Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 23 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 23 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 23 (100TN) Câu 1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx( ) = cos2 x là xxcos sin 2x xxsin 2 xxsin 2 A. −+C . B. xC++. C. ++C . D. −+C . 24 2 24 24 Câu 2: Tìm số phức liên hợp của số phức zi=52 − . A. zi=52 + . B. zi=−−52. C. zi=25 − . D. zi=25 + . Câu 3: Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. ∫ (2xx3 −− 2 4d) x. B. ∫ (−+2xx 2d) . C. ∫ (−2xx2 ++ 2 4d) x. D. ∫ (2xx− 2d) . −1 −1 −1 −1 Câu 4: Cho hai hàm số y= fx( ) và y= gx( ) liên tục trên đoạn [ab; ] . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x= ax, = b được tính theo công thức b b A. S=∫ f( x) − gx( ) d x. B. S=π ∫ f( x) − gx( ) d x. a a b b C. S=π ∫  f( x) − gx( ) d x. D. S=∫  f( x) − gx( ) d x. a a Câu 5: Gọi A(−1; 3 ) và B(4;5) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 và z2 . Tìm số phức wz=2312 − z A. wi=−+14 9 . B. wi=14 + 9 . C. wi=−−14 9 . D. wi=−+14 9 . Câu 6: Cho hai số phức zi=13 − và wi=2 + có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là A và B . Tính độ dài AB . A. AB = 17 . B. AB =17 . C. AB = 5 . D. AB = 5 . Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2;0;− 1) và có một vectơ chỉ phương a =(4; − 6; 2). Phương trình tham số của ∆ là
2. xt=22 + xt=22 + xt=−+24 xt=42 +     A. yt= 3 . B. yt= −3 . C. yt= −6 . D. y = −6 .     zt=−+1 zt=−+1 zt=12 + zt=2 − Câu 8: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc vo =15 m / s thì tăng tốc với gia tốc at( ) = t22 + 4 t (m/s ) . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 67,25 m . B. 70,25 m . C. 68,25 m . D. 69,75 m . 5 2 Câu 9: Cho biết ∫ fx( )d x= 15 . Tính giá trị của Pf=∫ (5 −+ 3 x) 7d x? −1 0 A. P = 37 . B. P =15. C. P = 27 . D. P =19. Câu 10: Xét các số phức z thỏa mãn ( z+−33 iz)( ) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 32 9 A. . B. 3. C. 32. D. . 2 2 Fx( ) fx( ) = e2x F (01) = Câu 11: Nguyên hàm của hàm số và thoả mãn là e2x 1 A. Fx( ) = ex . B. Fx( ) =21 e2x − . C. Fx( ) = + . D. Fx( ) = e2x . 22 b Câu 12: Cho hàm số fx( ) liên tục trên đoạn [ac; ] có đồ thị như hình vẽ, biết ∫ fx( )d2 x= − và a c ∫ fx( )d3 x= . Tính diện tích S của hình phẳng được tô đậm. b A. S = 5. B. S = 7 . C. S =1. D. S = 3. Câu 13: Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= fx( ) , trục Ox và hai đường thẳng x= ax, = b ( a < b) quanh trục Ox được tính theo công thức b b b b A. V= π ∫ f2 ( xx)d . B. V= ∫ f2 ( xx)d . C. V= ∫ fxx( )d . D. V= π ∫ fxx( )d . a a a a
3. y= fx( ) fx′( ) =21 x − f (01) = 1 Câu 14: Cho hàm số thoả và . Tính ∫ fxx( )d . 0 5 1 5 A. . B. − . C. 2 . D. − . 6 6 6 2 Câu 15: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2zz− 6 += 50. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức iz0 ? 13 31 31 13 A. M 4 − ; . B. M 3 ;− . C. M 2 ; . D. M1 ; . 22 22 22 22 Câu 16: Gọi Fx( ) là một nguyên hàm của hàm số f'( xe) 3x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 11 A. f( xe) 33xx dx= f( xe) ++ F( x) C. B. f( xe) 33xx dx= f( xe) ++ F( x) C. ∫ 33 ∫ 11 C. f( xe) 33xx dx= f( xe) −+ F( x) C. D. f( xe) 33xx dx= f( xe) −+ F( x) C. ∫ 33 ∫ fx′( ) = x +1 1 f (0) Câu 17: Cho và f (3) = . Tính 3 10 11 14 −13 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(−2; 2;3) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 6xyz− 2 − 2 −= 1 0. B. 3xyz++−= 6 0. C. 3xyz−−= 0. D. xy++2 z −= 6 0. 2 2 Câu 19: Cho tích phân Ixx= ∫ .ex d nếu ta đặt tx= 2 , thì tích phân đã cho trở thành tích phân nào trong 1 các tích phân sau? 1 4 2 4 1 2 A. ∫ edt t . B. ∫ edt t . C. ∫ edt t . D. ∫ edt t . 2 1 1 1 2 1 xy−−+121 z Câu 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = ; 1 2−− 21 xt=  O dy2 : = 0. Mặt phẳng (P) qua d1 và tạo với d2 một góc 45 . và nhận n= (1; bc ; ) làm vectơ  zt= − pháp tuyến. Xác định tích bc. A. −8 . B. 8 . C. −4 . D. 4 . Câu 21: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxz) có phương trình là A. xyz++=0 . B. z = 0. C. y = 0. D. x = 0 .
