Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 35 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 35 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 35 (100TN) Câu 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx=2 − 5 x, y= xx − 2 , x =1 và x = 2 bằng 13 7 14 A. S = . B. S = 9 . C. S = . D. S = . 3 3 3 1 2 2 Câu 2: Nếu ∫ ft( )d t= 3 và ∫ fu( )d u= − 2 thì ∫ fx( )d x bằng 0 1 0 A. −5 . B. 5. C. 1. D. −6 . Câu 3: Phát biểu nào sau đây sai? 1 A. dx= ln xC + . B. cosxx d= sin x + C. ∫ x ∫ ex+1 1 C. edx xC= + . D. dx= tan xC + . ∫ x +1 ∫ cos2 x Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u (1;−− 1; 2 ) và v(1; 2;1) . Tính góc ϕ giữa hai vecto u và v . A. 150o . B. 60o . C. 120o . D. 30o . Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 3;− 1) và B(4;5;3) . Điểm nào sau đây là trung điểm của đoạn thẳng AB. A. N (3; 4;1) . B. Q(6;8; 2) . C. P(2; 2; 4) . D. M (1;1; 2) . Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn zi(12−) −+ 34 i =+ 45 i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức z. A. 4. B. −2. C. −4. D. 2. Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn zi+−12 = 3 A. Đường tròn tâm I (1;− 2 ) , bán kính r = 9 . B. Đường tròn tâm I (−1; 2 ) , bán kính r = 9 . C. Đường tròn tâm I (1;− 2 ) , bán kính r = 3. D. Đường tròn tâm I (−1; 2 ) , bán kính r = 3. 13+ i Câu 8: Số phức liên hợp của số phức z= −+234 ii( ) là 2 + i A. zi=95 − . B. zi=95 + . C. zi=−+95. D. zi=−−95. Câu 9: Cho hai hàm số y= fx( ) và y= gx( ) liên tục trên đoạn [ab; ] . Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các đồ thị y= fx( ) , y= gx( ) và các đường thẳng x= ax, = b. Diện tích S của hình phẳng (H ) được tính theo công thức nào sau đây bb b A. S=∫∫ fxx( )dd − gxx( ) . B. S=∫  f( x) − gx( ) d x. aa a b b C. S=∫  f( x) − gx( ) d x. D. S=∫ f( x) − gx( )d x. a a
2. x−−12 yz Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng −−21 1 (Pxy) :+ + 2 z −= 10. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng A. 30° . B. 90° . C. 60° . D. 45°. xt=1 + xt=22 + ′   Câu 11: Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng dy:2 = t và dy': = 3 + 4 t′ . Phát biểu nào sau   zt=3 − zt=52 − ′ đây đúng? A. d và d′ chéo nhau. B. d và d′ cắt nhau tại một điểm. C. d và d′ trùng nhau. D. d và d′ song song nhau. Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (Px) :− 3 y + 2 z −= 30 và (Q) :2 x− 6 y + mz2 + m −=4 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau. A. mm=∨=−22. B. m = −2 . C. m = 2 . D. mm=∨=−44. 2 Câu 13: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình zz−+=4 13 0. Tính giá trị của biểu thức 2 ( zz12+ ) . A. 25 . B. 16. C. 0 . D. 4 . Câu 14: Trong không gian Oxyz, tích có hướng của hai vectơ u = (1;2;4) và v =(3; − 1;1) là A. [uv,] =−−( 6;11; 7 ). B. [uv,] =( 6; − 11; 7 ) . C. [uv,] =( 6;11; − 7 ) . D. [uv,] =( 6;11;7 −−) . Câu 15: Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu? A. xyz2+++− 222 xyz 4 ++= 2 17 0 . B. xyz2+ 22 + +4 yz + 6 += 50. C. x2+ y 22 + z −20 xyz +−=. D. xyz2+ 22 + −=10. xyz Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : + +=1. Vec tơ nào sau đây không là vec 1− 23 tơ pháp tuyến của (α )?   −11     11   A. n1 1; ; . B. n4 (1;− 2; 3) . C. n2 −−1; ; . D. n3 (6;− 3; 2) . 23 23 = Câu 17: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y fx( ) (tham khảo hình vẽ), trục Ox và các đường thẳng x= ax; = ba( < b) là b b b b 2 2 A. S= −∫ f( x) dx. B. S= π ∫  f( x) dx. C. S= −∫  f( x) dx. D. S= ∫ f( x) dx. a a a a Câu 18: Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;− 4; 2 ) và bán kính R = 4. 2 22 2 22 A. (Sx) :( − 1) ++( y 4) +−( z 2) = 4. B. (Sx) :( − 1) ++( y 4) +−( z 2) = 16. 2 22 2 22 C. (Sx) :1424.( +) +−( y) ++( z ) = D. (Sx) :( + 1) +−( y 4) ++( z 2) = 16. Câu 19: Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx( ) =2sin x − x.
