Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 28 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 28 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 28 (100TN) xt=32 +  Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng dy: = 1. − t Phương trình chính tắc của d là:  zt=25 − x+312 yz ++ x−312 yz −− A. = = B. = = . 2−− 15. 2−− 15 x−215 yz ++ x+215 yz −− C. = = . D. = = . 312 312 Câu 2: Phát biểu nào sau đây đúng? 1 1 A. dx=−+cot x C . B. dx=tan x + C . ∫ cos2 x ∫ cos2 x 1 1 C. dx=cot x + C . D. dx=−+tan x C . ∫ cos2 x ∫ cos2 x Câu 3: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới? A. yx=+−4222 x . B. yx=−++3 22 x. C. yx=−+−3 22 x. D. yx=−+4222 x −. Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng? 22 22 A. ∫∫lnxxd= x ln x + 1d x. B. ∫∫lnxxd= x ln x − 1d x. 11 11 22 22 2 2 C. lnxxd = x ln x − 1d x. D. lnxxd = x ln x + 1d x. ∫∫1 ∫∫1 11 11 Câu 5: Tập xác định của hàm số yx= log2 A. 0; . B. 2; . C. 0; . D. ; . Câu 6: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt( ) =180 − 20 tm( / s) . Tính quãng đường vật di chuyển được từ thời điểm ts=0( ) đến thời điểm mà vật dừng lại. A. 810m . B. 9m . C. 180m . D. 160m . 37x − Câu 7: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = có tọa độ x + 2 A. (−2;3) . B. (3;− 2) . C. (−3; 2). D. (2;− 3). Câu 8: Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng A. 6 . B. 8 . C. 2 . D. 4 . xyz+−−3 21 Câu 9: Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : = = đi qua điểm nào dưới đây? 1− 12
2. A. P(−3;2;1) . B. Q(1;− 1;2) . C. N (3;−− 2; 1) . D. M (3;2;1) . Câu 10: Nghiệm của phương trình log3 ( x −= 1) 4 là A. x = 81. B. x = 65 . C. x = 64 . D. x = 82. Câu 11: Cho hình trụ có diện tích xung quanh là Sxq 8 và độ dài bán kính R 2 . Khi đó độ dài đường sinh bằng 1 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. . 4 Câu 12: Số phức liên hợp của số phức zi 12 là A. zi 2 . B. zi 12 . C. zi 12 . D. zi 12. Câu 13: Cho hàm số y= fx() có bảng xét dấu đạo hàm như sau. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;0) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2 − ) . Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Pxyz) : 2− 3 + 5 −= 9 0. Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của (P) ? A. n =(2; − 3; 5) . B. n = (2;3;5). C. n =(2;3;5 −−) . D. n =(2; − 3; 9) . Câu 15: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên thỏa mãn giá trị lớn nhất của hàm số trên là 2021. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. fx( ) 2021, ∀∈ x . D. fx( )≥ 2021, ∀∈ x , ∃ x00 : fx ( ) = 2021. Câu 16: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.' A B ' C ' có cạnh bên bằng 2a . Đáy ABC nội tiếp đường tròn bán kính Ra= . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 33a3 3a3 3 A. . B. 3a3 . C. . D. a3 . 2 2 2 Câu 17: Cho hai điểm AB, cố định. Tập hợp các điểm M thay đổi sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là A. Mặt nón tròn xoay. B. Hai đường thẳng song song. C. Mặt trụ tròn xoay. D. Mặt cầu. x−+21 yz Câu 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Px ):+( m + 1) y − 2 zm += 0và d : = = với 212 m là một tham số thực. Để d thuộc mặt phẳng (P) thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu? A. Không tồn tại m . B. m = −4 . C. m = −1. D. m =1. Câu 19: Gọi ()S là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương. Biết khối lập phương có thể tích bằng 36 cm3 . Thể tích khối cầu ()S bằng A. 9π cm3 . B. 12π cm3 . C. 4π cm3 . D. 6π cm3 . Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−3; 2; 3) và đường thẳng