4. Câu 22: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường yx=1 − 2 , y = 0 quanh trục Ox . 4π 16 4 16π A. . B. . C. . D. . 3 15 3 15 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z + 2 x − 2 z −= 70. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 15 . B. 3. C. 9. D. 7 . ln22xx− 5 Câu 24: Biết rằng dx= alnb x ++ kx2 C (với, cho mặt cầu abk,, ∈ và C là hằng số). Tính ∫ x abk++2 ta được 115 105 5 35 A. . B. . C. . D. − . 12 12 6 12 Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0;1; 0 ), C (0;0;1) , D(−−2;1; 1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 1 1 A. . B. 1. C. . D. 2 . 2 3 1 2 3 Câu 26: Cho ∫ fx( )d1 x= và ∫ fx(2−= 1d) x 6. Tính tích phân ∫ fx( )d x bằng: 0 1 0 A. 5. B. 7 . C. 13. D. 4 . 2 4 Câu 27: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn (2+iz) +− 34 i = . 1+ i 2 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 25 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) :2xyz− 3 − 4 += 1 0. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của (α ) A. n =(2; 3; − 4) . B. n =(2; − 3; 4) . C. n =( −2; 3;1) . D. n =( −2; 3; 4) . 2 2 1 Câu 29: Cho hàm số fx( ) thỏa mãn ∫ fx( )d1 x= và ∫ fx( ) −=1d x 1. Khi đó ∫ fx( )d x bằng 0 1 0 A. 2 . B. 0 . C. −1. D. 1. Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn: (23+iz) −+( 12 iz) =− 7 i. Tính mô-đun của số phức wz=4 −− 38 i A. 12. B. 10. C. 13. D. 15 2 Câu 31: Cho tích phân I= xxedx , nếu đặt u= xv;d = ex d x thì đẳng thức nào sau đây đúng? ∫1
5. b b A. S=∫ f( x) − gx( ) d x. B. S=π ∫ f( x) − gx( ) d x. a a b b C. S=π ∫  f( x) − gx( ) d x. D. S=∫  f( x) − gx( ) d x. a a Lời giải Chọn A b Diện tích hình phẳng là S=∫ f( x) − gx( ) d x. a Câu 5: Gọi A(−1; 3 ) và B(4;5) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 và z2 . Tìm số phức wz=2312 − z A. wi=−+14 9 . B. wi=14 + 9 . C. wi=−−14 9 . D. wi=−+14 9 . Lời giải Chọn C Ta có z1=−+1 3 iz , 2 =+⇒= 4 5 i w 2 z12 − 3 z =−− 14 9 i. Câu 6: Cho hai số phức zi=13 − và wi=2 + có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là A và B . Tính độ dài AB . A. AB = 17 . B. AB =17 . C. AB = 5 . D. AB = 5 . Lời giải Chọn A 22 Ta có AB(1;− 3) , (2;1) ⇒AB =(2 − 1) ++( 1 3) = 17 . Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2;0;− 1) và có một vectơ chỉ phương a =(4; − 6; 2). Phương trình tham số của ∆ là xt=22 + xt=22 + xt=−+24 xt=42 +     A. yt= 3 . B. yt= −3 . C. yt= −6 . D. y = −6 .     zt=−+1 zt=−+1 zt=12 + zt=2 − Lời giải Chọn B ∆ có một vectơ chỉ phương a =−=−(4; 6; 2) 2( 2; 3;1) và đi qua điểm M (2;0;− 1) có phương xt=22 +  trình là: yt= −3 .  zt=−+1 Câu 8: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc vo =15 m / s thì tăng tốc với gia tốc at( ) = t22 + 4 t (m/s ) . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
