Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 22 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 22 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 22 (100TN) Câu 1: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3 ) , B(5;1; 4 ) có một vectơ chỉ phương là        A. a3 =−−−( 4;1;1) . B. a1 =(4; − 1;1) . C. a4 =( −4;1;1) . D. a2 =(4;1;1 −−) . Câu 2: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Pxyz) :+−+= 30 đi qua điểm nào dưới đây? A. N (−−1; 1;1) . B. P(1;1;1) . C. Q(−1;1;1) . D. M (1;1;− 1) . Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 4 y − 2 z += 20. Điểm nào sau đây là tâm của (S ) ? A. I (1;− 2;1) . B. H (2;− 4; 2) . C. J (−−1; 2; 1) . D. K (−−2; 4; 2) . Câu 4: Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;− 1; 0 ) và nhận vectơ u =(2; 2; − 3) làm vectơ chỉ phương. xt=12 + xt=12 + xt=12 + xt=12 −     A. dy:2 = t. B. dy:1 =−+ t. C. dy: =−+ 12 t. D. dy: =−+ 12 t.     zt=53 − zt= 2 zt= −3 zt= −3 Câu 5: Cho bốn số phức có điểm biểu diễn lần lượt là M, N ,, PQ như hình vẽ. Số phức có mô-đun lớn nhất là số phức có điểm biểu diễn là A. Q . B. P . C. M . D. N . Câu 6: Số phức liên hợp của số phức zi=−+2 là A. 2 + i . B. 2 − i . C. 12− i . D. −−2 i . Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) :2 xy−+ 2 z −= 2 0. Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là? A. v = (2;1; 2 ) . B. u =(2;1;2 −−) . C. a =−−( 1; 2; 2 ) . D. b =(4; − 2; 4) . 2 22 Câu 8: Gọi zz12, là hai nghiệm phức của phương trình zz−3 += 30, tính zz12+ .
2. A. 9. B. 12. C. 3. D. 15. Câu 9: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số fx()= e3x 1 A. fx( )d x= e3x + C. B. fx( )d x= 3 e3x + C. ∫ 3 ∫ e31x+ C. fx( )d x= + C. D. fx( )d xe=3x + C. ∫ 31x + ∫ x+217 yz −+ Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = . Véc-tơ nào dưới đây không 13− 5 phải là một véc-tơ chỉ phương của d ?        A. u4 = (1;3;5). B. u3 =(1; 3; − 5) . C. u1 =−−( 1; 3; 5) . D. u2 =(2;6; − 10) . Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai? 1 ex+1 A. dx= ln xC + . B. exxd = + C. ∫ x ∫ x +1 1 C. dx= tan xC + . D. cosxx d= sin x + C. ∫ cos2 x ∫ Câu 12: Cho hàm số y= f(), x y = gx() liên tục trên đoạn [;]ab. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(), x y = gx() và các đường thẳng x= ax; = b là b b A. S=∫ f() x − gx ()d x. B. S=∫ (() f x − gx ())d x. a a b b C. S=∫ (() f x − gx ())d x. D. S=∫( f() x − gx ()d) x. a a Câu 13: Tìm phần ảo của số phức z , biết (13−=+iz) i. A. 1. B. −1. C. 2 . D. −2 . 3 5 5 Câu 14: Nếu ∫ fx( )d5 x= , ∫ fx( )d2 x= − thì ∫ fx( )d x bằng 1 3 1 A. 3. B. 7 . C. −2 . D. −7 . Câu 15: Cho hai số thực x và y thỏa mãn 2xy++( xy +− 4) ixy =+++ 37( − yi) . Khi đó xy+ bằng A. 4 . B. 6 . C. 5. D. 7 . Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức zi=−+43 là A. N (4;− 3) . B. M (−4;3) . C. P(−−4; 3) . D. Q(4;3) . 2 2 2 Câu 17: Cho ∫ fx( )d3 x= và ∫ gx( )d7 x= , khi đó ∫ f( x) + 3d gx( ) xbằng 0 0 0 A. 10. B. 16. C. 18. D. 24. 2 Câu 18: Phương trình zz 2 20 có các nghiệm phức zz12, . Tính Fz 12 z A. 2 . B. 22. C. 1. D. 2
3. Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có AB 3; 2;5 , 2;1; 3 và C 5;1;1 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là A. G (2;0;1). B. G (2;0;− 1) . C. G (2;1;− 1) . D. G (−2;0;1) Câu 20: Cho hai số phức z12 2 iz , 13 i. Mô – đun của số phức zz12 2 bằng A. 65 . B. 50 . C. 26 . D. 41 Câu 21: Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (Cy ) := ln x, trục Ox và đường thẳng xe= là A. Ve=π ( − 2) . B. Ve=π ( + 1) . C. Ve=π ( − 1) . D. Ve= π . Câu 22: Trong tập hợp các số phức , xét phương trình zz2 −4 3 += 16 0 (1) . Kí hiệu AB, là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các nghiệm của phương trình (1). Tính số đo góc AOB . A. 90 . B. 30 . C. 120 . D. 60 . Câu 23: Xét phương trình z2 + bz += c 0 , bc, ∈ . Biết số phức zi=3 − là một nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức Pbc= + . A. P =16. B. P =12. C. P = 8 . D. P = 4 . 8 2 Câu 24: Cho ∫ fx( ) d x= 24 . Tính ∫ fxx(4 ) d . 0 0 A. 6 . B. 36. C. 12. D. 76 . Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng yx= 2 và đồ thị hàm số yx=2 −+ x2. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. − . 8 6 7 6 1 Câu 26: Biết rằng tích phân I=+=+∫(21 x) ex dx a be , tích ab bằng 0 A. 20. B. −1. C. 1. D. −15 . Câu 27: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Px) :+ 2 y − 2 z −= 80 cắt mặt cầu 2 22 (Sx) :( −+−+−= 1) ( y 2) ( z 3) 25 theo một đường tròn có diện tích là A. 16π . B. 20π . C. 9π . D. 25π . xy−+11 z Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆==: và mặt phẳng 122− (Px) :− 2 y + 2 z += 20. Gọi ϕ là góc giữa ∆ và (P) . Tính sinϕ . 1 5 7 1 A. sinϕ = . B. sinϕ = . C. sinϕ = . D. sinϕ = . 9 9 9 3 Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn zz= là A. Tập rỗng B. Trục Oy C. Tập hợp chỉ gồm điểm O D. Trục Ox Câu 30: Cho số phức z=+∈ a bi,,( a b ) thoả mãn zz+=−2 24 i. Tính 3ab+
4. A. 10 B. 7 C. 6 D. 5. Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho a =( −1; 0;1) và b = (1;0;0) . Góc giữa hai vec tơ a và b bằng A. 300 B. 600 C. 450 D. 1350 1 Câu 32: Cho hàm số fx( ) xác định trên \2{ } thoả mãn fx′( ) =, f( 1) = 2021, f( 3) = 2022. x − 2 Tính Pf=(40) − f( ) A. P = ln 2 B. P = 4 C. P =1 D. P = ln 4041. Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 3; 2 ) . Gọi MNP,, lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,, Oy Oz . Phương trình mặt phẳng (MNP) là xyz A. xyz++−=3 2 14 0 . B. 6xyz+ 2 + 3 −= 60. C. ++=0 . D. 6xyz+ 3 + 2 −= 60. 132 x −1 Câu 34: Cho Ix= d , bằng cách đặt tx=−+2 23 x ta có ∫ 2022 ( xx2 −+23) 1 1 1 1 It= d . I= dt . It= d . It= d . A. ∫ 2022 B. ∫ 2022 C. ∫ 2022 D. ∫ 2022 23(t + ) 2t (t + 3) t xt=22 − xxx−+−118  Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = = và dy2 :1 = + t. Tính 2− 13  zt=11 − 5 khoảng cách giữa d1 và d2 . 5 10 1 A. . B. . C. 5 . D. . 2 14 2 Câu 36: Trong không gian Oxyz , tính thể tích khối hộp ABCD. A′′′′ B C D biết A(2; 2;1) , C (3; 3;1) , A′(2; 2; 4) , B′(3;2;4) . A. 3. B. 4 . C. 5. D. 2 . Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn zi(17+=+) i. Mô – đun của số phức z bằng A. 40 . B. 5. C. 2 10 . D. 25 . 1 Câu 38: Tìm nguyên hàm của hàm số fx( ) = 2x 1 1 A. dx= x + C . B. dx=2 x + C . ∫ 2x ∫ 2x 1 1 C. dx=2 x + C . D. dx=22 x + C . ∫ 2x ∫ 2x Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi MNP,, lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1=−=+=2 3; iz 231 2 iz ; 4. Tìm số phức z4 có điểm biểu diễn là Q sao cho MNPQ là hình bình hành