3. x2 x2 A. 2cosxC−+ 1 . B. −2cos xx −+2 C. C. −2cos xC −+. D. 2cos xC−+. 2 2 π 4 Câu 20: Tính tích phân I=∫ (1 + cot2 xx) d . π 6 A. I =13 − . B. I =31 − . C. I =1. D. I = 3 . Câu 21: Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt( ) =−+2 t 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. A. 24 (m). B. 21(m). C. 25 (m). D. 16(m). Câu 22: Cho hình phẳng giới hạn các đường y=5x , yx = 0, = − 2 và x = 2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng D quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. Vx= ∫ 5d2x . B. Vx= π ∫ 25x d . C. Vx= π ∫ 5dx . D. Vx= ∫ 5dx . −2 −2 −2 −2 x−−12 yz Câu 23: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M (2;0;1) đến đường thẳng d : = = 121 bằng 12 A. . B. 12 . C. 3 . D. 2 . 6 Câu 24: Trong không gian Oxyz , điểm M (3;4;− 2) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây? A. (Pz) :−= 20. B. (Qxy) :+−= 70. C. (Rxyz) :+++= 30. D. (Sx) :−= 40. Câu 25: Cho số phức z= a + bi (ab, ∈ ) . Môđun của z được tính bới công thức nào sau đây? 2 A. z= ab22 + . B. zab=22 + . C. z= a2 + ( bi) . D. z= ab + . 3 Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn của số phức ( 3 + i) là A. N (8; 0) . B. M (0;8) . C. Q( 3;1) . D. P(3 3;3) . Câu 27: Tính thể tích vật thể giới hạn bới hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (03<<x ) là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 29( − x2 ) A. V = 9π . B. V =18. C. V = 9. D. V =18π . Câu 28: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 =15( m/s) thì tăng tốc với gia tốc at( ) = t22 + 4 t( m/s ) . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
4. Vậy d và d′ song song nhau. Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (Px) :− 3 y + 2 z −= 30 và (Q) :2 x− 6 y + mz2 + m −=4 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau. A. mm=∨=−22. B. m = −2 . C. m = 2 . D. mm=∨=−44. Lời giải Chọn C 1−− 32 3 (P) và (Q) song song nhau ⇔= = ≠ 26−−mm2 4  21 = 2 m2 2 m = 4 m = ±2 ⇔ ⇔⇔  −31 ≠− m ≠−2  ≠ m 2  m − 42 Vậy m = 2 2 Câu 13: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình zz−+=4 13 0. Tính giá trị của biểu thức 2 ( zz12+ ) . A. 25 . B. 16. C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn B b Vì zz, là hai nghiệm phức của phương trình zz2 −+=4 13 0 nên zz+ =−=4. 12 12 a 2 2 Khi đó ( zz12+==) 4 16. Câu 14: Trong không gian Oxyz, tích có hướng của hai vectơ u = (1;2;4) và v =(3; − 1;1) là A. [uv,] =−−( 6;11; 7 ). B. [uv,] =( 6; − 11; 7 ) . C. [uv,] =( 6;11; − 7 ) . D. [uv,] =( 6;11;7 −−) . Lời giải Chọn C 2 44 11 2 Ta có [uv, ] = ; ;=( 6;11; − 7) . −−111 33 1 Câu 15: Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu? A. xyz2+++− 222 xyz 4 ++= 2 17 0 . B. xyz2+ 22 + +4 yz + 6 += 50. C. x2+ y 22 + z −20 xyz +−=. D. xyz2+ 22 + −=10. Lời giải Chọn A Xét mặt cầu có phương trình xyz2+++− 222 xyz 4 ++= 2 17 0 có a=−==−=1, bc 2, 1, d 17. Khi đó abcd222+ + −=−<11 0. Vậy phương trình xyz2+++− 222 xyz 4 ++= 2 17 0 không phải là phương trình mặt cầu.