3. xt=1 +  d:  yt= . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt đường thẳng  zt=−+12 d A. (2;1;− 1) . B. (−3; 2; 3) . C. (−8;3;5) . D. (2;1;1) . 24x + Câu 21: Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc [−2021;2021] để đồ thị hàm số y = có tiệm xm− cận đứng nằm bên trái trục tung là A. 2020 . B. 2021. C. 4041. D. 4042 . z1 Câu 22: Cho hai số phức zi1 =12 + và zi2 =1 − . Phần thực của số phức bằng z2 3 1 3 1 A. − . B. . C. . D. − . 2 2 2 2 Fx( ) 1 F (01) = F (3) Câu 23: Biết là nguyên hàm của fx( ) = và . Tính x +1 1 A. F (3) = . B. F (3) = 2ln 2 + 1 . C. F (3) = ln 2 . D. F (3) = 2ln 2 . 2 Câu 24: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm trên và có đồ thị như hình bên. Hê số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số g( x) = xf. ( x) tại x = −1 bằng: A. 1. B. −1. C. −3 D. 3 . Câu 25: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? α A. Đồ thị hàm số yx= (với α là một số thực âm) luôn có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. 1 B. Hàm số yx= 3 có đạo hàm là y′ = . 33 x 2 C. Hàm số yx= log2 có tập xác định là (0; +∞). x2 2021 D. Hàm số y =  đồng biến trên . 2020 Câu 26: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= a 3 . Góc giữa SO và mặt phẳng đáy bằng A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 900 .
4. Câu 27: Cho hàm số y= fx( ) xác định, có đạo hàm trên và fx′( ) có đồ thị như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y= fx( ) nghịch biến trên khoảng (−−3; 2) . B. Hàm số y= fx( ) nghịch biến trên khoảng (−2; +∞) . C. Hàm số y= fx( ) đồng biến trên khoảng (−∞;2 − ) . D. Hàm số y= fx( ) đồng biến trên khoảng (−2;0) . 4a Câu 28: Cho hình hộp ABCD. A′′′′ B C D . Biết khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng ( AB′ C) bằng . Tính 5 khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AB′ C) . 6a 2a 4a 8a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 29: Một tổ gồm 6 học sinh nữ và 4 học sinh nam được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 1680 210 1260 280 32 Câu 30: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm f'( x) = 2 xx( − 3) ( x + 2,) ∀∈ x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . 2 22 Câu 31: Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình zz+2 += 40. Khi đó Az=12 + zcó giá trị là A. 4 . B. 8 . C. 20 . D. 14. xx2 + 11 Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình  > là. 7 49 A. (−∞;1) . . B. (−∞; − 2) ∪( 1; +∞) . . C. (1;+∞) . . D. (−2;1) . . 2 2 ∫ f( x) dx = 3 ∫ 2.f( x) − x dx Câu 33: Cho −2 . Tính tích phân −2 A. 6 . B. 7 . C. 3 . D. 5 . Câu 34: Cho hàm số fx() có bảng biến thiên như sau.