5. 22 2 2 Có z1+= z 2( z 1 + z 2) −2 zz 12 =− 3 2.3 = 3. Câu 9: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số fx()= e3x 1 A. fx( )d x= e3x + C. B. fx( )d x= 3 e3x + C. ∫ 3 ∫ e31x+ C. fx( )d x= + C. D. fx( )d xe=3x + C. ∫ 31x + ∫ Lời giải Chọn A x+217 yz −+ Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = . Véc-tơ nào dưới đây không 13− 5 phải là một véc-tơ chỉ phương của d ?        A. u4 = (1;3;5). B. u3 =(1; 3; − 5) . C. u1 =−−( 1; 3; 5) . D. u2 =(2;6; − 10) . Lời giải Chọn A   Đường thẳng d có 1 VTCP u3 =(1; 3; − 5) .  Ta có: u1 =−−( 1; 3; 5) =− 1(1; 3; − 5) là 1 1 VTCP của d .   u2 =(2;6; −= 10) 2(1;3; − 5) là 1 1 VTCP của d . Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai? 1 ex+1 A. dx= ln xC + . B. exxd = + C. ∫ x ∫ x +1 1 C. dx= tan xC + . D. cosxx d= sin x + C. ∫ cos2 x ∫ Lời giải Chọn B Ta có: ∫ exxxd= e + C. Câu 12: Cho hàm số y= f(), x y = gx() liên tục trên đoạn [;]ab. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(), x y = gx() và các đường thẳng x= ax; = b là b b A. S=∫ f() x − gx ()d x. B. S=∫ (() f x − gx ())d x. a a b b C. S=∫ (() f x − gx ())d x. D. S=∫( f() x − gx ()d) x. a a Lời giải Chọn A Câu 13: Tìm phần ảo của số phức z , biết (13−=+iz) i. A. 1. B. −1. C. 2 . D. −2 . Lời giải Chọn C Ta có
6. 3+ i (1−iz) = 3 +⇔ i z = =+12 i. 1− i Vậy phần ảo của số phức z là 2 . 3 5 ∫ fx( )d5 x= 5 ∫ fx( )d x Câu 14: Nếu 1 , ∫ fx( )d2 x= − thì 1 bằng 3 A. 3. B. 7 . C. −2 . D. −7 . Lời giải Chọn A 5 35 Ta có ∫∫∫fx( )d x= fx( ) d x + fx( ) d5 x = +−( 23) = . 1 13 Câu 15: Cho hai số thực x và y thỏa mãn 2xy++( xy +− 4) ixy =+++ 37( − yi) . Khi đó xy+ bằng A. 4 . B. 6 . C. 5. D. 7 . Lời giải Chọn D Theo bài: 2xy++( xy +− 4) ixy =+++ 37( − yi) . 2xyxy+=++ 33  x = x = 3 Khi đó, ta có ⇔⇔ . xy+−=−47 y  2 y = 8 y = 4 Vậy xy+=7 . Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức zi=−+43 là A. N (4;− 3) . B. M (−4;3) . C. P(−−4; 3) . D. Q(4;3) . Lời giải Chọn B Điểm biểu diễn số phức zi=−+43 là M (−4;3) . 2 2 2 fx d3 x gx d7 x f x 3d gx x Câu 17: Cho 0 và 0 , khi đó 0 bằng A. 10. B. 16. C. 18. D. 24. Lời giải Chọn D 2 22 f x 3 gx d x f x d x 3. gx d x 3 3.7 24. 0 00 2 Câu 18: Phương trình zz 2 20 có các nghiệm phức zz12, . Tính Fz 12 z A. 2 . B. 22. C. 1. D. 2 Lời giải Chọn B zi 1 zz2 2 20 1 zi2 1 Fz 12 z 2 2 22.
7. Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có AB 3; 2;5 , 2;1; 3 và C 5;1;1 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là A. G (2;0;1). B. G (2;0;− 1) . C. G (2;1;− 1) . D. G (−2;0;1) Lời giải Chọn A AB 3; 2;5 , 2;1; 3 và C 5;1;1 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là G 2;0;1 . Câu 20: Cho hai số phức z12 2 iz , 13 i. Mô – đun của số phức zz12 2 bằng A. 65 . B. 50 . C. 26 . D. 41 . Lời giải Chọn D zz12 2 2 i 21 3 i 4 5. i Do đó zz12 2 4 5 i 41 . Câu 21: Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (Cy ) := ln x, trục Ox và đường thẳng xe= là A. Ve=π ( − 2) . B. Ve=π ( + 1) . C. Ve=π ( − 1) . D. Ve= π . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm lnxx=⇔= 0 1. e Thể tích khối tròn xoay cần tìm là Vx= π ∫ ln2 (x) d . 1 2  2 e ee ux= ln du= ln xx d e Đặt ⇒ x . Do đó ln22 (x) dxx=−=− ln x 2 lnx d xe 2 lnx d x.  ∫1 ∫∫ ddvx= 1 11 vx=  1 ee ux= ln dux= d ee Đặt ⇒ . Do đó ln(x) dx= x ln x − 1 d xex =− =−−= e( e 1) 1. x ∫∫11 ddvx= vx= 11 e Vậy V= ππ∫ ln2 (x) d xe= ( − 2) . 1 Câu 22: Trong tập hợp các số phức , xét phương trình zz2 −4 3 += 16 0 (1) . Kí hiệu AB, là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các nghiệm của phương trình (1). Tính số đo góc AOB . A. 90 . B. 30 . C. 120 . D. 60 . Lời giải Chọn D zi=23 + 2 zz2 −4 3 +=⇔ 16 0  . zi=23 − 2 Ta có AB(2 3;2) ,( 2 3;− 2) đối xứng nhau qua trục hoành.