6. A. 67,25 m . B. 70,25 m . C. 68,25 m . D. 69,75 m . Lời giải Chọn D 1 Ta có: vt( ) =( t2 +4d t) t = t32 ++ 2 t C. ∫ 3 1 Mà vC(0) = 15 ⇒= 15 nên vt( ) = t32 ++2 t 15 . 3 3 1 32 Quãng đường cần tính là: S=∫ tt ++2 15 d t = 69,75 (m) . 0 3 5 2 Câu 9: Cho biết ∫ fx( )d x= 15 . Tính giá trị của Pf=∫ (5 −+ 3 x) 7d x? −1 0 A. P = 37 . B. P =15. C. P = 27 . D. P =19. Lời giải Chọn D Đặt t=−⇒=−53d3d xt x. 2 −121 1 Khi đó: P=∫ f(5 −+ 3 x) 7 d x =− ∫∫ ft( )d t + 7d x=−−.( 15) += 14 19 . 0 503 3 Câu 10: Xét các số phức z thỏa mãn ( z+−33 iz)( ) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 32 9 A. . B. 3. C. 32. D. . 2 2 Lời giải Chọn A Đặt z=+∈ x yi; x, y . Ta có:( ziz+3)( −=−+ 3) ( xyiixyi 3 )( +−=+− 3) [ x (3 yix ) ][( −+ 3) yi ] =+−−+xy223 xy 3 (3 xy +− 3 9) i. Do ( z+−33 iz)( ) là số thuần ảo nên xy22+−−=33 xy 0. 33 32 Vậy tập hợp biễu diễn số phức z là một đường tròn tâm I ; ; bán kính R = . 22 2 Fx( ) fx( ) = e2x F (01) = Câu 11: Nguyên hàm của hàm số và thoả mãn là e2x 1 A. Fx( ) = ex . B. Fx( ) =21 e2x − . C. Fx( ) = + . D. Fx( ) = e2x . 22 Lời giải Chọn C
7. 1 Fx( ) = fx( )dd x = e22xx x = e + C. ∫∫2 11 F(01) =⇔ eC0 +=⇔= 1 C . 22 e2x 1 Vậy Fx( ) = + . 22 b Câu 12: Cho hàm số fx( ) liên tục trên đoạn [ac; ] có đồ thị như hình vẽ, biết ∫ fx( )d2 x= − và a c ∫ fx( )d3 x= . Tính diện tích S của hình phẳng được tô đậm. b A. S = 5. B. S = 7 . C. S =1. D. S = 3. Lời giải Chọn A c bc S=∫∫∫ f( x) dx = f( x) dx + f( x) dx a ab bc =−∫∫f( x) dx + f( x) dx =−−( 2) + 35 = . ab Câu 13: Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= fx( ) , trục Ox và hai đường thẳng x= ax, = b ( a < b) quanh trục Ox được tính theo công thức b b b b A. V= π ∫ f2 ( xx)d . B. V= ∫ f2 ( xx)d . C. V= ∫ fxx( )d . D. V= π ∫ fxx( )d . a a a a Lời giải Chọn A Lý thuyết. y= fx( ) fx′( ) =21 x − f (01) = 1 Câu 14: Cho hàm số thoả và . Tính ∫ fxx( )d . 0 5 1 5 A. . B. − . C. 2 . D. − . 6 6 6 Lời giải Chọn A fx( ) =∫∫ f′( xx)d =( 2 x − 1d) x = x2 −+ xC
8. f(01) =⇔ 0022 −+C =⇔ 1 C =⇒ 1 fx( ) = x −+ x1 1 11 32 2 xx 5 Vậy fxx( )d =( x −+=−+= x1d) x x . ∫∫ 32 6 00 0 2 Câu 15: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2zz− 6 += 50. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức iz0 ? 13 31 31 13 A. M 4 − ; . B. M 3 ;− . C. M 2 ; . D. M1 ; . 22 22 22 22 Lời giải Chọn D  31 zi= + 2 22 31 13 2zz− 6 +=⇔ 50  ⇒=−⇒z i iz =+ i . 31 0022 22 zi= −  22 13 Vậy điểm biểu diễn của số phức iz0 là M1 ; . 22 Câu 16: Gọi Fx( ) là một nguyên hàm của hàm số f'( xe) 3x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 11 A. f( xe) 33xx dx= f( xe) ++ F( x) C. B. f( xe) 33xx dx= f( xe) ++ F( x) C. ∫ 33 ∫ 11 C. f( xe) 33xx dx= f( xe) −+ F( x) C. D. f( xe) 33xx dx= f( xe) −+ F( x) C. ∫ 33 ∫ Lời giải Chọn C Đặt: u= f( x) ⇒= du f'( x) dx 1 dv= e33xx dx ⇒= v e dx 3 1 1 11 f( xe) 3x dx= f( xe) 33 xx − e.' f( xdx) = f( xe) 3x −+ F( x) C ∫∫3 3 33 fx′( ) = x +1 1 f (0) Câu 17: Cho và f (3) = . Tính 3 10 11 14 −13 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D 3 3 ( x +1)2 21( x + )2 Ta có: fx( ) = x +1d x = + C = + C . ∫ 3 3 2