5. Lời giải Điều kiện: x >1. 4 log3 ( xxx− 1) = 4 ⇔ −= 1 3 ⇔ = 82 . Câu 11: Cho hình trụ có diện tích xung quanh là Sxq 8 và độ dài bán kính R 2 . Khi đó độ dài đường sinh bằng 1 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. . 4 Lời giải S 8 Ta có S 22 Rl l xq . xq 24 R Câu 12: Số phức liên hợp của số phức zi 12 là A. zi 2 . B. zi 12 . C. zi 12 . D. zi 12. Lời giải Số phức liên hợp của số phức z a bi là z a bi . Do đó số phức liên hợp của số phức zi 12 là zi 12. Câu 13: Cho hàm số y= fx() có bảng xét dấu đạo hàm như sau. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;0) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2 − ) . Lời giải Ta có: xy∈(0; 2) ⇒ 2021, ∀∈ x . D. fx( )≥ 2021, ∀∈ x , ∃ x00 : fx ( ) = 2021 Lời giải
6. Dựa vào định nghĩa GTLN, GTNN ta chọn fx( )≤ 2021, ∀∈ x , ∃ x00 : fx ( ) = 2021. Câu 16: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.' A B ' C ' có cạnh bên bằng 2a . Đáy ABC nội tiếp đường tròn bán kính Ra= . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 33a3 3a3 3 A. . B. 3a3 . C. . D. a3 . 2 2 2 Lời giải A' C' B' A O C M B Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , M là trung điểm của BC 33 32 Ta có OA= R = a ⇒=AM OA = a ⇒=AB a.3 = a 22 2 3 2 322 3 33 SABC = AB =( 3 a) = a 44 4 33 33 V= S.AA'= aa23 .2 = a. ABC.''' A B C ABC 42 Câu 17: Cho hai điểm AB, cố định. Tập hợp các điểm M thay đổi sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là A. Mặt nón tròn xoay. B. Hai đường thẳng song song. C. Mặt trụ tròn xoay. D. Mặt cầu. Lời giải 1 Ta có: S= . d( M ;. AB) AB ∆MAB 2 Mà S∆MAB , AB không đổi nên d( M; AB) không đổi. Vậy tập hợp các điểm M thỏa mản yêu cầu bài toán là một mặt trụ trụ tròn xoay. x−+21 yz Câu 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Px ):+( m + 1) y − 2 zm += 0và d : = = 212 với m là một tham số thực. Để d thuộc mặt phẳng (P) thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu? A. Không tồn tại m . B. m = −4 . C. m = −1. D. m =1 Lờigiải + + − + =⇒ = +− (Pxm ) :( 1) y 2 zm 0 VTPTn(1; m 1; 2) .
7. x−+21 yz d : = = ⇒VTCPu =(2;1; 2) ; M( 2;0;−∈ 1) d 212 nu⊥ 1.2+m ++ 1 2.( − 2) = 0 m =1 Để d thuộc mặt phẳng (P) thì ⇔ ⇔ ⇔m ∈∅. MP∈( ) 2+(mm + 1) .0 − 2( −+ 1) = 0 m = −4 Câu 19: Gọi ()S là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương. Biết khối lập phương có thể tích bằng 36 cm3 . Thể tích khối cầu ()S bằng A. 9π cm3 . B. 12π cm3 . C. 4π cm3 . D. 6π cm3 . Lời giải 3 3 Ta có: V lp=36 cm ⇒ chiều dài cạnh của hình lập phương bằng 36 cm 3 36 ⇒ Bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương là: r = cm . 2 4 Vậy thể tích khối cầu ()S là: Vr=ππ33 = 6 cm . . cau 3 Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−3; 2; 3) và đường thẳng xt=1 +  d:  yt= . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt  zt=−+12 đường thẳng d A. (2;1;− 1) . B. (−3; 2; 3) . C. (−8;3;5) . D. (2;1;1) . Lời giải Gọi M là giao điểm của đường thẳng ∆ và đường thẳng d  Khi đó M(1+ t ; t ; −+ 1 2 t) ⇒ AM =( t +4; t − 2; 2 t − 4) Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u = (1;1; 2 ) Đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc với d  ⇒AM.0424801 u =⇔++−+ t t t −=⇔= t  ⇒AM =(5;1;2 −−)
