Đề ôn tập kiểm tra học kì 1 Toán Lớp 12 - Đề số 5 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra học kì 1 Toán Lớp 12 - Đề số 5 (Có lời giải)

1. Câu 1. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A B C D có AB=1, AD = 2, AA = 3. Thể tích của khối hộp đã cho bằng 4 A. 6. B. . C. 2. D. 3. 3 Câu 2. Cho hàm số y= f( x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Số nghiệm của phương trình fx( ) = 3 là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu 3. Cho phương trình 4xx− 3.2+1 + 2 = 0. Khi đặt t = 2,x ta được phương trình nào sau đây? A. tt2 −3 + 1 = 0. B. 2tt2 − 3 + 2 = 0. C. tt2 −6 + 2 = 0. D. tt2 −3 + 2 = 0. Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình log22 (1− 2x ) log 3 là 1 y A. ; 1 . B. (− ; − 1) . 2 1 −1 1 C. (− ; − 1 . D. −1; . 2 O x Câu 5. Hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? −1 A. y= x42 −2 x − 1. B. y= − x42 −2 x − 1. C. y= x32 − x + x −1. D. y= − x42 +2 x − 1. Câu 6. Một khối lập phương có thể tích bằng 33a3 thì cạnh của khối lập phương đó bằng a 3 A. a 3 . B. 3a . C. 33a . D. . 3 53
2. ln8 Câu 7. Giá trị của bằng ln 2 A. 2ln 2. B. 3ln 2. C. 4. D. 3. Câu 8. Cho hàm số y= f( x) liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Câu 9. Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 2 a . Thể tích khối chóp đã cho bằng 2a3 4a3 A. 2.a B. . C. . D. a3. 3 3 Câu 10. Đồ thị của hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang? 1 21x + A. y = . B. y=+2. x2 x C. ye= x . D. y = . 2xx2 + x + 2 Câu 11. Cho hàm số y= f( x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. (−1; + ). B. (−1;4) . C. (−1;1) . D. (− ;0 ) . Câu 12. Cho khối hộp có diện tích đáy là 3a2 và chiều cao là a 3 . Thể tích khối hộp là: A. 3a3 . B. 3a3 . C. 33a3 . D. 3a2 . Câu 13. Cho hàm số y= f( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f( x) −3 m + 5 = 0 có ba nghiệm phân biệt. A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 14. Đạo hàm của hàm số yx=−log3 (1 2 ) là 2 −2ln 3 −2 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . (1− 2x )ln 3 12− x (1− 2x )ln 3 (1− 2x )ln 3 Câu 15. Trong các hàm số sau hàm số nào có 2 điểm cực tiểu: x3 A. y= x2 −23 x + . B. yx= −2 +1. C. y=− x42 x . D. y= − x42 +21 x + . 3 54
3. Câu 16. Cho ab, là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn loga b = 2 . Tính giá trị biểu thức P=+log b log b5 a22 ab A. P = 3. B. P = 4 . C. P = 2 . D. P = 5. 1 Câu 17. Tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = bằng: xx42+−2 A. 5. B. 3 . C. 4 . D. 1. 2 1 Câu 18. Gọi xx, là nghiệm của phương trình 3.xx−3 = Tính xx+ . 12 3 12 A. 5. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 19. Cho hàm số y= f( x) liên tục trên −1;4 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên −1;4. Giá trị của Mm+ 2 bằng A. 0. B. -3. C. -5. D. 2. Câu 20. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a , chiều cao là 3a . Diện tích xung quanh của hình nón bằng: A. 24 a2 . B. 12 a2 . C. 20 a2 . D. 40 a2 . 2 Câu 21. Cho hàm số y=log1 ( 1 − 2 x + x ). Chọn mệnh đề đúng. x A. Hàm số liên tục trên (0;+ ) \ 1. B. Hàm số liên tục trên (0;1) ( 1; + ) . C. Hàm số liên tục trên khoảng (1; + ) . D. Hàm số liên tục trên (0; + ). Câu 22. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SBA = 30 . Thể tích khối chóp S. ABC bằng: a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 12 Câu 23. Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm f ( x) = x( x +12)( x − )2 với mọi x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn −1;3 là A. f (2) . B. f (3) . C. f (−1). D. f (0) . Câu 24. Cho hàm số y= f( x) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 25. Hàm số y=ln( x32 − 3 x + 1) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 . 55