8. Gọi H là trung điểm AB nên H (2 3;0) . AH 21 Xét tam giác OAH vuông tại H có tan AOH ===⇒= AOH 30 . OH 23 3 Tam giác OAH cân tại O có OH là đường cao đồng thời là đường phân giác. AOB=2 AOH = 60 . Câu 23: Xét phương trình z2 + bz += c 0 , bc, ∈ . Biết số phức zi=3 − là một nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức Pbc= + . A. P =16. B. P =12. C. P = 8 . D. P = 4 . Lời giải Chọn D zi=3 − là một nghiệm của phương trình thì zi=3 + cũng là một nghiệm của phương trình. Theo Viete −=bii33 −+ += 6 ⇔ b =− 6; c=(3 − ii )(3 += ) 10 . Vậy Pbc= + =−+6 10 = 4 . 8 2 ∫ fx( ) d x= 24 ∫ fxx(4 ) d Câu 24: Cho 0 . Tính 0 . A. 6 . B. 36. C. 12. D. 76 . Lời giải Chọn A Đặt t=44 x ⇒= dt dx . Đổi cận: với xt=00 ⇒=, xt=28 ⇒=. 2811 8 1 Do đó ∫∫fxx(4 ) d= ft ( ) dt = ∫ fxx ( ) d = .24 = 6 . 0044 0 4 Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng yx= 2 và đồ thị hàm số yx=2 −+ x2. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. − . 8 6 7 6 Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm: 22xx=2 −+ x ⇔xx2 −3 += 20 x =1 ⇔  x = 2 2 1 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=∫ x2 −+32 x dx = . 1 6 1 Câu 26: Biết rằng tích phân I=+=+∫(21 x) ex dx a be , tích ab bằng 0 A. 20. B. −1. C. 1. D. −15 . Lời giải Chọn C
9. u=+=21 x du 2 dx ⇔ Đặt xx dv= e dx v = e 1 1 11 ⇒=+−=+−=+I(21 xe) x 2 edxxe x( 21) xx 2 e 1 e 0∫ 00 0 Vậy ab =1. Câu 27: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Px) :+ 2 y − 2 z −= 80 cắt mặt cầu 2 22 (Sx) :( −+−+−= 1) ( y 2) ( z 3) 25 theo một đường tròn có diện tích là A. 16π . B. 20π . C. 9π . D. 25π . Lời giải Chọn A Mặt cầu (S ) có tâm IR(1;2 ;3) ,= 5 1.1+−− 2.2 2.3 8 h= dI,3( P) = = ( ) 2 12+2 +−( 2) Bán kính đường tròn giao tuyến là: r= Rh22 −=4 Vậy diện tích hình tròn là: Sr=ππ2 =16 . xy−+11 z Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆==: và mặt phẳng 122− (Px) :− 2 y + 2 z += 20. Gọi ϕ là góc giữa ∆ và (P) . Tính sinϕ . 1 5 7 1 A. sinϕ = . B. sinϕ = . C. sinϕ = . D. sinϕ = . 9 9 9 3 Lời giải Chọn C 1.1− 2.2 +− 2.( 2) 7 sinϕ = = . 22 1+ 222 +−( 2) .1 +−( 2) + 2 9 Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn zz= là A. Tập rỗng B. Trục Oy C. Tập hợp chỉ gồm điểm O D. Trục Ox Lời giải Chọn D Gọi z=+∈ x yi,,( x y ) . Ta có z=⇔+ z x yi =− x yi ⇔= y 0. Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là trục Ox . Câu 30: Cho số phức z=+∈ a bi,,( a b ) thoả mãn zz+=−2 24 i. Tính 3ab+ A. 10 B. 7 C. 6 D. 5. Lời giải Chọn C  2 32a = a = Ta có z+2 z =−⇔++ 24 i a bi 2( a − bi) =−⇔ 24 i 3 a −=−⇔ bi 24 i  ⇔ 3 . −=−b 4 b = 4 Vậy 36ab+=.
10. Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho a =( −1; 0;1) và b = (1;0;0) . Góc giữa hai vec tơ a và b bằng A. 300 B. 600 C. 450 D. 1350 Lời giải Chọn D ab.−− 11 Ta có cosab ; == =⇒=ab; 1350 . ( ) 22 ( ) ab. (−101.100) ++22( ) ++ 2 2 2 1 Câu 32: Cho hàm số fx( ) xác định trên \2{ } thoả mãn fx′( ) =, f( 1) = 2021, f( 3) = 2022. x − 2 Tính Pf=(40) − f( ) A. P = ln 2 B. P = 4 C. P =1 D. P = ln 4041. Lời giải Chọn C 1 Ta có: fx( ) = f′( x)d x = d x = ln x −+ 2 C, với mọi x ∈ \2{ } . ∫∫x − 2 + Xét trên (2; +∞) . Ta có f (3) = 2022 , suy ra C = 2022 . Do đó, fx( ) =ln x −+ 2 2022, với mọi x ∈(2; +∞) . Suy ra f (4) = 2022 + ln 2 . + Xét trên (−∞;2) . Ta có f (1) = 2021, suy ra C = 2021. Do đó, fx( ) =ln x −+ 2 2021, với mọi x ∈( −∞;2) . Suy ra f (0) = 2021 + ln 2. Vậy ff(4) −=( 01) . Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 3; 2 ) . Gọi MNP,, lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,, Oy Oz . Phương trình mặt phẳng (MNP) là A. xyz++−=3 2 14 0 . B. 6xyz+ 2 + 3 −= 60. xyz C. ++=0 . D. 6xyz+ 3 + 2 −= 60. 132 Lời giải Chọn B MNP,, lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,, Oy Oz nên M(1;0;0) , NP( 0;3;0) ,( 0;0; 2) . xyz Phương trình mặt phẳng (MNP) :+ + =⇔ 162360x + y + z −=. 132 x −1 Câu 34: Cho Ix= d , bằng cách đặt tx=−+2 23 x ta có ∫ 2022 ( xx2 −+23) 1 1 It= d . I= dt . A. ∫ 2022 B. ∫ 2022 23(t + ) 2t 1 1 It= d . It= d . C. ∫ 2022 D. ∫ 2022 (t + 3) t
11. Lời giải Chọn B 1 Đặt tx=2 −2 x +⇒ 3 d t =( 2 x − 2d) x ⇒ d t =( x − 1d) x. 2 1 Suy ra I= dt . ∫ 2t 2022 xt=22 − xxx−+−118  Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = = và dy2 :1 = + t. Tính 2− 13  zt=11 − 5 khoảng cách giữa d1 và d2 . 5 10 1 A. . B. . C. 5 . D. . 2 14 2 Lời giải Chọn C xxx−+−118   d : = = đi qua điểm M (1;− 1; 8 ) và có vectơ chỉ phương u =(2; − 1; 3 ) . 1 2− 13 1 xt=22 −    dy2 :1 = + t đi qua điểm N (2;1;11) và có vectơ chỉ phương u2 =−−( 2;1; 5 ) .  zt=11 − 5     = = Ta có uu12;( 2; 4;0) 2( 1; 2;0) . Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và song song với d2 . Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;− 1; 8 ) , có vectơ pháp tuyến n = (1; 2; 0 ) . Phương trình mặt phẳng (P) là: xy+2 += 10. 2++ 2.1 1 Ta có ddd( 12;;) = dd( 2( P)) = dN( ;( P)) = = 5. 120222++ Cách 2:         = = Ta có u12; u ( 2; 4;0) ;MN ( 1; 2;3) .         = ≠⇒ Ta có u12; u . MN 10 0d12 , d chéo nhau.          u12;. u MN 10 Ta có ddd( 12;5) =     = = .  222++ uu12; 240 Câu 36: Trong không gian Oxyz , tính thể tích khối hộp ABCD. A′′′′ B C D biết A(2; 2;1) , C (3; 3;1) , A′(2; 2; 4) , B′(3;2;4) . A. 3. B. 4 . C. 5. D. 2 . Lời giải Chọn A