8. xt=−+35  Phương trình đường thẳng ∆=−:2yt  zt=32 − D(2;1;1)∈∆. Chọn D 24x + Câu 21: Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc [−2021;2021] để đồ thị hàm số y = có tiệm xm− cận đứng nằm bên trái trục tung là A. 2020 . B. 2021. C. 4041. D. 4042 . Lời giải 24x + Đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là đường thẳng xm . xm− Đường tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung ⇔<m 0 . Do m thuộc [−2021;2021] nên m∈−{ 2021; − 2020; − 2019; ; − 1} . Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. z1 Câu 22: Cho hai số phức zi1 =12 + và zi2 =1 − . Phần thực của số phức bằng z2 3 1 3 1 A. − . B. . C. . D. − . 2 2 2 2 Lời giải zi12+ (12++ii)( 1 ) −+13i − 1 3 Ta có 1 = = = = + i . zi2 1−+ 11 2 2 2 z 1 Suy ra phần thực của số phức 1 là − . z2 2 1 Câu 23: Biết Fx( ) là nguyên hàm của fx( ) = và F (01) = . Tính F (3) x +1 1 A. F (3) = . B. F (3) = 2ln 2 + 1 . C. F (3) = ln 2 . D. F (3) = 2ln 2 . 2 Lời giải 1 Ta có F( x) = f( x) dx = dx =ln x ++ 1 C ∫∫x +1 Mà F (01) = ⇔0 = ln 0 ++ 1CC ⇔ = 0 Suy ra F (3) = ln 3 += 1 ln 4 = 2ln 2 Câu 24: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm trên và có đồ thị như hình bên. Hê số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số g( x) = xf. ( x) tại x = −1 bằng:
9. A. 1. B. −1. C. −3 D. 3 Lời giải Dựa vào đồ thị ta có: f (−=10) Đồ thị hàm số y= fx( ) có tiếp tuyến tại x = −1 là đường thẳng đi qua các điểm (−1; 0 ) và (0;3) . Từ đó, tại x = −1 đồ thị hàm số y= fx( ) có tiếp tuyến là: yx=33 + . Phương trình tiếp tuyến của đò thị hàm số y= fx( ) tại Mxy( oo; ) có dạng: y= fx'( o)( xx −+ oo) y. Suy ra f '1(−=) 3. Xét hàm số g( x) = xf. ( x) ta có: g'( x) = f( x) + xf .'( x) ⇒ g '1( −=) f( −− 1) f '1( −=−) 3 Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số g( x) = xf. ( x) tại x = −1 là −3 . Câu 25: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? α A. Đồ thị hàm số yx= (với α là một số thực âm) luôn có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. 1 B. Hàm số yx= 3 có đạo hàm là y′ = . 33 x 2 C. Hàm số yx= log2 có tập xác định là (0; +∞). x2 2021 D. Hàm số y =  đồng biến trên . 2020 Lời giải Xét câu A = = ⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là = . lim y = +∞ ⇒ đồ thị hàm : limyy lim 0 y 0 + xx→+∞ →−∞ x→0 số có 1 tiệm cận đứng là x = 0 . Vậy A đúng. 1 Đáp án B sai do y′ = . 33 x2 Đáp án C sai do hàm số có tập xác định là D = \0{ }. Đáp án D sai do yy(−=11) ( ) . Câu 26: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= a 3 . Góc giữa SO và mặt phẳng đáy bằng