5. xyz Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : + +=1. Vec tơ nào sau đây không là vec 1− 23 tơ pháp tuyến của (α )?   −11   A. n1 1; ; . B. n4 (1;− 2; 3) . 23   11   C. n2 −−1; ; . D. n3 (6;− 3; 2) . 23 Lời giải Chọn B xyz 11   −11 (α ) : ++=⇔−+−=1 xyz1 0. Vec tơ n1 1; ; là một vec tơ pháp tuyến của 1− 23 2 3 23 (α ). = Câu 17: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y fx( ) (tham khảo hình vẽ), trục Ox và các đường thẳng x= ax; = ba( < b) là b b 2 A. S= −∫ f( x) dx. B. S= π ∫  f( x) dx. a a b b 2 C. S= −∫  f( x) dx. D. S= ∫ f( x) dx. a a Lời giải Chọn A bb S=∫∫ f( x) dx = − f( x) dx. aa Câu 18: Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;− 4; 2 ) và bán kính R = 4. 2 22 A. (Sx) :( − 1) ++( y 4) +−( z 2) = 4. 2 22 B. (Sx) :( − 1) ++( y 4) +−( z 2) = 16. 2 22 C. (Sx) :1424.( +) +−( y) ++( z ) = 2 22 D. (Sx) :( + 1) +−( y 4) ++( z 2) = 16. Lời giải Chọn B 2 22 (Sx) :( − 1) ++( y 4) +−( z 2) = 16. Câu 19: Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx( ) =2sin x − x. x2 x2 A. 2cosxC−+ 1 . B. −2cos xx −+2 C. C. −2cos xC −+. D. 2cos xC−+. 2 2 Lời giải Chọn C x2 Ta có: fxx( )d=( 2sin xxx −) d = 2 sin xxxx d − d =− 2cos x −+ C. ∫ ∫ ∫∫ 2
6. π 4 Câu 20: Tính tích phân I=∫ (1 + cot2 xx) d . π 6 A. I =13 − . B. I =31 − . C. I =1. D. I = 3 . Lời giải Chọn B ππ 441 π ππ I=1cot +2 xx d = d x =− cot x4 =− cot + cot =−+ 1 3 = 31 − Ta có: ∫∫( ) 2 π . ππsin x 6 4 6 66 Câu 21: Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt( ) =−+2 t 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. A. 24 (m). B. 21(m). C. 25 (m). D. 16(m). Lời giải Chọn C Ta có: vt( ) = 0 ⇔−2t + 10 = 0 ⇔−2t =− 10 ⇔=t 5. Khi xe dừng hẳn thì vận tốc vt( ) = 0 nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là t = 5 (s). Vậy quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là: 5 5 S=( −+2 t 10) d tt =−+22 10 t =−+ 5 10.5 = 25 (m). ∫ ( ) 0 0 Câu 22: Cho hình phẳng giới hạn các đường y=5x , yx = 0, = − 2 và x = 2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng D quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. Vx= ∫ 5d2x . B. Vx= π ∫ 25x d . C. Vx= π ∫ 5dx . D. Vx= ∫ 5dx . −2 −2 −2 −2 Lời giải Chọn B Thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng D quay quanh trục hoành được tính theo công 22 2 thức V= ππ∫∫(5xx) d xx= 25 d . −−22 x−−12 yz Câu 23: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M (2;0;1) đến đường thẳng d : = = 121 bằng 12 A. . B. 12 . C. 3 . D. 2 . 6 Lời giải Chọn D Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là a = (1;2;1) và điểm Md0 (1;0;2)∈ .   =−  =−− MM 00( 1;0;1) ;MM , a ( 2;2; 2) .   222 MM0 , a (−22) + +−( 2) Vậy d,(Md) = = = 2. a 1212++ 22
