +=1 . 00 3 20 32 6 xt=12 +  Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : yt=−+13. Điểm nào dưới đây thuộc ∆ ?  zt=2 − A. (2; 3;− 1). B. (−−1; 4; 3 ) . C. (−−1;1; 2 ). D. (2;− 2; 4) . Lời giải Chọn B x =+−=−1 2( 1) 1  Nhận thấy với t = −1 thay vào đường thẳng ∆ : yM=−+−=−⇒1 3( 1) 4( −− 1; 4;3) ∈∆.  z =2 −− ( 1) = 3 Câu 39: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=sin xy , = 0, x = 0, x = π quay quanh trục Ox bằng π π π 2 π 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=sin xy , = 0, x = 0, x = π quay quanh trục Ox là: ππ 2 2 1− cos 2x  1 1 π 1 π V=π∫∫sin xdx = π dx=π x −sin 2 x  =ππ −=0 . 002 24 0 2  2 Câu 40: Trong không gian Oxyz , một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 3x+ 2 yz −+= 10 là        A. n3 =(3; 2; − 1) . B. n4 =(3;2;1 −−) . C. n2 =( −2; 3;1) . D. n1 = (3; 2;1) . Lời giải Chọn A   Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 3x+ 2 yz −+= 10 là n3 =(3; 2; − 1) . Câu 41: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3;− 1; 2 ) và B(4;1; 0 ) là xy−−+122 z x−312 yz +− A. = = . B. = = . 3− 12 12− 2
11. xy++−122 z x+312 yz −+ C. = = . D. = = . 3− 12 12− 2 Lời giải Chọn B  Ta có : AB(1; 2;− 2).  Đường thẳng đi qua hai điểm A(3;− 1; 2 ) và B(4;1; 0 ) nhận véctơ chỉ phương u= AB có x−312 yz +− phương trình là : = = . 12− 2 Câu 42: Biết ∫ f( x) dx= F( x) + C . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b b A. ∫ f( x) dx= F( b) − F( a) . B. ∫ f( x) dx= F( b). F( a) . a a b b C. ∫ f( x) dx= F( b) + F( a). D. ∫ f( x) dx= F( a) − F( b) . a a Lời giải Chọn A b Theo định nghĩa, ta có : ∫ f( x) dx= F( b) − F( a). a Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z −≤12. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=+−(181 iz) là hình tròn có tâm và bán kính lần lượt là A. IR(0; 8) ,= 3 . B. IR(0; 8) ,= 6 . C. IR(−=1; 8) , 2 . D. IR(0;−= 8) , 6 . Lời giải Chọn B Gọi số phức w=+∈ a bi ( a; b ) w +1 Ta có: w=+−(181 iz) nên z = 18+ i Vì z −≤12 nên w+1 w ++11 8 i wi + 8 wi+ 8 −≤⇔12222 − ≤⇔ ≤⇔ ≤ 18+i 1818 ++ ii 18 + i 18+ i 2 ⇔+wi8 ≤+ 2. 1 8 iwi ⇔+ 8 ≤⇔+− 6 abi( 8) ≤⇔+− 6 ab2 ( 8) ≤ 36 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=+−(181 iz) là hình tròn có tâm và bán kính lần lượt là: IR(0; 8) ,= 6 Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;− 2; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng (Pxyz) : 2+−− 9 9 123 = 0. Số điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt cầu (S ) là A. 96. B. 144. C. 120. D. 124. Lời giải Chọn C Bán kính mặt cầu (S ) là khoảng cách từ I (1;− 2; 3 ) đến mặt phẳng (Pxyz) : 2+−− 9 9 123 = 0
12. 2.1+ 9.(−− 2) − 9.3 123 Nên R = = 166 2 2922+ +−( 9) 2 22 Do đó phương trình mặt cầu (S ) là: ( xy−1) ++( 2) +−( z 3) = 166 Ta có 166=++ 322 6 11 2 =++=++ 6 222 7 9 2 222 9 9 Do bộ số ( xy−+−1; 2; z 3) là một hoán vị của bộ ba số (3 ; 6 ; 11) , có tất cả 6 hoán vị như vậy. Với mỗi bộ hoán vị (3 ; 6 ; 11) cho ta hai giá trị x , hai giá trị y , hai giá trị z tức là có 2.2.2= 8 bộ ( xyz ; ; ) là phân biệt nên theo quy tắc nhân có tất cả 6.8= 48 điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu (S ) . Tương tự với bộ số (6 ; 7 ; 9) cũng có 48 điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu (S ) . Với bộ số (2 ; 9 ; 9) chỉ có 3 hoán vị là (2 ; 9 ; 9) ; (9 ; 2 ; 9) ; (9 ; 9 ; 2) . Và mỗi hoán vị như vậy lại có 8 bộ ( xyz ; ; ) là phân biệt nên theo quy tắc nhân có tất cả 3.8= 24 điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu (S ) . Vậy có tất cả 48++= 48 24 120 điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu (S ) . Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn z+++4 iz −− 4 3 i = 10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của zi+−37. Khi đó Mm22+ bằng 405 645 A. 90. B. . C. 100. D. . 4 4 Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Oxy , gọi T( xy;) , A(−− 4; 1) , B( 4;3) và P(−3; 7 ) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, −− 4 ii , 4 + 3 và −+37i . Khi đó giả thiết z+++4 iz −− 4 3 i = 10 được viết lại thành TA+= TB 10 và Mm, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của TP . Ta có AB = 45 nên tập hợp tất cả các điểm T thỏa mãn TA+= TB 10 là một đường elip có tiêu cự 2c = 45 và độ dài trục lớn 2a = 10 .   Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó I(0;1) , IP = 3 5 và IP⊥ AB vì IP.0 AB = .