9. 123 1 f(3) =⇔ .42 +=⇔=− CC5. 33 3 2− 13 Vậy f (05) = −= . 33 Góp ý: Theo đề chụp thì bị lỗi fx( ) = x +1 . Xin phép được điều chỉnh Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(−2; 2;3) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 6xyz− 2 − 2 −= 1 0. B. 3xyz++−= 6 0. C. 3xyz−−= 0. D. xy++2 z −= 6 0. Lời giải Chọn C  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là AB =( −6; 2; 2) và đi qua trung điểm I (1;1; 2 ) của đoạn thẳng AB. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là: −6( x −+ 12) ( y −+ 12) ( z − 20) =⇔−+ 62203 x y + z =⇔ xyz −−= 0. 2 2 Câu 19: Cho tích phân Ixx= ∫ .ex d nếu ta đặt tx= 2 , thì tích phân đã cho trở thành tích phân nào trong 1 các tích phân sau? 1 4 2 4 1 2 A. ∫ edt t . B. ∫ edt t . C. ∫ edt t . D. ∫ edt t . 2 1 1 1 2 1 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có I= ∫ edx xx. 1 1 Đặt tx= 2 ⇒=dt 2d xx⇒=xxdd t. 2 Với xt=⇒=11 và xu=⇒=24. 1 4 Khi đó It= ∫ edt . 2 1 xy−−+121 z Câu 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = ; 1 2−− 21 xt=  O dy2 : = 0. Mặt phẳng (P) qua d1 và tạo với d2 một góc 45 . và nhận n= (1; bc ; ) làm vectơ  zt= − pháp tuyến. Xác định tích bc. A. −8 . B. 8 . C. −4 . D. 4 . Lời giải Chọn C  d1 có vec tơ chỉ phương là u1 =(2; −− 2; 1)   d2 có vec tơ chỉ phương là u2 =(1; 0; − 1)
10. Mặt phẳng (P) nhận n= (1; bc ; ) làm vectơ pháp tuyến và qua d1 nên  un1.=⇔− 0 22 b −= c 0( 1)   un 2 10+−c 2 2 Ta có sin(dP ; ) =  = = ⇒−1c = 1 + b22 + c ⇔+=bc2 02( ) 2 22 un2 . 21++bc 2 Thế (1) vào (2) bc=2; = − 2 Khi đó bc.4= − . Câu 21: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxz) có phương trình là A. xyz++=0 . B. z = 0. C. y = 0. D. x = 0 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng (Oxz) có hai vectơ không cùng phương là i = (1;0;0) và k = (0;0;1) . Suy ra mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến nik=∧=(0; − 1; 0 ) . Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến n =(0; − 1; 0 ) nên mặt phẳng (Oxz) có phương trình −1.yy =⇔= 0 0 . Câu 22: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường yx=1 − 2 , y = 0 quanh trục Ox . 4π 16 4 16π A. . B. . C. . D. . 3 15 3 15 Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm của hai đồ thị yx=1 − 2 và y = 0 là nghiệm của phương trình 10−xx2 =⇔=± 1. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường yx=1 − 2 , y = 0 quanh trục 1 2 16π Ox là V=−=π ∫ (1d xx2 ) . −1 15 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z + 2 x − 2 z −= 70. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 15 . B. 3. C. 9. D. 7 . Lời giải Chọn B Mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z + 2 x − 2 z −= 70 có a = −1, b = 0, c = −1, d = −7 . 22 Vậy mặt cầu (S ) có bán kính R =−++−−−=( 1) 02 ( 1) ( 73) .