10. A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 900 . Lời giải AB Vì ABCD là hình vuông nên AO= = a . Ta có SA⊥⇒( ABCD) AO là hình chiếu của 2 SO trên ( ABCD) ⇒==( SO,,( ABCD)) ( SO AO) SOA . SA tan SOA ==⇒=⇒3SOA 6000( SO ,( ABCD)) = 60 . AO Câu 27: Cho hàm số y= fx( ) xác định, có đạo hàm trên và fx′( ) có đồ thị như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y= fx( ) nghịch biến trên khoảng (−−3; 2) . B. Hàm số y= fx( ) nghịch biến trên khoảng (−2; +∞) . C. Hàm số y= fx( ) đồng biến trên khoảng (−∞;2 − ) . D. Hàm số y= fx( ) đồng biến trên khoảng (−2;0) . Lời giải Vì fx′( ) ≤0 ∀ x ∈( − 2; +∞) và fx′( ) =⇔=00 x nên hàm số y= fx( ) nghịch biến trên (−2; +∞) . 4a Câu 28: Cho hình hộp ABCD. A′′′′ B C D . Biết khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng ( AB′ C) bằng . 5 Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AB′ C) . 6a 2a 4a 8a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải
11. 4a Ta có AD′′// BC⇒⇒ AD ′ // ( ABC ′) d( D,( ABC ′)) = d( A ′′,( ABC)) =. 5 Câu 29: Một tổ gồm 6 học sinh nữ và 4 học sinh nam được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 1680 210 1260 280 Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là: Ω=10!. Do giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ nên bạn nam phải đứng đầu hàng và cuối hàng, suy ra có 4! cách sắp xếp 4 bạn nam và giữa 4 bạn nam có 3 vị trí cho 3 cặp 2 bạn nữ 2 Chọn 2 bạn nữ đầu tiên có C6 cách chọn 2 2 Chọn 2 bạn nữ lần thứ hai có C4 cách chọn và có C\2 cách chọn hai bạn nữ còn lại 222 Do đó số cách sắp xếp thỏa mãn bài toán là: 4!.3!.CCC642 . . . 4!.3!.CCC222 . . 1 Xác suất cần tìm là: P = 642= . 10! 280 32 Câu 30: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm f'( x) = 2 xx( − 3) ( x + 2,) ∀∈ x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải x = 0 32  Ta có f'( x) =⇔ 0 2 xx( − 3) ( x + 2) =⇔= 0x 3. x = −2 Bảng biến thiên của hàm số y= fx( )
12. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại. 2 22 Câu 31: Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình zz+2 += 40. Khi đó Az=12 + zcó giá trị là A. 4 . B. 8 . C. 20 . D. 14. Lời giải zi=−−13 Ta có: zz2 +2 +=⇔ 40  1 zi2 =−+13 22 2222 Az=12 + z =−+−+−+( 1) ( 3) ( 1) ( 38) =. xx2 + 11 Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình  > là. 7 49 A. (−∞;1) . . B. (−∞; − 2) ∪( 1; +∞) . . C. (1;+∞) . . D. (−2;1) . . Lời giải xx22++xx 2 1 11   1 2 Ta có: > ⇔  >  ⇔xx + <2 ⇔− 2 < x < 1 7 49  7  7 2 2 Câu 33: . Cho ∫ f( x) dx = 3. Tính tích phân ∫ 2.f( x) − x dx −2 −2 A. 6 B. 7 . C. 3 . D. 5 . Lời giải 2 2 2 22 x222 (−2) Ta có 2 f( x) − x dx =2 f( x) dx − xdx =−2.3 =−− 6  =6. ∫ ∫∫ 2 22 −2 −−22 −2  2 Vậy ∫ 2 f( x) −= x dx 6. −2 . Câu 34: Cho hàm số fx() có bảng biến thiên như sau. Số nghiệm của phương trình fx2 ( ) −=40. A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 6 Lời giải  fx( ) = 2 Ta có fx2 ( ) −=⇔40   fx( ) = −2 Phương trình fx( ) = 2 có hai nghiệm