4. 2 Câu 26. Cho hàm số fx( ) = 2xx−+11 .3 . Phương trình fx( ) = 1 không tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau đây? 2 2 A. ( xx−1) log1 2 = + 1. B. xx−1 +( + 1) log2 3 = 0 . 3 2 2 C. ( xx−1) log3 2 + + 1 = 0 . D. xx−1 +( + 1) log1 3 = 0 . 2 Câu 27. Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 48 . B. 24 . C. 96 . D. 36 . Câu 28. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x2 −32 x + vuông góc với đường thẳng yx=+1 có phương trình A. yx= − −1. B. yx= −21 + . C. yx= − +1. D. yx= −21 − . Câu 29. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA⊥ ( ABC) và SA= a 2 (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng A. 60o . B. 90o . C. 45o . D. 30o . 1 Câu 30. Điều kiện cần và đủ của m để hàm số y= x32 − mx +45 x + có hai điểm 3 cực trị là A. m −\( 2;2) . B. m ( − −2) ( 2; + ) . C. m −( 2;2) . D. m − 2;2 . Câu 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB= a, BAC =1200 , AA = 2. a Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. A B C bằng 16 a2 A. 8 a2 . B. 4 a2 . C. . D. 16 a2 . 3 Câu 32. Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho hàm số y= x32 + x +(1 − m ) x + 2 đồng biến trên (1;+ ) ? A. 5 . B. 7 . C. Vô số. D. 6 . x1 Câu 33. Phương trình 2log( xx+ 2) + log 4 = log + 4log3 có hai nghiệm phân biệt xx12, ( xx12 ) . Tính P = x2 1 1 A. P = 4 . B. P = . C. P = . D. P = 64 . 64 4 Câu 34. Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm f ( x) =− x2 2 x với mọi x . Hàm số g( x) =−2 f( x) đồng biến trên khoảng A. (2; + ) . B. (− ;2 − ) . C. (0;2) . D. (−2;0) . x−1 Câu 35. Tập xác định của hàm số y=log2 ( 3 − x) + e là A. (− ;3) . B. 1;3) . C. (1;3) . D. (3; + ) . Câu 36. Tập nghiệm bất phương trình log22( xx− 3) + log( − 2) 1 là A. (3;4). B. 1;4. C. (1;3) . D. (3;4 . 56
5. x4 3 Câu 37. Biết rằng đường thẳng y =1 cắt đường cong (C) : y= − − x2 + tại hai điểm phân biệt A và B . 22 Tính độ dài đoạn AB . A. 4 2+ 4 . B. 4 2− 4 . C. 21+ . D. 21− . Câu 38. Cho hình nón ( N ) ngoại tiếp một hình chóp, đáy hình chóp là tam giác đều cạnh a , chiều cao hình chóp là 3a . Tính thể tích khối nón xác định bởi hình nón ( N ) (tham khảo hình vẽ). a3 a3 A. . B. . 2 3 2 a3 C. a3 . D. . 3 Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , SA= a, ABCD là hình thoi cạnh a , BAD = 60 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . (mx++12) 1 Câu 40. Giả sử giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn 1;3 bằng , mệnh đề nào dưới đây −+xm 2 đúng? 1 A. m ( −5; − 3) . B. m (2;4) . C. m ( −9; − 6) . D. m − 1; . 2 Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log log 3x + 1 log m có 0,02 2( ) 0,02 nghiệm với mọi x ( − ;0) . A. 0 m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 2. Câu 42. Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB==2 a , AC 3 a , SA vuông góc với ( ABC) , SA= 5 a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . a 38 a 38 A. R = . B. Ra= 38 . C. R = 38 . D. R = . 4 2 Câu 43. Một tấm vải được quấn 100 vòng ( theo chiều dài tấm vải) quanh một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm . Biết rằng bề dày tấm vải là 0.3cm . Khi đó chiều dài tấm vải gần với số nguyên nào nhất dưới đây ? A. 150m. B. 120m. C. 125m. D. 130m. Câu 44. Cho hàm số f( x) = x32 −6 x + 9 x − 4 . Số điểm cực trị của hàm số y= f( x ) bằng. A. 11. B. 5 . C. 7 . D. 6 . Câu 45. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc mặt phẳng đáy. Biết góc BAC==300 , SA a và BA== BC a . Gọi D là điểm đối xứng của B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng 21 51 17 17 A. a . B. a . C. a . D. a . 7 51 68 51 Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn −2022;2022 thỏa mãn bất phương trình sau 16x+ 25 x + 36 x 20 x + 24 x + 30 x . 57
6. A. 3 . B. 2022 . C. 1. D. 0 . Câu 47. Cho hình nón đỉnh S , đường tròn đáy tâm O bán kính r = 3, đường cao SO = 3. Mặt phẳng (P) di động luôn vuông góc với SO tại điểm H và cắt mặt nón theo giao tuyến là đường tròn (C) . Mặt cầu (T ) chứa (C) và tiếp xúc với đáy hình nón tại O . Thể tích khối cầu (T ) đạt giá trị nhỏ nhất gần với giá trị nào sau đây? A. 8,2. B. 8,3 . C. 8,0 . D. 8,1. Câu 48. Cho hàm số y= f( x) có bảng biến thiên: Có bao nhiêu số nguyên m − 2022;2022 để bất phương trình f( x−11 +) m có nghiệm? A. 2022 . B. 2025 . C. 4044 . D. 4045 . Câu 49. Cho hàm số đa thức fx( ) có đạo hàm trên . Biết f (00) = và đồ thị hàm số y= f ( x) như hình sau. Hàm số g( x) =+4 f( x) x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+ ) . B. (0;4) . C. (− ; − 2) . D. (−20;.) Câu 50. Cho hai số thực dương xy, thỏa mãn lnx+ x( x + y) ln( 4 − y) + 4 x . Khi biểu thức 1 147 x P=8 x + 16 y + + đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị thuộc khoảng nào sau đây? xy y 1 11 1 A. ;1 . B. ; . C. 0; . D. (1; 2) . 2 42 4 ___HẾT___ 58
7. ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C D A D D B B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C D C C A B C B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 C D D B C D A C A B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D B C A D B B A C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B D C C A C C B B C Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng & vaän duïng cao ñeà soá 05 Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log log 3x + 1 log m có 0,02 2( ) 0,02 nghiệm với mọi x ( − ;0) . A. 0 m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 2. Hướng dẫn giải: x x log2 ( 3+ 1) 0 3+ 1 1 x Điều kiện: . m 0 m 0 m 0 Ta có: log log 3x + 1 logmx ,  − ;0 log 3x + 1 mx ,  − ;0 0,02 2( ) 0,02 ( ) 2 ( ) ( ) 3xm + 1 2 , x ( − ;0) . Xét hàm fx( ) =+31x với x ( − ;0) . Ta có f ( x) =3x .ln 3 0,  x ( − ;0) . Bảng biến thiên của hàm fx( ) : Bất phương trình có nghiệm với mọi x ( − ;0) 22m m 1. Chọn B. Câu 42. Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB==2 a , AC 3 a , SA vuông góc với ( ABC) , SA= 5 a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . a 38 a 38 A. R = . B. Ra= 38 . C. R = 38 . D. R = . 4 2 Hướng dẫn giải: 59
8. Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp này được tính dựa vào công 2 SA 2 thức: Rr=+ (*) , trong đó SA= 5 a ; r là bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. BC a 13 Vì tam giác ABC vuông tại A nên r == . 22 2 2 5a a 13 a 38 Thay vào (*), ta được: R = + = . Chọn D. 2 2 2 Câu 43. Một tấm vải được quấn 100 vòng ( theo chiều dài tấm vải) quanh một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm . Biết rằng bề dày tấm vải là 0.3cm . Khi đó chiều dài tấm vải gần với số nguyên nào nhất dưới đây ? A. 150m. B. 120m. C. 125m. D. 130m. Hướng dẫn giải: Bán kính hình trụ bằng r1 = 5 (cm) nên vòng dây (vải) ban đầu có chu vi là 2 .r1 = 2 .5 (cm) . Vòng dây (vải) thứ hai có bán kính tăng thêm 0,3 (cm) nên có chu vi là: 2 r2 =+ 2( 5 0,3) (cm) . Tương tự như vậy cho vòng dây (vải) thứ ba, chu vi là: 2 r3 =+ 2( 5 2.0,3) (cm) . Vòng dây (vải) thứ 100 có chu vi là: 2 r100 =+ 2( 5 99.0,3) (cm) (1+ 99) 99 Vậy, tổng độ dài tấm vải là: C =2 5.100 + 0,3.