11. ln22xx− 5 Câu 24: Biết rằng dx= alnb x ++ kx2 C (với, cho mặt cầu abk,, ∈ và C là hằng số). Tính ∫ x abk++2 ta được 115 105 5 35 A. . B. . C. . D. − . 12 12 6 12 Lời giải Chọn A ln22xx− 5 ln 2 x ln3x 5 Ta có dx= d x −= 5 xx d ln22 x d( ln x) −=−+ 5 xx d x C. ∫xx ∫ ∫∫ ∫ 32 ln22xx− 5 Theo bài dx= alnb x ++ kx2 C . ∫ x  1 a = 3 2  2 1 5 115 Suy ra b=33 ⇒ abk + + = ++− = . 3 2 12  5 k = −  2 Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0;1; 0 ), C (0;0;1) , D(−−2;1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng 1 1 A. . B. 1. C. . D. 2 . 2 3 Lời giải Chọn A    Ta có AB =( −1;1; 0) , AC =( −1; 0;1) , AD =−−( 3;1; 1) .        Suy ra AB, AC = ( 1;1;1) , AB, AC . AD = 1.( −+ 3) 1.1 + 1.( −=− 1) 3. 1   11 Vậy thể tích của tứ diện ABCD bằng V=  AB, AC . AD = .3 = . ABCD 662 1 2 3 Câu 26: Cho ∫ fx( )d1 x= và ∫ fx(2−= 1d) x 6. Tính tích phân ∫ fx( )d x bằng: 0 1 0 A. 5. B. 7 . C. 13. D. 4 . Lời giải Chọn C 21 3 11333 ∫fx(21d−) x = ∫ fx( 21d21 −) ( x −=) ∫∫∫ ftt( ) d = fxx( ) d ⇒ fxx( ) d12 = 12 1 22111 3 13 Khi đó ∫∫∫fx( )d x= fx( ) d x + fx( ) d x =+= 1 12 13 . 0 01 2 4 Câu 27: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn (2+iz) +− 34 i = . 1+ i
12. 2 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 25 Lời giải Chọn A 4 −+34i 2 4 1+ i 12 (2+iz) +− 34 i = ⇔ z =2 = + i. 1+ i (2 + i) 55 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) :2xyz− 3 − 4 += 1 0. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của (α ) A. n =(2; 3; − 4) . B. n =(2; − 3; 4) . C. n =( −2; 3;1) . D. n =( −2; 3; 4) . Lời giải Chọn D Ta có pháp tuyến của (α ) là n =(2;3;4 −−) hay n =( −2; 3; 4) . 2 2 1 Câu 29: Cho hàm số fx( ) thỏa mãn ∫ fx( )d1 x= và ∫ fx( ) −=1d x 1. Khi đó ∫ fx( )d x bằng 0 1 0 A. 2 . B. 0 . C. −1. D. 1. Lời giải Chọn C 22 2 ∫∫fx( ) −1d x = fx( ) d x −=⇔ 1 1 ∫ fx( ) d x = 2. 11 1 1 22 Ta có ∫∫∫fx( )d x= fx( ) d x − fx( ) d x =−=− 12 1. 0 01 Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn: (23+iz) −+( 12 iz) =− 7 i. Tính mô-đun của số phức wz=4 −− 38 i A. 12. B. 10. C. 13. D. 15 Lời giải Chọn C ac− cb Ta có az+ bz =⇔= c z 22 ab− Khi đó (2+ 3iz) −( 1 + 2 iz) = 7 −⇔ i z = 2 −⇔ i w = 5 − 12 i ⇒ w = 13. 2 Câu 31: Cho tích phân I= xxedx , nếu đặt u= xv;d = ex d x thì đẳng thức nào sau đây đúng? ∫1 2 2 2 2 A. Ix=exx − ed x. B. Ix=−−exx ed x. 1 ∫1 1 ∫1 2 2 2 2 C. Ix=exx + ed x. D. Ix=−+exx ed x. 1 ∫1 1 ∫1 Lời giải Chọn A