13. Phương trình fx( ) = −2 có hai nghiệm. Câu 35: Cho số phức z=+∈ a bi(, a b R ) thỏa mãn (12+izizi) +− 34 =+− 32. Khi đó z bằng A. 13 . B. 2 . C. 5 . D. 1. Lời giải Ta có: (12+iziziizi) +− 34 =+− 32 ⇔ 2 = 2⇒=⇒zz11 =. Câu 36: Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB= a , SA⊥ ( ABC) , SA= a . Bán kính của mặt cầu tiếp xúc tất cả các mặt của hình chóp bằng 3a( 21− ) a( 21− ) a( 21− ) a( 21− ) A. . B. . C. . D. . 2 6 3 2 Lời giải Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp và r là bán kính của mặt cầu. 1 Ta có: V= V + V + V + V = rS( +++ S S S ) . SABC IABC ISAB ISAC ISBC 3 ABC SAB SAC SBC 13V Suy ra VSABC = rStp ⇒= r . 3 Stp 3 111 1 112 a =++22 + =+2 Mặt khác: VSABC = aa . = và Stp a a aa.2 aa .2 a ( 1 2) . 32 6 222 2 a3 3. a( 21− ) Vậy r =6 = . a2 (12+ ) 2 Câu 37: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4xx− 2.2 −m += 3 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−1;1) . Số tập hợp con của tập hợp S là A. 1. B. 0. C. 4. D. 2 . Lời giải 2 Ta có: 4xx− 2.2 −mm +=⇔ 3 0( 2x) − 2.2 x − += 3 0
14. x 1 Đặt: tt=2 , ∈ ;2 2 Phương trình đã cho trở thành: t2 −2 tm − += 30⇔−=−t2 23 tm 2 1 Xét hàm: ft( ) = t − 2 t với t ∈;2 2 ft′( ) =2 t −= 20 ⇔= t 1 13 f=−=−=; ff( 1) 1;( 2) 0 24 Yêu cầu bài toán ⇔ minfx( ) =−< 1 m − 3 < max fx( ) = 0 ⇔ 2 < m < 3 ⇒=∅S . Mà tập con của S là ∅ . Câu 38: Cho hàm số y= fx( ) xác định và có bảng biến thiên như sau. Số điểm cực tiểu của hàm số gx( ) = f( x2 + x) là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0⋅ Lời giải Ta có gx′′( ) =++(21 x) f( x2 x) .  1  1 x = − x = −  2  2x += 10   2 ′ 2 Xét g( x) =⇔0 2 ⇔x +=− x11( VN) ⇔ x =  fx′( += x) 0   2 x = −2 xx+=2    Vậy số điểm cực tiểu của hàm số gx( ) = f( x2 + x) là 2. Câu 39: Cho hàm số y= fx( ) có bảng biến thiên như sau
15. 1 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là fx( ) − 2 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải 11 Ta có: lim = lim = ∞ x→+∞ fx( ) −−22fx( )→2 fx( ) 1 11 lim = lim = x→−∞ fx( ) −−2 fx( )→2021 fx( ) 2 2019 1 1 Nên đồ thị hàm số y = có một tiệm cận ngang là y = . fx( ) − 2 2019 1 Từ bảng biến thiên của hàm số y= fx( ) suy ra đồ thị hàm số y = không có tiệm cận đứng. fx( ) − 2 Câu 40: Cho hàm số fx( ) = 2x . Số giá trị nguyên không dương của tham số m để bất phương trình f(cos2 x) ≤ fm( ) có nghiệm thuộc (0;π ) là A. 1. B. 2 . C. vô số. D. 0 . Lời giải Ta có: 2 1+ cos 2x f(cos2 x) ≤ fm( ) ⇔2cos xm ≤ 2 ⇔ cos2 x ≤⇔ m ≤⇔mcos 2 x ≤ 2 m − 1. 2 Trên khoảng (0;π ) , ta có: −≤1 cos 2x < 1. Do đó bất phương trình f(cos2 x) ≤ fm( ) có nghiệm thuộc (0;π ) khi và chỉ khi 211mm− ≥− ⇔ ≥ 0. Vậy số giá trị nguyên không dương của tham số m để bất phương trình f(cos2 x) ≤ fm( ) có nghiệm thuộc (0;π ) là 1.
