Kiến thức cơ bản Giải tích Lớp 12

Nội dung text: Kiến thức cơ bản Giải tích Lớp 12

1. PHẦN I. HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y f x xác định trên K ta có: • Hàm số y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: x1,x2 K ,x1 x2 f x1 f x2 • Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: x1,x2 K ,x1 x2 f x1 f x2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K * Nhận xét: f x2 f x1 • Hàm số f x đồng biến trên K 0 x ,x K , x x . Khi đó đồ thị 1 2 1 2 x2 x1 của hàm số đi lên từ trái sang phải. f x2 f x1 • Hàm số f x nghịch biến trên K 0 x ,x K , x x . Khi đó đồ 1 2 1 2 x2 x1 thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. • Nếu f x 0, x a;b hàm số f x đồng biến trên khoảng a;b . • Nếu f x 0, x a;b hàm số f x nghịch biến trên khoảng a;b . Nếu f x 0, x a;b hàm số f x không đổi trên khoảng a;b . • • Nếu f x đồng biến trên khoảng a;b f x 0, x a;b . • Nếu f x nghịch biến trên khoảng a;b f x 0,x a;b . • Nếu thay đổi khoảng a;b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. 1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số . • Tổng, hiệu: u v u v . • Tích: u.v u .v v .u C.u C.u .
2. u u .v v .u C C.u • , v 0 Thương: 2 2 v v u u • Đạo hàm hàm hợp: Nếu y f u , u u x yx yu .ux . 1.3. Bảng công thức tính đạo hàm Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp 1 C 0 (C là hằng số). x .x 1 x .x u .u 1.u 1 1 1 u (x 0) u 0 x 2 u 2 x u 1 u x x 0 u u 0 2 x 2 u sin x cosx sinu u .cosu cosx sin x cosu u .sinu 1 u tan x tanu 2 2 cos x cos u 1 u cot x cot u 2 2 sin x sin u ex ex eu u .eu ax ax .lna au u .au .lna 1 u ln x ln u x u 1 u log x log u a a xln a u.lna 1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ax b ad bc • . 2 cx d cx d a b 2 a c b c x 2 x ax 2 bx c d e d f e f • . 2 2 dx ex f dx 2 ex f 1.5. Đạo hàm cấp 2 1.5.1. Định nghĩa f x f x
3. 1.5.2. Ý nghĩa cơ học Gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t 0 là: a t 0 f t 0 . 1.5.3. Đạo hàm cấp cao n n 1 f x f x , n ¥ , n 2 . * Một số chú ý: • Nếu hàm số f x và g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f x g x . • Nếu hàm số f x và g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x .g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên K.Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f x ,g x không là các hàm số dương trên K. • Cho hàm số u u x , xác định với x a;b và u x c;d . Hàm số f u x cũng xác định với x a;b . Ta có nhận xét sau: • Giả sử hàm số u u x đồng biến với x a;b . Khi đó, hàm số f u x đồng biến với x a;b f u đồng biến với u c;d . • u u x f u x Giả sử hàm số nghịch biến với x a;b . Khi đó, hàm số nghịch biến với x a;b f u nghịch biến với u c;d . Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K • Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng biến trên K . • Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f nghịch biến trên K . Chú ý: ax b d * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y x thì dấu " " khi xét dấu cx d c đạo hàm y không xảy ra. Giả sử y f x ax 3 bx 2 cx d f x 3ax 2 2bx c. Hàm số đồng biến trên ¡ Hàm số nghịch biến trên ¡
4. a 0 a 0 0 0 f x 0;x ¡ a 0 . f x 0;x ¡ a 0 . b 0 b 0 c 0 c 0 Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a b c 0thì f x d (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) * Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng l ta giải như sau: Bước 1: Tính y f x;m ax 2 bx c. Bước 2: Hàm số đơn điệu trên x1;x2 y 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 * a 0 Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l 2 2 2 2 x1 x2 l x1 x2 4x1x2 l S 4P l * * Bước 4: Giải * và giao với * * để suy ra giá trị m cần tìm. 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1. Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói: • x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . • x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . • Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
5. PHẦN I. HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y f x xác định trên K ta có: • Hàm số y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: x1,x2 K ,x1 x2 f x1 f x2 • Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: x1,x2 K ,x1 x2 f x1 f x2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K * Nhận xét: f x2 f x1 • Hàm số f x đồng biến trên K 0 x ,x K , x x . Khi đó đồ thị 1 2 1 2 x2 x1 của hàm số đi lên từ trái sang phải. f x2 f x1 • Hàm số f x nghịch biến trên K 0 x ,x K , x x . Khi đó đồ 1 2 1 2 x2 x1 thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. • Nếu f x 0, x a;b hàm số f x đồng biến trên khoảng a;b . • Nếu f x 0, x a;b hàm số f x nghịch biến trên khoảng a;b . Nếu f x 0, x a;b hàm số f x không đổi trên khoảng a;b . • • Nếu f x đồng biến trên khoảng a;b f x 0, x a;b . • Nếu f x nghịch biến trên khoảng a;b f x 0,x a;b . • Nếu thay đổi khoảng a;b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. 1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số . • Tổng, hiệu: u v u v . • Tích: u.v u .v v .u C.u C.u .