12. Cách 1:     ′′ ′′ Ta có AA=(0;0;3) , AB =⇒==( 1;0;3) AA ; AB ( 0;3;0) 3( 0;1;0) .   = = ′′= Ta có SABB′′ A2 S∆ AA′′ B  AA ;3 AB . Mặt phẳng ( ABB′′ A ) đi qua điểm A(2; 2;1) , nhận n = (0;1; 0 ) là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng ( ABB′′ A ) là y −=20. Ta có d( C;1( ABB′′ A )) = . Suy ra VABCD. A′ B ′ C ′′ D ′= S ABB ′ A ′ .d( C ;( ABB′′ A )) = 3. Cách 2:   Ta có AA′′=(0;0;3) , BB =−−−( 3 xB ; 2 y BB ; 4 z ) . 30−=xxBB = 3    Ta có BB′′= AA ⇒−=⇔2 yBB 0 y =⇒ 2 B( 3; 2;1) .  43−=zzBB = 1   Ta có AB=(1;0;0) , DC =−−−( 3 xD ;3 y DD ;1 z ) . 31−=xxDD = 2    Ta có DC= AB ⇒−3 yDD =⇔ 0 y =⇒ 3 D( 2; 3;1) .  10−=zzDD = 1        ′ Ta có AD =⇒=⇒(0;1;0) AB ; AD ( 0;0;1) AB ; AD AA = 3 .    = ′ = Suy ra VABCD. A′ B ′ C ′′ D ′ AB;. AD AA 3. Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn zi(17+=+) i. Mô – đun của số phức z bằng A. 40 . B. 5. C. 2 10 . D. 25 . Lời giải Chọn B Ta có: z(1+ i) = 7 +⇔ iz = 43 − iz ⇒ = 5 1 Câu 38: Tìm nguyên hàm của hàm số fx( ) = 2x 1 1 A. dx= x + C . B. dx=2 x + C . ∫ 2x ∫ 2x 1 1 C. dx=2 x + C . D. dx=22 x + C . ∫ 2x ∫ 2x Lời giải
13. Chọn C 1 11 Ta có: dx= dx=2 x + C ∫∫22xx Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi MNP,, lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1=−=+=2 3; iz 231 2 iz ; 4. Tìm số phức z4 có điểm biểu diễn là Q sao cho MNPQ là hình bình hành A. zi4 =55 − . B. zi4 =−−1 . C. zi4 =7 − . D. zi4 =35 + . Lời giải Chọn A Theo giả thiết: M(2;− 3) , NP(1;2) , (4;0)   41−=−xxQQ = 5 Do MNPQ là hình bình hành nên: MN=⇔⇔ QP  −= =− 05yyQQ 5 Vậy zi4 =55 − x +1 Câu 40: Biết: dx= aln x −+ 1 b ln x − 2 + C , với ab, nguyên. Tính giá trị T= ab + ∫ xx2 −+32 A. T = 5 . B. T = 1. C. T = 6 . D. T = 0 . Lời giải Chọn B x +1 23 Ta có: dx = − +dx =−2ln x −+ 1 3ln x − 2 + C ∫∫xx2 −+32 x − 1 x − 2 Nên: a=−2, b =⇒+=3 ab 1. Câu 41: Cho hai số phức zz12, thỏa mãn z11−−22 iz = + 2 và zi2 ++=45. Giá trị nhỏ nhất của Pzz=12 + bằng 25 35 A. . B. . C. 5 . D. 25. 5 5 Lời giải Chọn B Gọi M( xy; ) là điểm biểu diễn của số phức z1 =+∈ x yi( x, y ) 2222 Ta có z11−−22 i = z + 2 ⇔( x − 2) +( y − 2) =( x + 2) + y ⇔ 2 xy + −= 10
14. Suy ra tập hợp điểm M thuộc đường thẳng d:2 xy+ −= 1 0. Gọi N( ab; ) là điểm biểu diễn của số phức −=+z2 a bi( a, b ∈ ) 22 Ta có zi22+4 + = 5 ⇔− zi − 4 − = 5 ⇔( a − 4) +( b − 15) = 22 Suy ra tập hợp điểm N thuộc đường tròn (Cx) :( − 4) +−( y 15) = có tâm I (4;1) , bán kính R = 5 . 35 Khi đó P= z + z = MN ≥− R d( I, d) ⇒≥ P 12 5 35 P = khi N là hình chiếu của I lên đường thẳng d và điểm min 5  R   5  M∈( C) : IM = IN ⇔= IM IN d( Id,8) Gọi d1 là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng d ⇒dx1 : − 2 y −= 20  4 x = 2xy+ −= 10  5 43 ⇒ tọa độ điểm N thỏa mãn hệ phương trình ⇔ ⇒−N ; xy−2 −= 20 3 55  y = −  5 43 ⇒zi =−+ 2 55 5 5 ⇒−M 2; ⇒=−zi1 2 . 3 3 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD , tọa độ ba đỉnh A(2;1;1) , B(0; 2;− 1) , C( 1;6;0) , D( abc ; ; ) . Biết hình thang có diện tích bằng 62. Tính S=++ abc. A. S = 8. B. S = 6 . C. S = 7 . D. S = 5. Lời giải Chọn A Ta có      AB =−−( 2;1; 2) ,AB = 3, BC =( 1; 4;1) ⇒AB , BC =( 9;0; − 9)    AB, BC 92 ⇒=d( C, AB)  ==32 AB 3 (3++BC) .3 2( 3BC) .3 2 Khi đó diện tích hình thang đã cho là S = ⇔62 = ⇔=BC 1 22  5 a = −=2 3.( 1 −a)  3     17 ⇒ABDC =3 ⇔ 1 = 3.( 6 −b) ⇔ b = ⇒++= abc8 . 3 −=2 3.( −c)  2 c =  3