( 1 + 2 + + 99) = 2 5.100 + 0,3. 2 C=3970 12472 cm = 124,72 m . Vậy chiều dài tấm vải gần với . Chọn C. Câu 44. Cho hàm số f( x) = x32 −6 x + 9 x − 4 . Số điểm cực trị của hàm số y= f( x ) bằng. A. 11. B. 5 . C. 7 . D. 6 . Hướng dẫn giải: Ta có đồ thị hàm số f( x) = x32 −6 x + 9 x − 4 (hình 1). Từ đó vẽ được đồ thị hàm số y= f( x ) theo quy tắc gồm hai bước: • Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y= f( x) nằm bên phải trục Oy (gồm cả điểm trên trục ). (Xóa phần đồ thị nằm bên trái trục ). • Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục qua . Hợp đồ thị của hai bước trên ta được đồ thị (hình 2). y y O 1 3 x -3 O 1 3 x -4 -4 60
9. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Tiếp theo, từ đồ thị y= f( x ) ta thực hiện hai bước sau: • Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục Ox (kẻ cả điểm thuộc ). • Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới qua (xóa phần nằm dưới ấy). Hợp đồ thị của hai bước trên, ta có đồ thị y= f( x ) (hình 3). Vậy hàm số y= f( x ) có 7 điểm cực trị. Chọn C. Câu 45. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc mặt phẳng đáy. Biết góc BAC==300 , SA a và BA== BC a . Gọi D là điểm đối xứng của B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng 21 51 17 17 A. a . B. a . C. a . D. a . 7 51 68 51 Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm AC , vì BA= BC nên BO⊥ AC . Điểm là điểm đối xứng với qua nên O là trung điểm của BD. Ta thấy tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành, mà nên ABCD là hình thoi. Vì BAC==300 BCA nên ABC==1200 ADC , suy ra BAD = 600 , do vậy tam giác ABD đều. Ta có AB// ( SCD) nên d( B,,( SCD)) = d( A( SCD)) Trong (ABCD), kẻ AH⊥ CD tại H, trong tam giác SAH, dựng đường cao AK (1). CD⊥ AH Ta có: nên CD⊥ ( SAH ) , suy ra CD⊥ AK (2). CD⊥ SA Từ (1) và (2) suy ra AK⊥ ( SCD) , suy ra SA. AH d( A,( SCD)) == AK (*) SA22+ AH Xét ABD đều cạnh a với I là trung điểm AB, ta có DI⊥⊥ AB, DI CD và a 3 DI = . 2 AI// DH a 3 Vì AIDH là hình bình hành, suy ra AH== DI . AH// DI 2 a 3 a. a 21 Thay vào công thức (*), ta được: d( A,( SCD)) = AK =2 = . 3a2 7 a2 + 4 a 21 Vậy d( B,( SCD)) = . Chọn A. 7 61
10. Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn −2022;2022 thỏa mãn bất phương trình sau 16x+ 25 x + 36 x 20 x + 24 x + 30 x . A. 3 . B. 2022 . C. 1. D. 0 . Hướng dẫn giải: Ta có 16x++ ++ ++ 25 x 36 x 20 x 24 x 30 x 42 xxxxxxxxx 5 2 6 2 4 .5 + 4 .6 + 5 .6 2 2 2 2 2 2 2 4x + 5 x + 6 x − 2.4 x .5 x + 2.4 x .6 x + 2.5 x .6 x 0 4x − 5 x + 4 x − 6 x + 5 x − 6 x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x xx ( 4 ) =1 4−= 5 0 5 xx 4 x 4 − 6 = 0 ( 6 ) = 1 x = 0  − 2022;2022. xx x 5−= 6 0 5 =1 ( 6 ) Vậy có 1 giá trị nguyên của x trong đoạn thỏa mãn bất phương trình. Chọn C. Câu 47. Cho hình nón đỉnh S , đường tròn đáy tâm O bán kính r = 3, đường cao SO = 3. Mặt phẳng (P) di động luôn vuông góc với SO tại điểm H và cắt mặt nón theo giao tuyến là đường tròn (C) . Mặt cầu (T ) chứa (C) và tiếp xúc với đáy hình nón tại O . Thể tích khối cầu (T ) đạt giá trị nhỏ nhất gần với giá trị nào sau đây? A. 8,2. B. 8,3 . C. 8,0 . D. 8,1. Hướng dẫn giải: Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón (S ) . Gọi I là tâm khối cầu (T ) , M là giao điểm của (C) và SA (T ) có bán kính R== IM IO . Thể tích khối cầu (T ) nhỏ nhất khi và chỉ khi R nhỏ nhất. Xét tam giác SOA vuông cân tại O (vì SO== OA 3 ) nên SAO=4500 SMH = 45 SHM vuông cân tại H. Đặt HM== x SH ; gọi K là trung điểm OM, suy ra IK⊥ OK . Từ đây ta có: 2 OK OMxx2 +−(3 ) 2 x2 −+ 6 x 9 R = = = = . 