16. mxsin− 1 Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên m∈[0;2020] để hàm số y = nghịch biến trên khoảng sin xm− ππ5 ; ? 26 A. 2020. B. 0. C. 1. D. 2021. Lời giải ππ5 1 Đặt t=sin x khi x ∈; thì t ∈;1 26 2 mt −1 Khi đó y = tm− ππ5 Do hàm t=sin x nghịch biến trên ; 26 mxsin− 1 ππ5 Để hàm y = nghịch biến trên khoảng ; sin xm− 26 mt −1 1 thì hàm y = đồng biến trên khoảng ;1 tm− 2  1− m2 − y 2 0   ()tm−  1 1 ⇔  ⇔ m ≤ ⇔−1 Hàm số đồng biến trên [0; 2] TH1: f(0)> 0 ⇒ maxgx ( ) = m + 19 > 20 ⇔ m −> 1 0 ⇔ m > 1 [0;2]
17. TH2: f (20) 0 ⇒ mm >− 19 ⇒ ∈[ − 10;1] maxgx ( )=−− m 1 [0;2] fm(00) ≤ ⇒ ≤⇒ 1 maxgx ( )= m + 19  [0;2] Với −mm −1 ≥ + 19 ⇒ m ≤− 10( l ) Với −m −1 ≤ m + 19 ⇒ m ≥− 10( tm / ) ⇒ maxgx ( ) nhỏ nhất là: −−m 1 khi: −≤≤10m 1. Vậy có 12 giá trị của m thỏa mãn. [0;2] Câu 43: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA⊥ ( ABCD) , SA= a 2 . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. BCD là π a3 3 33π a3 4π a3 a3π A. . B. . C. . D. . 2 8 3 2 Lời giải Ta có SA⊥( ABCD) ⇒⊥ SA AC ⇒A thuộc mặt cầu đường kính AC Có: SA⊥( ABCD) ⇒⊥ SA BC mà BC⊥⇒⊥ AB BC( SAB) ⇒⊥⇒ BC SB B thuộc mặt cầu đường kính SC Tương tự SD⊥⇒ DC D thuộc mặt cầu đường kính SC . Vậy S,,,, ABCD thuộc mặt cầu đường kính SC . Ta có ABCD là hình vuông⇒=AC AB22 = a . Xét tam giác SAC vuông tại A: SC= SA2 + AC 2 =22 a 22 + a = 2 a ⇒= R a . 44 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: VR=ππ33 = . a. 33 Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có các cạnh đều bằng a 2 . Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD bằng. 3 3 3 π a 2 π a π a3 π a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 Lời giải
18. AB AB a 2 Ta có AO= = a . Khối nón đã cho có bán kính R = = và chiều cao 2 22 1 π a3 h==−= SO SA22 AO a , do đó có thể tích là V=π Rh2 = . 36 Câu 45: Cho hàm số y= fx( ) sao cho ff(1) −( −≤ 12) , hàm số y= fx′( ) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình fx( ) −= ex m có nghiệm thuộc (−1;1) khi 1 1 A. f(11) −< em < f( −) −. B. f(−−<11) mf <( ) − e. e e 1 C. f(13) −< mf ≤( 01) −. D. f(−−<1) mf ≤( 01) − 3 Lời giải Đặt gx( ) = f( x) − ex Ta có gx′′( ) = f( x) − ex x Ta thấy fx′( ) nghịch biến trên đoạn −1;1 và e đồng biến trên đoạn −1;1 nên gx′( ) nghịch biến trên đoạn −1;1 Phương trình fx( ) −= ex m có nghiệm thuộc (−1;1) có nghiệm tương đương phương trình 1 m= gx( ) có nghiệm thuộc (−1;1) ⇔g(11) <<− mg( ) ⇔f(11) −< em < f( −) −. e x t +1 Câu 46: Xét hàm số F( x) = dt . Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào nhỏ nhất? ∫ 2 1 1++tt A. F (1) . B. F (2021). C. F (0) . D. F (−1) .