15. xyz−−−2 41 Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt cầu −11 1 (Sx) : 2++= y 22 z 4. Hai mặt phẳng phân biệt qua d , tiếp xúc với (S ) tại A và B . Đường thẳng AB đi qua điểm có tọa độ 14− 11− 2 222 12 A. 1; ; . B. ;; . C. ;; . D. 1; ; . 33 33 3 333 33 Lời giải Chọn D d B K I O A Gọi O(0;0;0) là tâm của mặt cầu (S ) , K là hình chiếu của O trên d . OK cắt AB tại trung điểm I của đoạn AB. Mặt phẳng (α ) qua O và vuông góc với d có phương trình là: −+xyz + =0. AB, ∈(α ) . Khi đó K là giao điểm của (α ) và d nên K (3; 3; 0) . AB⊥ d  −1   = = −  nên vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là uAB . ud , OK ( 1; 1; 2 ). AB⊥ OK 3 2 2 OA OI 2 2   22 Xét tam giác OAK vuông tại A : OA= OI. OK ⇒ = =⇒=OI OK =; ;0 . OK2 OK 9 9 33  2 xt= +  3  2 Phương trình đường thẳng AB:  y= − t .  3 zt= 2   1 12 Thay t = vào phương trình ()AB ta tìm được M 1; ; ∈( AB) 3 33 Câu 44: Cho hàm số fx( ) liên tục trên . Biết cos2 x là một nguyên hàm của hàm số f( xe) 2x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f′( xe) 2x là A. −+sin 2x 2cos2 xC +. B. sin 2x++ 2cos2 xC. C. sin 2x−+ 2cos2 xC. D. −−sin 2x 2cos2 xC +. Lời giải Chọn D
16. 22x ′ Từ giả thiết ta có ∫ f( x) e22x dx=cos x + C ' hay f( xe) =(cos x) = − sin 2 x. 22xx 2 x 2x 2 I=∫∫ f′( xedxe) =. dfx( ) = efx( ) −2 ∫ fxedx( ) =−−sin 2 x 2cos xC + . Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm AB(1;0;1) ,( 0;3;−− 1) , C( 21;0; 19) và mặt cầu 2 22 (Sx) :( −+−+−= 1) ( y 1) ( z 11) . Biết M( abc;;) thuộc mặt cầu (S ) sao cho biểu thức T=++32 MA2 MB 22 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của tổng abc++ là 12 14 A. abc++= . B. abc++= . C. abc++=0 . D. abc++=12. 5 5 Lời giải Chọn B    Gọi điểm I thoả mãn 3IA+ 2 IB +=⇒ IC 0 I ( 4;1; − 3 ) . Ta có mặt cầu (S ) có tâm J (1;1;1) và bán kính R =1.   2   22   Khi đó T=3 MA2 + 2 MB 22 + MC =3.( MI ++ IA) 2.( MI +++ IB) ( MI IC) =6MI2 +++ 32 IA 2 IB 22 IC Nhận xét: Biểu thức T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất do 32IA2++ IB 22 IC không đổi xt=13 +    Ta có JI =(3; 0; −⇒ 4) IJ : y = 1 .  zt=14 − Gọi M= IJ ∩( S ), do M∈⇒ IJ M(1 + 3 t ;1;1 − 4 t) . 2 1 81 29 Mặt khác MS∈( ) nên 25tt=⇒=± 1 . Vậy IJ cắt (S ) tại M1 ;1; và M 2 ;1; . 5 55 55 81 Ta có MI12=4; MI = 6 , do MI12< MI nên M ;1; 55 8 1 14 Khi đó a=, b = 1; c = ⇒++= abc . 55 5 x+−11 y z x − 1 yz Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng dd: = =,: = = . Đường 12−1 1 2 2 11 thẳng đi qua điểm A(−3;5;5) lần lượt cắt dd12, tại BC, . Độ dài BC là A. 32. B. 25. C. 19 . D. 19. Lời giải Chọn C Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(−3;5;5) lần lượt cắt dd12, tại BC, .  Giả sử B(−−1 a ;1 + a ;2 a) ; C( 1 + 2 bbb ; ; ), suy ra AB=(2 − a ;4 −+ a ;5 −+ 2 a) và  ACbbb=(4 + 2;5 −+ ;5 −+) .   Do ABC,, thẳng hàng nên AB= k AC