13. ux= dd u= x 2 2 Đặt ⇒ . Suy ra Ix=exx − ed x. xx ∫ dv= ed xv = e. 1 1 Câu 32: Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ xx(0≤≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 29− x2 . Thể tích V được tính bởi công thức 3 3 A. V=29 x − xx2 d. B. V= x +−29 xx2 d. ∫0 ∫0 ( ) 3 3 C. V=2 x +− 29 xx2 d. D. V=49π − xx2 d. ∫0 ( ) ∫0 ( ) Lời giải Chọn A 3 Thể tích V được tính bởi công thức V=29 x − xx2 d. ∫0 Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 4;1) , B(− 1;1; 3) và mặt phẳng (Px ):− 3 y + 2 z −= 5 0. Lập phương trình mặt phẳng ()Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng ()P A. 2x− 3y −= 11 0 . B. xyz−3 + 2 −= 50. C. 2yz+−= 3 11 0 . D. 3yz+ 2 −= 11 0 . Lời giải Chọn C   =−− = − ⇒== Ta có AB ( 3; 3; 2) , nP (1; 3; 2 ) AB, nP ( 0;8;12) 4( 0; 2;3) . Mặt phẳng ()Q có véc tơ pháp tuyến nQ = (0; 2;3) và qua A(2; 4;1) có phương trình 2( y−+ 4) 3( z −=⇔ 1) 0 2 yz + 3 −= 11 0 . b (xx−− 1)2020 1 1 Câu 34: Biết dx= +Cx,2 ≠− , với a , b nguyên dương. Tìm mệnh đề đúng. ∫ (x++ 2)2022 ax2 A. ab< . B. ba−=4038. C. ab= . D. ab= 3 . Lời giải Chọn D 2020 2021 (x − 1)2020 1 xx−−111  x − 1 I = ddx = = + C . ∫∫(2x + )2022 3  x ++2   xx2 3.2021  +2 Khi đó ab=3.2021 = 3 . Câu 35: Hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số yx=2 +− x2; yx =+ 2 và hai đường thẳng xx=−=2; 3 . Tính diện tích của (H ) ? 25 A. 11. B. 12. C. . D. 13. 3 Lời giải Chọn D
14. 33 Diện tích của (H ) là: S=∫∫( x22 +− x2) −( x + 2) dx = x −4 dx = 13. −−22 Câu 36: Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để xyz2+ 22 + +2( m + 2) x − 2( m − 1) zm + 32 −= 50 là phương trình một mặt cầu? A. 7 . B. 5. C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn A Phương trình đã cho là phương trình một mặt cầu khi và chỉ khi 22 (m+2) +( m − 1) −( 3 m22 − 5) >⇔−+ 0 mm 2 + 10 >⇔− 0 1 11 <m <+ 1 11 Mà m nguyên nên m∈−{ 2; − 1;0;1; 2;3; 4}. Câu 37: Trong không gian Oxyz ,phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (Px) :+ 3 yz −+= 5 0? xt=23 + xt=1 + xt=3 + xt=1 +     A. yt=33 + . B. yt= 3 . C. yt=23 + . D. yt=13 + .     zt= zt=1 − zt=1 − zt=1 + Lời giải Chọn B Gọi là d đường thẳng đi qua A(2; 3; 0) và vuông góc với (P) Vì dP⊥ ( ) nên ta chọn một VTCP của đường thẳng (d ) là u (1; 3;− 1) . Thay tọa độ điểm A(2; 3; 0) vào đáp án B, C ta thấy đáp án B thỏa mãn Câu 38: Giả sử M là một điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện 2 +=−z zilà một đường thẳng có phương trình là: A. 4xy− 2 −= 3 0. B. −4xy + 2 += 3 0. . C. 2xy++= 3 0. D. 4xy+ 2 += 3 0. Lời giải Chọn D Gọi z=+∈ x yi( x; y ) 22 2 +z = zi −⇔( x +2) + y22 = x +( y −1) ⇔ 4 x + 2 y += 3 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng: 4xy+ 2 += 3 0. Câu 39: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên đoạn [ab; ]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= fx( ) , trục hoành và hai đường thẳng x= ax, = b được xác định bởi công thức b b b b 2 A. S= ∫ f( x) dx . B. S= π ∫ f( x) dx . C. S= ∫ f( x) dx . D. S= π ∫  f( x) dx . a a a a Lời giải