7. Câu 24: Trong không gian Oxyz , điểm M (3;4;− 2) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây? A. (Pz) :−= 20. B. (Qxy) :+−= 70. C. (Rxyz) :+++= 30. D. (Sx) :−= 40. Lời giải Chọn B Thay tọa độ điểm M (3;4;− 2) lần lượt vào phương trình mặt phẳng trong các phương án: Xét phương án A ta thấy −−22 =−≠ 40 ⇒MP ∉( ) . Xét phương án B ta thấy 347+−=⇒ 0 MQ ∈( ) . Xét phương án C ta thấy 342380+−+=≠⇒MR ∉( ) . Xét phương án D ta thấy 34− =−≠ 10 ⇒MS ∉( ) . Câu 25: Cho số phức z= a + bi (ab, ∈ ) . Môđun của z được tính bới công thức nào sau đây? 2 A. z= ab22 + . B. zab=22 + . C. z= a2 + ( bi) . D. z= ab + . Lời giải Chọn A Theo công thức tính ta có z=+= a bi a22 + b . 3 Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn của số phức ( 3 + i) là A. N (8; 0) . B. M (0;8) . C. Q( 3;1) . D. P(3 3;3) . Lời giải Chọn B 3 Ta có ( 3+i) = 33 ++ 9 i 33 ii23 += 8 i. 3 Vậy điểm biểu diễn của số phức ( 3 + i) là M (0;8) . Câu 27: Tính thể tích vật thể giới hạn bới hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (03<<x ) là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 29( − x2 ) A. V = 9π . B. V =18. C. V = 9. D. V =18π . Lời giải Chọn D Gọi a là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 29( − x2 ) , 11 Khi đó ta có 29( −xa22) = 2 ⇔= a 9 − x. Diện tích Sx( ) = a22 =(9 − x) . 22 3 33 3 112 x Thể tích cần tìm V= S( x) dx =−(9 x) dx = 99 x −=. ∫∫2 23 00 0
8. Câu 28: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 =15( m/s) thì tăng tốc với gia tốc at( ) = t22 + 4 t( m/s ) . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 69,75(m) . B. 87,75(m) . C. 67,25(m) . D. 68,25(m) . Lời giải Chọn A t3 Ta có at( ) =+⇒ t224 t vt( ) = at( ) d2 t =+ t + CC( ∈ ) . ∫ 3 t3 Theo giả thiết v(0) = 15 ⇒= C 15 ⇒ vt( ) =+2 t2 + 15 . 3 3 3 34 tt23 2  Vậy S= ++2 t 15  d t = + tt +15  = 69,75 . ∫ 3 12 3 0   0 Câu 29: Cho số phức z=+∈ a bi( a, b ) . Số phức z2 là số thuần ảo khi và chỉ khi A. ab22+=0 . B. b = 0 . C. a = 0 . D. ab22−=0. Lời giải Chọn D 2 Ta có: z2=+( a bi) =+ a222 abi −=−+ b 22 a b abi . z2 là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔−=ab220 . Câu 30: Hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx=1 − 2 và Ox khi quay quanh Oy tạo thành vật thể có thể tích là π 16π 16 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 15 15 2 Lời giải Chọn A y ≤1 Ta có: y=−11 xx22 ⇔ =−⇔ y . xy=±−1 1 11 2 2 y π Vậy V=πππ f( yy)d =−=−=( 1d yy)  y . ∫∫ 22 000 Câu 31: Trong không gian O,xyz tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (P) :2 x+ 2 yz −+= 1 0 và (Q) :2 x+ 2 yz −−= 5 0. 5 A. d = 6. B. d = 2. C. d = . D. d = 4 . 3 Lời giải Chọn B 15−−( ) Vì (PQ) //( ) nên dP( );( Q) = = 2. ( ) 2 2222+ +−( 1)
