Một số dạng toán ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán - Số phức

Nội dung text: Một số dạng toán ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán - Số phức

1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. a a ' z = z’ b b' 3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: z z ' (a a ') (b b')i z z ' (a a ') (b b')i 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: zz ' aa ' bb' (ab' a 'b)i 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z = a bi = a - bi Chú ý: 10) z = z z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 20) z. z = a2 + b2 *) Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): z z ' z z ' (3): z.z ' z.z ' (4): z. z = a2 b2 (z = a + bi )
2. 7. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:  - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM = a2 b2 - Nếu z = a + bi, thì z = z.z = a2 b2 8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số 1 1 z-1= z z a2 b2 z 2 z ' Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: z z ' z '.z z.z 1 z z 2 Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. 9. Phương trình bậc hai với hệ số thực. * Cho phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 , có b2 4ac . b + Nếu > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x 1,2 2a b + Nếu = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 2a b i | | + Nếu 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x 1,2 a b' + Nếu ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = a b' i | ' | + Nếu ' < 0, PT có 2 nghiệm phức x 1,2 a 10. Một số kết quả cần nhớ 1) i0 = 1 i4n = 1 2) i1 = i i4n + 1 = i 3) i2 = - 1 i4n + 2 = - 1 4) i3 = - i i4n + 3 = - i 5) (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i
3. B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG I. TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, các phép toán để tính toán các yếu tố có liên quan. II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 5 7i và z2 2 3i . Tìm số phức z z1 z2 . A. z 7 4i B. z 2 5i C. z 2 5i D. z 3 10i Hướng dẫn giải Ta có z z1 z2 5 7i 2 3i 7 4i Đáp án: A Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z 1 i i3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . A. a 0,b 1 B. a 2,b 1 C. a 1,b 0 D. a 1,b 2 Hướng dẫn giải Ta có z 1 i i3 1 i i 1 2i a 1,b 2 . Đáp án: D Ví dụ 3. (Mã đề 104 - QG – 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 3i 3 2i A. z 1 5i B. z 1 i C. z 5 5i D. z 1 i Hướng dẫn giải Ta có z 2 3i 3 2i z 3 2i 2 3i 1 i Đáp án: B Ví dụ 4. (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z 2 i . Tính z . A. z 3 B. z 5 C. z 2 D. z 5 Hướng dẫn giải Ta có z 22 12 5 Đáp án: D Ví dụ 5. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 3 4i là A. . 3 4i B. . 3 4iC. . 3D. 4. i 4 3i Hướng dẫn giải Đáp án: C III. BÀI TẬP Câu 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z 2 3i . B. z 3i . C. z 2 . D. z 3 i . Câu 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 4 3i và z2 7 3i . Tìm số phức z z1 z2 A. z 11. B. z 3 6i C. z 1 10i D. z 3 6i Câu 3. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 1 3i và z2 2 5i . Tìm phần ảo b của số phức z z1 z2 . A. b 2 B. b 2 C. b 3 D. b 3 Câu 4. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z 2 3i . Tìm phần thực a của z. A. a 2 B. a 3 C. a 3 D. a 2 Câu 5. (QG – 2018) Số phức 3 7i có phần ảo bằng
4. A. 3.B. 7.C. 3. D. 7 . Câu 6. (QG – 2018) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 4i . B. 4 3i . C. 3 4i . D. 4 3i . Câu 7. (QG – 2018) Số phức 5 6i có phần thực bằng A. – 5.B. 5.C. – 6.D. 6. Câu 8. (QG – 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1 3i .B. 1 3i .C. 1 3i .D. 1 3i . Câu 9. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 5 3i là A. . 5 3i B. . 3 5iC. . D. 5 3i 5 3i . Câu 10. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 3 2i là A. . 3 2i B. 3 2i . C. . 3 2i D. . 2 3i Câu 11. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 1 2i là A. 1 2i . B. 1 2i . C. 2 i . D. 1 2i . Câu 12. Cho số phức z 6 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3i B. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3 C. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3 D. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3i Câu 13. Cho 2 số phức z và z’. Các phát biểu nào sau đây sai ? 2 z z.z A. z z ' z z ' B. z.z z C. z z D. z ' z '.z Câu 14. Cho số phức z = 3- 4i. Phần thực và phần ảo số phức z là A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng - 4i; B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4; C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i; D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4. Câu 15. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = i2020. A. 0 và 2020 B. 0 và 1 C. 1 và 0 D. 2020 và 0 Câu 16. Tìm phần thực, phần ảo của z 4 i 2 3i 5 i A. phần thực là 1, phần ảo là 1 B. phần thực là 11, phần ảo là 1 C. phần thực là 1, phần ảo là 3 D. phần thực là 11, phần ảo là 3 1 i 1 i Câu 17. Cho số phức z . Trong các kết luận sau kết luận nào đúng? 1 i 1 i A. z có phần thực và phần ảo 0 . B. z là số thuần ảo. C. Mô đun của z bằng 1 D. z có phần thực và phần ảo đều bằng 0. Câu 18. Tính z z và z.z biết z 2 3i A. 4 và 13 B. 4 và 5 C. 4 và 0 D. 13 và 5 Câu 19. Cho số phức z 2 3i . Tìm số phức w = 2iz - z . A. w 8 7i B. w 8 i C. w 4 7i D. w 8 7i Câu 20. Cho số phức z1 1 3i và z2 3 4i . Môđun số phức z1 z2 là A. 17; B. 15 ; C. 4; D. 8. Câu 21. Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - 3i là:
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. a a ' z = z’ b b' 3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: z z ' (a a ') (b b')i z z ' (a a ') (b b')i 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: zz ' aa ' bb' (ab' a 'b)i 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z = a bi = a - bi Chú ý: 10) z = z z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 20) z. z = a2 + b2 *) Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): z z ' z z ' (3): z.z ' z.z ' (4): z. z = a2 b2 (z = a + bi )