17.  2−=ak( 42 + b) a++42 k kb = 2 a = 1    Hay −+=−+⇔+−=4a k( 5 b)  a 541 k kb b =−.   −+ = −+ 25a+−= k kb 5 1  52ak( 5 b)  k =  2 Vậy BC(−2; 2; 2) ,( −−− 1; 1; 1) ⇒BC = 19 . Câu 47: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z4 là số thực và zi−−11 =? A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn B Đặt z=+∈ x yi, ( x, y ) . Khi đó, z222=−+ x y2 xyi ⇒ z4 có phần ảo là 2( x22− y) .2 xy nên z4 là số thực khi x = 0  y = 0 2( x22−=⇔ y) .2 xy 0  xy=  xy= − 22 Và zi−−1 =⇔ 1( x − 1) +( y − 11) =. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1;1) và bán kính R =1. Do đó, số các số phức z thoả đề là số nghiệm của các hệ x = 0 y = 0  22 (I),  22 (II), ( xy−1) +−( 11) = ( xy−1) +−( 11) = xy= xy= −  22 (III),  22 (IV). ( xy−1) +−( 11) = ( xy−1) +−( 11) = Dựa vào hình trên, ta có 4 số phức thoả đề. xx2 khi ≥ 2 3 y= fx( ) =  I= f( x2 +1d) xx 2+<xx khi 2 ∫ Câu 48: Cho hàm số  . Tính tích phân 0 . 37 37 133 133 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 6 3 12 6 Lời giải
18. Chọn C Đặt t= x2 +⇒1 d t = 2d xx 44d1t ⇒=I∫∫ ft( ) = fx( )d x 1122 1124 2 4 =∫∫fxx( )d + fxx( ) d = ∫( 2d ++ xx) ∫ xx2 d 2212 1 2 2 4 1 xx23133 =2x ++=. 2 2 3 12 1 2 1 3 fx( ) Cho hàm số fx liên tục trên thỏa mãn f x2 +−3 xx d = 64 và dx = 16 . Tính Câu 49: ( ) ∫ ( ) ∫ 2 −1 1 x 3 tích phân ∫ fx( )d x. 1 A. 20 . B. 60 . C. 40 . D. 80 Lời giải Chọn D 1 ∫ f( x2 +−3 xx) d = 64 −1 xt=−⇒=13 Đặt tx=2 +−3 x, đổi cận   xt=⇒=11 2 2 2 22 3−−t 13 Ta có t= x +−⇔3 x t + 2 tx + x = x +⇔ 3 x = ⇒dx = + 1dt 22tt2 1313 1 3fx( ) Khi đó f x2 +−3 x d x = ft +1 d t = 3 +fxd x = 64 ∫∫( ) ( ) 22 ∫( ) −1122tx 1 33fx( ) 3 ⇔+3 fxd x =⇔= 128 fx d x 80 . ∫∫2 ( ) ∫( ) 11x 1  ax+ b,0 ≤≤ x 1  Câu 50: Cho hàm số f( x) = cx2 + dx + e,1 << x 5 có đồ thị như hình bên.   kx+ m,5 ≤≤ x 6 6 Tính tích phân I= ∫ fx( )d x. 0 25 16 17 26 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = 3 3 3 3
19. Lời giải Chọn C Cách 1: Từ hình vẽ ta thấy được: 6 Giá trị tích phân I= ∫ fx( )d x sẽ bằng diện tích đa giác ABOCDE trừ cho phần diên tích của 0 parabol bên trong đa giác ABOCDE . 6 2 17 Khi đó I=∫ fx( )d x =−= 11 .2.4 . 0 33 Cách 2: Với 01≤≤x đồ thị hàm số fx( ) là một đường thẳng qua hai điểm (0;1) và (1; 2 ) Với 15<<x đồ thị hàm số fx( ) là một parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm x = 3 và limfx( ) = 2 x→1+ Với 56≤≤x đồ thị hàm số fx( ) là một đường thẳng qua hai điểm (5; 2) và (6;1)   xx+1 ,0 ≤≤ 1  19 Nên fx( ) = x2 −3 x + ,1 << x 5 22   −+xx7 ,5 ≤ ≤ 6  Khi đó 156 1 5 6 12 9 17 Ifxxfxxfxx=∫∫∫∫( )ddd1d3d7d +( ) +( ) =( x +) x + ∫ xx − + x + ∫( −+ x) x = . 015 0 1225 3 HẾT