9. xyz+−−112 Câu 32: Trong không gian O,xyz cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 213 (Pxyz) :− −−= 1 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1;1;− 2) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d xyz++−112 xyz++−112 A. ∆==:. B. ∆==:. 2−− 53 25− 3 xyz−−+112 xyz−−+112 C. ∆==:. D. ∆==: 2−− 53 25− 3 Lời giải Chọn D     Đường thẳng d có VTCP: ud = ( 2;1; 3) , mặt phẳng (P) có VTPT: np =( 1; −− 1; 1) . Đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên có    = = − VTCP: u∆  udp , n ( 2;5; 3) Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1;1;− 2) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với xyz−−+112 đường thẳng d là: ∆==:. 25− 3 Câu 33: Biết Fx( ) = ex − 2 x2 là một nguyên hàm cảu hàm số fx( ) trên . Khi đó ∫ f(2 x) dx bằng: 1 1 A. e22x −+ xC. B. 24ex −+ xC2 . C. e22x −+4. xC D. e22x −+8. xC. 2 2 Lời giải Chọn C Fx( ) = ex − 2 x2 là một nguyên hàm cảu hàm số fx( ) trên . fxFxe( ) =/( ) =−⇒x4 x fxe( 2) =22 xx − 4.( 2 xe) = − 8 x . 1 f(2 x) dx=( e2xx − 8 x) dx = e22 −+ 4. x C ∫∫ 2 Câu 34: Cho hàm số fx( ) có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f (01) = − và f (11) = . Tính tích phân 1 I= ∫ fxx′( )d . 0 A. I = −1. B. I = −2 . C. I =1. D. I = 2 . Lời giải Chọn D 1 1 Ta có I= f′( x)d x = fx( ) = f( 1) − f( 01) = −−( 12) = . ∫ 0 0 2 Câu 35: Trong mặt phẳng Oxy , gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức zi1 =(2 − ) 1− i , z2 =3 + ai , z3 = (với a ∈ ). Tìm a để ∆ABC vuông tại B . 1+ i A. a = 4 . B. aa=−∨41 =−. C. a = −4 . D. a = −1. Lời giải Chọn D
10. 2 1− i Ta có zi=−=−(2) 34 i, zi= = − . 1 3 1+ i Do đó các điểm A(3;− 4) , Ba(3; ), C (0;− 1) lần lượt biểu diễn cho các số phức z1 , z2 , z3 .   BA.0 BC =    a = −4 Từ giả thiết ∆ABC vuông tại B ta có BA=(0; −− 4 a) ⇔( 4 + a)( 1 + a) = 0 ⇔ .  a = −1 BC=−( 3; −− 1 a) Với a = −4 ta có điểm A trùng điểm B nên loại trường hợp a = −4 . Ta nhận a = −1. Câu 36: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 22 (Sx) :( − 1) + y2 ++( z2) = 6, đồng thời song song với hai đường thẳng x−2 yz −− 11 xy+−22 z d1 : = = và d2 : = = . 3−− 11 11− 1 xy−+2 z += 90 xy++2 z += 90 A.  . B. xy++2 z += 90. C.  . D. xy−+2 z −= 30. xy−+2 z −= 30 xy++2 z −= 30 Lời giải Chọn C 222 Xét mặt cầu (Sx) :1( −) + y ++( z 26) = có tâm I (1; 0;− 2 ) và bán kính r = 6 . x−2 yz −− 11 xy+−22 z Hai đường thẳng d1 : = = và d2 : = = lần lượt có vectơ chỉ phương 3−− 11 11− 1 là a =(3;1;1 −−) và b =(1;1; − 1). Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng đã cho nên (P) có vectơ pháp tuyến  n= ab, = ( 2; 2; 4) hay m = (1;1; 2 ) .  Suy ra (P) có phương trình tổng quát dạng: xy++20 zm + =. Vì(P) tiếp xúc với mặt cầu(S ) , 104+−+m mm−=36 = 9 nên dI( ,( P)) =⇔ r =6 ⇔m −=⇔ 36  ⇔ . 114++ mm−=−36 =− 3 xy++2 z += 90 Vậy (P) có phương trình tổng quát là  . xy++2 z −= 30 − Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành MNPQ , biết M (1;1;1) , N( 2;2;3)và −− Q( 5; 2;2) . Toạ độ điểm P là A. P(−− 8; 1;4). B. P(4;5; 2). C. P(−− 2; 3;0). D. P(2; 3; 0). Lời giải Chọn A    Hình bình hành MNPQ , ta có MN=⇒=− QP QP ( 3;1; 2 ) . Suy ra toạ độ của điểm P(−−8; 1;4) . 2 Câu 38: Cho phương trình z+ az += b 0 có một nghiệm phức 23− i ( a và b là các số thực). Tính T= ab . A. T = 4 . B. T = 52 . C. T = 13. D. T = −52 . Lời giải
11. Chọn D Thay zi=23 − vào phương trình z2 + az += b 0 . Ta có: 2 25ab+= a =− 4 (23−i) + a( 23 − ib) +=⇔ 0  ⇔ . −=3ab 12 = 13 Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;3) và B(0;4;− 1) . Mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy đồng thời đi qua hai điểm A và B có bán kính R bằng A. R = 5 . B. R = 10 . C. R = 7 . D. R = 1. Lời giải Chọn B Mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy nên Ib(0; ;0) . Mặt cầu đi qua hai điểm A(0;2;3) và B(0;4;− 1) , suy ra: IA= R 22  ⇒=⇒=IA IB IA22 IB ⇔−+=−+⇔=(2 b) 343( b) 12 b 1. IB= R 2 Suy ra, ta có R== IA (2 −+= 1) 32 10 .  xt=64 −  Câu 40: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng dy:2 =−− t. Tìm toạ độ hình  zt=−+12 chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d A. (10;1;3−−) . B. (6;−− 2; 1) . C. (2;− 3;1). D. (1;− 1; 0 ) . Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d có VTCP u =−−( 4; 1; 2 ) .  Nên HdHtt∈ ⇒(6 − 4;2 −− ;1 −+ 2 tAH) ⇒ =( 5 − 4;3 tt −− ;2 −+ 2 t) .   AH⊥ u ⇒ AH. u = 0 ⇔− 4.( 5 − 4t) − 1.( − 3 − t) + 2.( − 2 + 2 t) = 0 ⇔ t = 1. Vậy H (2;− 3;1) m Câu 41: Cho số phức z = . Có bao nhiêu số nguyên âm của m để zi−≤1? mi+ A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D m Ta có zi−≤⇔11 −≤⇔−i mimi( +≤+⇔+−) mi m1 mimi ≤+ mi+ 2 ⇔(m +1) + m22 ≤ m + 1 ⇔ mm 2 + 20 ≤ ⇔− 2 ≤ m ≤ 0. Nên có 2 giá trị m thoả đề bài.