3− x cosSOM 2cos SOM 2. 23( − x) xx2 +−(3 )2 2xx( −+ 3) 9 9 9 9 R= =−+ x =−+(3 x) − −=− 3 2 3 3 2 3. 2( 3−x) 2( 3 − x) 2( 3 − x) 2 1,24264 AM− GM 9 6− 3 2 Do vậy R =−3 2 3 ; khi đó (3−xx) = = . Min 2( 3− x) 2 3 4 R3 4 .( 3 2− 3) Thể tích nhỏ nhất của khối cầu là: V = = 8,03758. Chọn C. Min 33 Câu 48. Cho hàm số y= f( x) có bảng biến thiên: 62
11. Có bao nhiêu số nguyên m − 2022;2022 để bất phương trình f( x−11 +) m có nghiệm? A. 2022 . B. 2025 . C. 4044 . D. 4045 . Hướng dẫn giải: 1 Điều kiện: x 1. Đặt g( x) = f( x −11 + ) , ta có: g ( x) =. f( x − 1 + 1) . 21x − x 1 x 1 x 1 gx ( ) = 0 xx−1 + 1 = 1 = 1 x = 5 . fx −1 + 1 = 0 ( ) x = 5 x −+=1 1 3 Ta có: g(1) = f( 1) = 4; g( 5) = f ( 3) = − 2 . Bảng biến thiên của gx( ) : Khi đó, bất phương trình f( x−11 +) m có nghiệm x 1; + ) m −2. Mặt khác, do m nguyên thuộc −2022;2022 nên m −2; − 1;0; ;2022. Vậy có 2025 số nguyên m thỏa mãn đề bài. Chọn B. Câu 49. Cho hàm số đa thức fx( ) có đạo hàm trên . Biết f (00) = và đồ thị hàm số y= f ( x) như hình sau.Hàm số g( x) =+4 f( x) x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+ ) . B. (0;4) . C. (− ; − 2) . D. (−20;.) Hướng dẫn giải: 63
12. x 1 Xét hàm h( x) =+4 f( x) x2 trên ; h ( x) =4 f ( x) + 2 x = 4 f ( x) + =0 f ( x) = − x . 2 2 1 Vẽ đường thẳng yx=− trên cùng hệ tọa độ với đồ thị 2 y= f ( x) . Ta có h ( x) =0 x − 2;0;4 . Bảng biến thiên của hàm số hx( ) như sau: Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g( x) = h( x) như sau: Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số gx( ) đồng biến trên khoảng (0;4) . Chọn B. Câu 50. Cho hai số thực dương xy, thỏa mãn lnx+ x( x + y) ln( 4 − y) + 4 x . Khi biểu thức 1 147 x P=8 x + 16 y + + đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị thuộc khoảng nào sau đây? xy y 1 11 1 A. ;1 . B. ; . C. 0; . D. (1; 2) . 2 42 4 Hướng dẫn giải: x 0 Điều kiện xác định: . Khi đó: lnx+ x( x + y) ln( 4 − y) + 4 x 04 y lnx + x2 ln( 4 − y) + x( 4 − y) lnx + ln x + x2 ln x + ln( 4 − y) + x( 4 − y) 22 lnx + x ln x( 4 − y) + x( 4 − y) ( *) . 1 Xét hàm số f( t) =+ln t t trên khoảng (0; + ) , ta có: f ( t) = +1 0,  t 0 . t Do đó hàm số ft( ) là hàm đồng biến trên khoảng (0; + ) . Vì vậy, (*) trở thành: f( x2 ) − f( x(4 y)) x2 x(4 − y) xy + 4 (do xy;0 ). 1 147 1 147 Ta có: P=8 x + 16 y + + = 4 x + y + 4 x + + 12 y + x y x y 4 AM− GM AM− GM ??? 64
13. 1 147 4.4 + 2 4xy . + 2 12 . =104 . xy 1 7 x 1 7 1 1 Dấu bằng xảy =x , y = . Suy ra =: = 0.1429 0; . Chọn C. 2 2 y 2 2 7 4 Nhận xét: Chìa của bài này nằm ở ba chỗ: thứ nhất là xây dựng được hàm đặc trưng, thứ hai là tìm được điều kiện xy+ 4, thứ ba là nhóm các cụm và sử dụng bất đẳng thức AM− GM . Trong đó 1 147 bước ngoặt thứ ba là khó nhất, làm sao để nhóm được P=4 x + y + 4 x + + 12 y + ? xy 4 AM− GM AM− GM Ta dùng phương pháp cân bằng hệ số bất đẳng thức như sau: 1 147 1 147 Xét P= ( x + y) +(8 − ) x +( 16 − ) y + + = x + y +(8 − ) x + + ( 16 − ) y + . xy xy 4 AM− GM AM− GM 1 1 (8 −= ) x x = x 8 − 147 147 1 147 Ta cần: (16 −= ) y = y + =44 = . y 16 − 8 − 16 − CASIO x+ y =4 ( x , y 0) xy+=4 65