13. Chọn lại hệ trục tọa độ mới Iuv với gốc tọa độ là I , tia Iu trùng với tia IB và tia Iv trùng với tia IP . Đối với hệ trục tọa độ Iuv , ta có IA(0;0) , (− 2 5;0) , B( 2 5;0) , P( 0;3 5) và T( uv; ) . uv22 Elip có ac=5, = 2 5 nên b = 5 và phương trình của elip là +=1. 25 5 2 Ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của TP= u2 +−( v 35) . uv22 Từ phương trình của elip +=1, ta đặt u=5cos tv , = 5sin tt , ∈[ 0;2π ]. 25 5 Khi đó 2 TP=25cos2 t + 5( sin t −= 3) 25cos22t + 5sin t − 30sin t + 45 = 20cos22tt−+− 30sin 50 = 20sin tt −+ 30sin 70 Xét hàm số fk( ) =−−+2 k2 37 k trên đoạn [−1;1], ta có bảng biến thiên như sau: 325 Từ bảng biến thiên trên, ta được 20≤=TP 10 f( sin t) ≤ . Dễ dàng kiểm tra các dấu 4 325 325 405 đẳng thức xảy ra nên Mm=, = 20 và Mm22+ = +=20 . 4 44 1 fx′( ) = x x dx Câu 46: Cho Fx( ) 4 là một nguyên hàm của hàm số 2.fx( ) . Tích phân ∫ 2 bằng 0 ln 2
14. 2 4 2 4 A. . B. − . C. − . D. . ln 2 ln 2 ln 2 ln2 Lời giải Chọn A Vì Fx( ) = 4x là một nguyên hàm của hàm số 2.x fx( ) nên 2.xxfx( ) = Fx′( ) = 4.ln4. Suy ra fx( ) = 2x .ln 4 . Từ đó fx′( ) =2xx .ln 2.ln 4 = 2+12 .ln 2 . 1 11fx′( ) 22x+1 dxx= 2dx+1 = = Vậy ∫∫2 . 00ln 2 ln 20 ln 2 Câu 47: Cho hàm số fx( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (11) = và 1 2 ( f'( x)) + 4( 6 x2 − 1) . fx( ) = 40 x642 − 44 x + 32 x − 4, ∀∈ x[ 0;1] . Tích phân ∫ xf( x) dx bằng 0 13 5 13 5 A. − . B. . C. . D. − . 15 12 15 12 Lời giải Chọn B Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên đoạn [0;1] có 11 1 2 376 ∫∫( f′( x )) dx + 4( 6 x2 − 1) fx ( )d x = ∫( 40 x642 −+−= 44 x 32 x 4) dx 00 0 105 Theo công thức tích phân từng phần có 11 1 1 (6x2− 1) fx ()d x = fx ()d2( x33 −= x) ( 2 x − xfx) () −( 2 x3 − xf) ′ ()d x x ∫∫0 ∫ 00 0 1 =−−1∫( 2x3 xf) ′ ( xx )d 0 Thay lại đẳng thức trên ta có 1 1 11 22376 44 ∫( fx′()) d x+− 41 ∫( 2 x33 − xfxx) ′′ ()d = ⇔ ∫∫( fx()) dx − 4( 2x −x) fxx ′ ()d + = 0 0 0 105 00 105 11 1 2 ′′2 33 ⇔∫∫( f() x) dx − 4( 2 x − xf) ()dxx x + ∫ 22( x −=) d x 0 00 0 1 2 ⇔∫( fx′′() − 22( x3 − x)) dx =0 ⇔ fx () = 22( x3 − x) , ∀∈ x [0;1] ⇒ fx( ) = x42 − x + C 0 11 5 Mặt khác f(1)=⇒=⇒ 1 C 1 fxxx ( ) =−+⇒42 1∫∫ xfxxxxx( ) d =( 42 −+1) d x = 00 12 Câu 48: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua M (4;− 2;1) , song song với mặt phẳng (α ) :3x− 4 yz +− 12 = 0 và cách A(−2;5; 0) một khoảng lớn nhất là xt=4 + xt=4 + xt=4 − xt=14 +     A. yt=−−2 . B. yt=−+2 . C. yt=−+2 . D. yt=12 − .     zt=−+1 zt=−+1 zt=−+1 zt=−+1