19. Lời giải Ta có: 1 t +1 F (10) = dt = ∫ 2 1 1++tt 2021 t +1 t +1 F (20 21) = dt > 0 vì >∈0,[ 1;2021] ∫ 2 2 1 1+ tt+ 1++tt 01tt++11 F (0) =dt =− 0 do >∈0,[ 0;1] ) ∫ 2 2 0 1++tt 1++tt Vậy F (−1) đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 47: Cho hàm số y= fx( ) là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình bên. Biết diện tích hình 214 phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y= fx( ) và y= fx′( ) bằng . Tính diện tích hình 5 phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= fx() và trục hoành. 81 81 17334 17334 A. . B. . C. . D. . 20 10 635 1270 Lời giải Theo hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y= fx( ) đi qua các điểm (−2;0) , (1;0) và 22 ff′′(1) = 0,( −= 2) 0 và tiếp xúc Ox ta có thể đặt f( x) =+− ax( 2) ( x 1) ,( a ≠ 0) . Khi đó fx′( ) = ax(432 + 6 x −− 6 x 4) . Xét phương trình fx( ) = f′( x) x = −1  22 x =1 ⇔ax( +2) ( x − 1) = a (4 x32 + 6 x − 6 x − 4) ⇔ x432 − 2 x − 9 x + 2 x +=⇔ 8 0  x = −2  x = 4
20. 214 Theo giả thiết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của fx( ) và fx′( ) là: 5 214 4 214 428a 1 Ta có: =ax432 −2 x − 9 x + 2 x + 8d x ⇔ = ⇔=a . 5∫−2 55 2 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= fx() và trục hoành là 1 1 2281 S=∫ ( x +21) ( x −=) dx . −2 2 20 Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−−2; 1; 2 ) và B(5;− 1;1) . Đường thẳng d ' là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng(Px) :+ 2 yz ++= 20 có một véc tơ chỉ phương u( ab; ;2).Tính S= ab + . A. −4 . B. −2 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc (P). Khi đó, đường thẳng dPQ'.=( ) ∩( )  n(Q) ⊥− AB(7;0; 1)  Có ⇒ Chọn n(QP) = AB; n( ) =( 2; − 8;14) .   nn(QP) ⊥ ( ) (1; 2;1)  (dP') ⊥ ( ) un  Mặt khác  ⇒ Chọn u(d') = nn( PQ) ;( ) =( 36; −− 12; 12) cùng phương với u (−6; 2; 2) un(dQ') ⊥ ( ) Như vậy a=−=⇒+=−6, b 2 ab 4. . Câu 49: Xét hàm số yfxxmxmxm=( ) =+43 2 −+ ( 1) 2 + 2 − 2 . Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại là A. 1. B. Vô số. C. 2 . D. 3 . Lời giải Ta có: y'= f '( x ) =+ 4 x32 6 mx −+ 2( m 1) x x = 0 =⇔+32 − +=⇔ y' 0 4 x 6 mx 2( m 1) x 0  2 2x+ 3 mx − ( m += 1) 0 (1) TH1: (1) vô nghiệm hoặc nghiệm kép ⇔∆≤0 ⇔ (3mm )2 + 8( + 1) ≤ 0 ⇔9mm2 + 8 +≤ 80 không tồn tại m . xx12= = 0 32  TH2: (1) có nghiệm xm=⇔=−01. Lúc đó yxx'4=−=⇔ 6 0 3 hay hàm số đạt cực x =  3 2 3 tiểu tại x = . 2 Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của m thảo mãn yêu cầu bài toán.
21. 2 2 Câu 50: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm trên  . Biết5 fx( ) −( f′( x)) = x + x +4, ∀∈ x  . Tính 1 ∫ f( x) dx . 0 3 4 5 11 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 6 Lời giải Chọn hàm f( x) = ax2 ++ bx c (a ≠ 0) (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai). ⇒=+f'2( x) ax b . 2 2 Ta có 5fx( ) −( f '( x)) = x + x +4, ∀∈ x  ⇒5ax2 + 554 bx + c −( a22 x + 4 abx + b2) = x 2 ++ x 4 ⇔−(54a a22) x +−( 54 b ab) x +−=++( 5 c b2) x 2 x 4 =a 1  b =1  c =1 −4aa2 += 51   1 ⇒−=⇔ a = 54b ab 1  4  2  54cb−=  1 b =  4   13 c =  16 a =1  11 11 Khi b =1 ta có ∫∫f( x) dx=( x2 ++ x1) dx = .  00 6 c =1  1 a =  4  11  1 12 1 13 49 Khi b = ta có ∫∫f( x) dx= x ++ x dx =.  4 004 4 16 48  13 c =  16