12. 1 Câu 42: Cho hàm số fx( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả f (12) = và ∫ x.1 f′( x) dx = . Tính 0 1 tích phân I= ∫ f( x) dx . 0 A. I = −3 . B. I = 3 C. I = −1. D. I =1 Lời giải Chọn D u= x du= dx + Đặt ⇒ . dv= f′( x) dx v= f( x) 11 ′ =⇔−=1 +Nên ∫∫x. f( x) dx 1 x . f( x) 0 f( x) dx 1. 00 1 Suy ra I=∫ f( x) dx =1.11211 f ( ) −= −=. 0 Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm AB, và C . Biết trực tâm của tam giác ABC là H (3;− 1;1) . Phương trình mặt phẳng (P) là A. 3xyz−+− 11 = 0. B. 3xyz− ++= 10. C. xy−+3 z −= 70. D. x+3 yz −+= 10. Lời giải Chọn A Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox,, Oy Oz lần lượt tại các điểm Aa( ;0;0) , B( 0; b ;0) xyz và Cc(0;0; ) . Khi đó (P) :1++=( đk: abc,,≠ 0). abc 311 Ta có H (3;− 1;1) là trực tâm của tam giác ABC nên HP∈( ) . Do đó ta được: −+=1(1). abc     Mặt khác ta lại có AH=(3 − a ; − 1;1) ; BH =( 3; −− 1 bBC ;1) ; =( 0; − bcAC ;) ; =−( ac ;0; ) .   AH.0 BC= b += c 0 b =− 3 a H (3;− 1;1) là trực tâm của tam giác ABC nên   ⇔⇔ . BH.0 AC = −30ac += c = 3 a 3 1 1 11 Từ (1) ta được + + =⇔=1 a . Suy ra bc=−=11, 11. aaa33 3 311 Khi đó (P) : x− y + z =⇔1 3 xyz −+− 11 = 0 . 11 11 11 Câu 44: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện ( z+−1 izi)( −) là số thực. Biết tập hợp các điểm biểu diễn hình học của z là một đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đó là A. −1. B. 2 . C. −2 . D. 1. Lời giải Chọn C Đặt z=+∈ x yi,,( x y ) . Ta có ( z+−1 izi)( −) =(( x + 11) +( y −) ix)( −( y + 1) i)
13. =xx( ++1) ( y + 11)( y −+)  xy( −− 1) ( x + 11)( y +) i. Khi đó ( z+−1 izi)( −) là số thực ⇔xy( −−1) ( x + 1)( y += 10) ⇔=−−yx21. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn hình học của z thỏa mãn bài toán là đường thẳng ∆:yx =−− 21. Ta thấy ∆ có hệ số góc là k = −2 . Câu 45: Cho elip (E) có độ dài trục lớn AA12= 8 và độ dài trục nhỏ BB12= 6 . Gọi M , N , P , Q là các điểm trên elip (E) sao cho MNPQ là một hình vuông. Gọi S là diện tích của phần được gạch chéo (tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 26<<S 27 . B. 59<<S . C. 13<<S 14 . D. 67<<S . Lời giải Chọn A xy22 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó elip (E) có phương trình: +=1 (E) . 16 9 Vì MNPQ là hình vuông. Gọi M( aa; )∈( E) (03<<a ) . aa22 25a2 12 Suy ra: +=1 ⇔=1 ⇒=a . 16 9 144 5 xy22 3 Ta có: +=1 ⇒=±yx16 −2 . 16 9 4 Suy ra diện tích của phần được gạch chéo là 12 12 55CASIO 3 22 S=2∫∫ 2 16 −=xx d 3( 16 − xx) d ≈ 26,964 . 004 2 Câu 46: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình zm+=0 có nghiệm phức z0 thỏa mãn z0 =1?
14. A. 3. B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có: zz00= =1 (*) . 2 Vì z0 là nghiệm của phương trình zm+=0 nên: 2 2 22 2 zm0 +=0 ⇒=−mz0 ⇒mzzz =−=000 = = zz 00 =⇒=±11 m . 848 Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( 2;2;1) và B− ;; . Biết điểm I( abc;;) là 333 tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Tính giá trị biểu thức S=++ abc. A. S =1. B. S = 3. C. S = 2 . D. S = 0 . Lời giải Chọn C 222 22 2 848  Ta có OA =22 + +−( 1) = 3; OB =−+  + =4 , 333  2 22 848    AB = −−2  + − 2  + − 15  =. 333    I( abc;;) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB nên ta có  8 −5a + 3 −− aa + 42( −) = 0 3  −=12aa 0 =0     4  AB. IO+ OA . IB + OB . IA = 0 ⇔− 5 b + 3 − b + 42( − b) = 0 ⇔−12bb + 12 = 0 ⇔ = 1 .  3  −12cc += 12 0 = 1  8 −+5cc 3 − + 41( −= c) 0  3 Vậy S=++= abc 2 .