15. Chọn C b Diện tích S của hình phẳng là: S= ∫ f( x) dx . a Câu 40: Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= xy,2 = x − và trục hoành. Diện tích của (H ) bằng 8 7 10 16 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C 24 10 Ta có: S=∫∫ xdx +( x −+ x2) dx = 02 3 10 Vậy diện tích của (H ) bằng . 3 z − 3 Câu 41: Cho số phức z=−+(23 ii)( 14) . Tính mô-đun của số phức w = 1+ i A. 67 . B. 57 . C. 65 . D. 73 . Lời giải Chọn D z=(2 − 3 i)( 1 + 4 i) =+−+ 2 8 ii 3 12 = 14 + 5 i. zii−3 14 +− 5 3 11 + 5 wi= = = =83 − . 11++ii 1 + i 2 ⇒w =82 +−( 3) = 73 . Câu 42: Giả sử Fx( ) là một nguyên hàm của hàm số fx( ) trên đoạn [ab; ] . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau b b A. ∫ fx( ) d x= fa( ) − fb( ) . B. ∫ f( x) d x= Fb( ) − Fa( ) . a a b b C. ∫ fx( ) d x= fb( ) − fa( ) . D. ∫ f( x) d x= Fa( ) − Fb( ) . a a Lời giải Chọn B
16. b b Ta có: f( x) d x= Fx( ) = Fb( ) − Fa( ) . ∫ a a Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;− 1;1) . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) là điểm A. M (3;0;0) . B. Q(0;0;1) . C. P(0;− 1; 0 ) . D. N (0;− 1;1) . Lời giải Chọn D Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) là điểm N (0;− 1;1) . Câu 44: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên khoảng K . Gọi abc,, là ba số thực bất kỳ thuộc K và abc<<. Mệnh đề nào dưới đây sai? 2 bb bc c 2  A. ∫∫f( x) dx=  f( x) dx . B. ∫∫∫f( x) dx+= f( x) dx f( x) dx . aa ab a a ba C. ∫ f( x) dx = 0 . D. ∫∫f( x) dx= − f( x) dx . a ab Lời giải Chọn A bb2 2  Ta có ∫∫f( x) dx=  f( x) dx là mệnh đề sai. aa . xt=  Câu 45: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M (2;−− 4; 1) tới đường thẳng ∆=−:yt 2 bằng  zt=32 + A. 2 14 . B. 26. C. 6 . D. 14 . Lời giải Chọn A   ∈∆ = = −  = − Lấy N(0; 2;3) , MN (1; 6;1) , véc tơ chỉ phương u∆ (1; 1; 2) , MN, u∆ ( 16;8; 4) .  22 2 MN, u∆ 16+ 8 +− ( 4) Khoảng cách từ M tới đường thẳng ∆ là d(M ,∆=) = =2 14. 2 22 u∆ 1+− ( 1) + 2 xy+−12 z Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng −12 1 (P ):2 xy−− 2 z −= 2 0. Gọi ()Q là mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng ()P một góc nhỏ nhất; nQ = ( ab ; ;1) là một véc tơ pháp tuyến của măt phẳng ()Q . Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. ab−=−1. B. ab+=−2 . C. ab+=0. D. ab−=1. Lời giải Chọn B