15. Lời giải Chọn B Gọi H là hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng ∆. Khi đó AH≤ AM . Vậy dA(,)∆ lớn  nhất khi HM≡ , hay AM ⊥∆. Ta có AM =(6; − 7;1)  Gọi nα =(3; − 4;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()α . Ta có [AM , nα ]=−−− ( 3; 3; 3) AM ⊥∆  ⇒ ∆   nhận AM, n(α ) làm một vectơ chỉ phương. ∆ / /(α ) Hay u∆ = (1;1;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆  xt=4 +  Do M ∈∆ nên phương trình ∆ là yt=−+2   zt=1 + 2 Câu 49: Đường thẳng y= kx + 4 cắt parabol yx=( − 2) tại hai điểm phân biệt và diện tích các hình phẳng SS12, bằng nhau như hình vẽ sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. k ∈−( 6; − 4) . B. k ∈−( 2; − 1) . C. k ∈−1; − . D. k ∈−;0 . 2 2 Lời giải Chọn D Theo hình vẽ ta có k < 0. 2 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y= kx + 4 cắt parabol yx=( − 2) là: 2 2 x = 0 ( x−2) −( kx +=⇔−+ 40) x( k 4) x =⇔ 0  . xk= + 4
16. 4 + Đường thẳng y= kx + 4 cắt trục hoành tại điểm x = − . k Điều kiện −<20k < , theo hình vẽ, ta có: kk++44 = +− −2 = −2 + + S1 ∫∫( kx42( x) ) dx( x( k4) x) dx . 00 k +4 3 3 xk+ 4 2 (k + 4) =−+x = . 32 6 0 4 4 − k +4 − k +4 k 3 2 ( x − 2) k k = − + += +2 + S2 ∫∫( x24) dx( kx) dx x 4 x 24k + 32+ 2 k 4 3 (k + 2) 8 k 2  = +−  −(kk +44) +( + 4). 32k   −−kkkk4312 − 48 2 − 80 − 48 = . 6k 3 (k + 4) −−kkkk4312 − 48 2 − 80 − 48 Do đó: SS=⇔= 12 66k 2 ⇔+k4312 k + 48 k 2 + 72 k +=⇔+ 24 0( kk2 6) + 12( kk2 + 6) += 24 0( *) t =−+6 23 Giải phương trình trên với tk=2 + 6 k ta được  . t =−−6 23 Với t=−+6 23 ⇔ kk2 + 6 =−+ 6 23  2 k =+−3 23 3 ⇔+(k 3) =+ 3 23 ⇔ ( )  k =−+−3 23 3 Với t=−−6 23 ⇔ kk2 + 6 =−− 6 23 2 ⇔+(k 3) =−( 3 23) (vô nghiệm) Tóm lại k =+−3 23 3 là giá trị cần tìm. Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 4 z += 10 và đường thẳng xt=2 −  d:  yt= . Tổng các giá trị của m để d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt AB, sao cho các  z= mt + mặt phẳng tiếp diện của (S ) tại A và B vuông góc với nhau bằng A. −1. B. −5 . C. 3. D. −4 . Lời giải Chọn B Do (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 4 z += 10 nên tâm của mặt cầu là I (1;0;-2) . 22 Xét phương trình (2−t) + t2 +( mt +) −22( − t) + 4( mt +) += 1 0. ⇔3t22 + 2( m + 1) tm + + 4 m += 10 (1).
17. Đường thẳng d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt AB, ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân −−5 21 −+ 5 21 biệt tt, ⇔∆′ >0 ⇔− 2mm2 − 10 − 2 > 0 ⇔ <m < (2). 12 22 +21(m ) tt12+=−  3 Khi đó, theo định lý Vi – ét ta có:  . mm2 ++41 tt =  12 3 Ta có A(2−+ ttmt11 ;; 1) ; B( 2 − ttmt2 ;; 2 + 2)   ⇒IA(1;;2;1;;2 − t11 t m ++ t1) IB( − t2 t 2 m ++ t2) . Các mặt phẳng tiếp diện của (S ) tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi   IA. IB=⇔ 01( − t1)( 1 − t 2) + t 12 t +( m ++2 t1)( m ++ 2 t2) = 0 2 m = −1 ⇔mm +5 +=⇔ 40  (thỏa mãn điều kiện (2)). m = −4 Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là −5 . HẾT