15. Câu 48: Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy điểm C sao cho góc CAB =30 ° . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H ) ( phần gạch chéo trong hình ) quanh đường thẳng AB biết AB = 4 7 53 32 14 A. V = π . B. V = π . C. V = π . D. V = π . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có ∆ABC vuông ở C ⇒=AC2 3; BC = 2. Gọi I là hình chiếu vuông góc của C lên AB ⇒AI = AC.cos 30 °= 3; CI = 3 Gán hệ trục Oxy sao cho OA≡ và B(4;0) . Khi đó: I ( 3;0) và C ( 3; 3) . 1 Nửa đường tròn có phương trình là y=4 xx − 2 ; đường thẳng AC: y= x . 3 Vậy thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H ) ( phần gạch chéo trong hình ) quanh đường thẳng AB bằng 2 3 4 2 342 1 22x V=π∫ xd x + π ∫( 4 xx −=) d x ππ ∫∫ d x +−( 4d xx) x 03 3 033 4 333 xx2 64 14 =π + π2x − =+ 3ππ 32 −−−( 18 9) =π. 93 3 3 0 3  Thử lại m = ±1 thỏa mãn bài toán. Vậy có 2 giá trị thực của m .
16. xt=1 +  Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng dy1 : = 12 + t. Gọi d2 là đường thẳng qua điểm  zt=12 − A(1;1;1) và có vectơ chỉ phương u = (3; 0; 4) . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình là: xyz−−−111 xyz−−−111 A. d : = = . B. d : = = . 1− 13 751 xyz−−−322 xyz−+−3 4 12 C. d : = = . D. d : = = . 211 2− 5 11 Lời giải Chọn D  Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: u =(1; 2; − 2 ) ; u = 3 1 d1 d1 Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: u = (3; 0; 4) ; u = 5. 2 d2 d2 uudd⋅ 1.3+− 2.0 2.4 1 Xét: cosuu ; =12 = = − ⇒ uu, là góc tù ( dd12) ( dd12) uu. 3.5 3 dd12 ⇒ (uudd,− ) là góc nhọn ⇒ (dd12,,) =( udd − u) . 12 12  Gọi d là đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 . Đường thẳng d uudd4 2 22 2 =−=−−=−−12 − có một vectơ chỉ phương là: ud ;; .( 2; 5;11)  ( 2; 5;11) . uu15 3 15 15 dd12 Nhận xét: A(1;1;1) ≡∩ dd12 ⇒ Ad(1;1;1)∈ . xyz−−−1 1 1 x − 3 y + 4 z − 12 Vậy phương trình của đường thẳng d là: dd::==⇔==. 2−− 5 11 2 5 11 Câu 50: Xét các số phức z và w thỏa mãn wi−=2 và z+=2 iw . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính Mm+ ? A. 6 . B. 2 . C. 5. D. 4 . Lời giải Chọn A (*) Cách 1:  w−=⇔ i2 iw +=⇔ 12 z + 32 =.  Áp dụng BĐT mô-đun: 2=+≥zz 3 −⇔≤≤ 31 z 5 1 + z =1 khi: z=−>3 kk ; 0 ⇒ −31kk =⇔= ⇒ z = −1 11 113 5 + z = 5 khi: z=−>3 kk ; 0 ⇒ −35kk =⇔= ⇒ z = −5 22 223  Vậy: mz=min = 1 và Mz=max = 5 ⇒ Mm+=6 . (*) Cách 2:
17. y M R -3 M2 I M1 O x (C)  w−=⇔ i2 iw +=⇔ 12 z + 32 =. 2 Đặt: z= x + yi ; ta có: z+32 = ⇔ x ++ 3 yi = 2 ⇔( x + 3) + y2 = 4. Do đó: tập hợp các điểm M( xy; ) biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (−3; 0) và bán kính R = 2 .  OI− R ≤ z = OM ≤ OI + R ⇔≤15 z ≤. Các dấu “=” đạt được khi: OIM,,12 , M thẳng hàng (với M1 là điểm biểu diễn zmin và M 2 là điểm biểu diễn zmax ).  Vậy: mz=min = 1 và Mz=max = 5 ⇒ Mm+=6 .