17. Vì (Q) chứa d nên nu(Q).d = 0 ⇔−+ a 210 b += ⇔ a = 21 b +. 22ab−− b Ta có cos((PQ) ; ( )) = = 3ab22++ 1 5 b 2 ++ 42 b +) Nếu b = 0 thì cos((PQ) ;( )) =⇒=° 0(( PQ) ;( )) 90 . 1 11 +) Xét b ≠ 0 , khi đó cos((PQ) ; ( )) = = ≤ . 24 2 3 ++5 1 2 2++ 13 bb b Góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất 1 1 ⇔ cos((PQ) ; ( )) lớn nhất ⇔ cos((PQ) ; ( )) = ⇔ =−⇔111ba =−⇒=−. 3 b Câu 47: Cho hàm só fx() xác định và liên tục trên khoảng (0;+∞ ) sao cho x2 + xf.e( xx) += f( e) 1 với e (ln x)⋅ fx( ) mọi x ∈(0; +∞) . Tính tích phân Ix= d ∫ e x 3 1 2 1 A. I = . B. I = − . C. I = − . D. I = . 8 8 3 12 Lời giải Chọn D Ta có xxff22+.e( xx) +( e1) =⇔+( xf 1e1) ( x) =−⇔+ x( xf 1e) ( x) =−( 1 x)( 1 + x) . Vì x > 0 nên x +≠10⇒=−fx(e1x ) . Đặt t=ex ( t > 0) ⇒= xt ln . ⇒=−ft( ) 1 ln t hay fx( ) =1 − ln x. ee(lnx )⋅ fx ( ) lnxx( 1− ln ) Ix= dd= x. ∫∫eexx 1 1 Đặt uxu=ln ⇒= d d x; xu=e ⇒=; xu=⇒=e1. x 2 111 = −=−2 = Khi đó I∫∫11 u(1d u) u( uu) d u . 2212 Câu 48: Xét các số phức z=+∈ a bi(, a b ) thỏa mãn 4(z− z ) − 15 i = iz ( +− z 1)2 và 21zi−+ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P=4010 ab + 8 . 361 361 A. P = 2021. B. P = 2020 . C. P = . D. P = . 16 4 Lời giải Chọn B Ta có 2 4(zz− )− 15 ii= (z +−z 1 )2 ⇔4(a +−+ bi a bi) −15 i =i( a ++ bi a−− bi 1) 22 ⇔−=8bi 15 ii( 2 a − 1) ⇔−= 8 b 15 ( 2 a −1) .
18. 15 Suy ra 8bb− 15 ≥⇔≥ 0 . 8 22 21z−+=+−+= i 2 a 2 bi 1 i( 21 a −+) ( 21 b +) i =( 21 a −+) ( 21 b +) 2 . 2 15 19 =8bb −+ 15( 2 + 1) ≥ 0 + 2. + 1 = 84 15 1 1 15 Dấu “=” khi b= ⇒= az ⇒=+ i. 8 2 28 1 15 Vậy P =4010. += 8. 2020 . 28 Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (Sx) :32++= y 22 z . Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu và cắt các tia Ox,, Oy Oz lần lượt tại ABC,, ( ABC,, không trùng với gốc tọa độ O ) thỏa mãn OA22++ OB OC 2 =27 . Diện tích của tam giác ABC bằng: 33 93 A. . B. . C. 33. D. 93. 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: (P) tiếp xúc với (S ) ⇒==dO( ,3( P)) R 1 111 Vì OA,, OB OC đôi một vuông góc nên ta có: =++ d2 ( OP,( )) OA22 OB OC 2 Áp dụng bất đẳng thức BCS dạng Engel ta có: 2 1 1 1 (111++) 91 ++ ≥ == OA2 OB 2 OC 2 OA 22++ OB OC 227 3 OA = 3  Dấu “ = ” xảy ra ⇔==OA22 OB OC 2⇔=OB 3  OC = 3 ⇒∆ABC là tam giác đều cạnh bằng 32 2 (32) 3 93 ⇒=S = ∆ABC 42 6 Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 3; 0) , B(0;− 2;0) , P;− 2;2 và 5 xt=  đường thẳng dy:0 = . Giả sử M là điểm thuộc d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất.  zt=2 − Tìm độ dài đoạn MP . 26 A. . B. 2 . C. 23. D. 4 . 5
19. Lời giải Chọn B Ta có: P∆ABM =++ AB AM BM và AB cố định nên P∆ABM nhỏ nhất ⇔+AM BM nhỏ nhất Ta có M∈⇒ d Mt( ;0; 2 − t) 22 22 Ta có: MA+ MB =(2 − t) ++− 322( 2t) + t ++− 22( t) =22( −t) ++ 9 2 tt2 − 4 + 6 22 2 2 =(22 −tt 2) ++ 322( 2 − 2) + 2≥(22 −tt 2 + 2 − 2) ++( 3 2) =+=2 25 3 3 22−−tt 2 2 2 7 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ = ⇔=t 325 22 73  7 6   3 ⇒M ;0;  ⇒=MP  −++−= 2  2 2 5 5   55   5 HẾT