Tóm tắt kiến thức ôn tập học kì 1 Toán Lớp 12

Nội dung text: Tóm tắt kiến thức ôn tập học kì 1 Toán Lớp 12

1. TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Định lí Viet thuận 2. Định lí Viet đảo Phương trình bậc hai ( ax2 bx c 0 )  S Nếu ,  là hai số có: b . P • Tổng 2 nghiệm: S x1 x2 a thì chúng là 2 nghiệm phương trình: c 2 • Tích 2 nghiệm: P x .x x Sx P 0 1 2 a 3. Điều kiện nghiệm của phương trình 4. Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa bậc hai điều kiện cho trước • Có 2 nghiệm trái dấu a.c 0 • x1 < a < x2 0 x a 0 0 • Có 2 nghiệm cùng dấu 1 P 0 x2 a 0 (x1 a)(x2 a) 0 0 • x1 < x2 < a • Có 2 nghiệm cùng dương S 0 0 x a 0 P 0 1 (x1 a) (x2 a) 0 x2 a 0 0 (x a)(x a) 0 1 2 • Có 2 nghiệm cùng âm S 0 • a < x1 < x2 P 0 0 x1 a 0 (x1 a) (x2 a) 0 x2 a 0 (x1 a)(x2 a) 0 Kiến thức 2: ĐẠO HÀM 1. Hàm sơ cấp 2. Hàm hợp 3. Quy tắc tính 1. Hàm thường gặp 1. Hàm thường gặp * Quy tắc: u v ' u ' v ' C 0 u u 1.u u.v ' u '.v v '.u x 1 u u u u '.v v '.u n n 1 2 u x n.x v v2 1 u ' 1 * CT Tính nhanh: x u u2 2 x ax b ad bc 1. cx d 2 1 1 cx d x x2 ax2 bx c adx2 2aex be dc 2. Hàm lượng giác 2. Hàm lượng giác 2. 2 dx e dx e
2. sin x cos x sin u u. cosu 2 2 ax bx c (ab1 a1b)x 2(ac1 a1c)x (bc1 b1c) 3. 2 2 2 a x b x c (a x b x c ) cos x sin x cosu u .sin u 1 1 1 1 1 1 1 u 4. Ứng dụng tan x tan u cos2 x cos2 u 1. Phương trình tiếp tuyến 1 u y f ' x . x x y cot x cot u 0 0 0 2 2 sin x sin u + x ; y là tọa độ tiếp điểm 3. Hàm mũ-logarit 3. Hàm mũ-logarit 0 0 x x u u + f ' x là hệ số góc a ' a .ln a a ' u .a .ln a 0 2. Ứng dụng trong vật lí ex ' ex u u e ' u'.e Một chuyển động với quãng đường s t có: ' 1 ' u' loga x log u + Vận tốc: v(t) s ' t x.ln a a u.ln a 1 u' + Gia tốc: a(t) v '(t) s '' t ln x ' lnu ' x u Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ 1. Khảo sát sự biến thiên 2. Tìm cực trị • Các bước khảo sát • Cách 1: Dùng BBT Bước 1: Tìm tập xác định (Tương tự các bước như mục 1) Bước 2: Tính y’ • Cách 2: Dùng y’’ Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’ Bước 1: Tìm tập xác định không xác định Bước 2: Tính y’ Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 3: Tìm các nghiệm xi của y’ Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch Bước 4: Tính y '' biến Bước 5: Tính y ''(x ) • Áp dụng giải phương trình i Bước 6: Kết luận + Nếu f tăng (giảm) và f (x0 ) a thì phương y ''(xi ) 0 xi là điểm cực đại trình f (x) a có nghiệm duy nhất là x x0 y ''(xi ) 0 xi là điểm cực tiểu + Nếu f tăng và g giảm và f (x0 ) g(x0 ) thì phương trình f (x) g(x) có nghiệm duy nhất là x x0 + Nếu f tăng (giảm) trên tập xác định D thì: f (u) f (v) u v (víi u,v D) 3. Tìm max, min 4. Tìm tiệm cận • Max, min trên đoạn [a;b] • Tiệm cận ngang Bước 1: Tìm tập xác định Bước 1: Tính lim y y1 Bước 2: Tính y’ x y y1 là tiệm cận ngang Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’ Bước 2: Tính lim y y hoặc là điểm mà y’ không xác định trên x 2 khoảng (a,b) y y2 là tiệm cận ngang Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b) Bước 5: So sánh và kết luận Max, min. Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có một TCN
3. • Max, min trên khoảng hoặc nửa • Tiệm cận đứng khoảng Bước 1: Tìm những điểm x0 là những điểm Bước 1: Tìm tập xác định không xác định của hàm số( với hàm phân thức Bước 2: Tính y’ thường là nghiệm của mẫu) Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’ Bước 2: Kiểm tra điều kiện: lim x hoặc không xác định trên khoảng (a,b) x x0 lim x Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Max, min x x0 x x0 là tiệm cận đứng. Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ Số nghiệm y ' 1. Hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 y y O x O x 2 nghiệm (2 cực trị) a 0 a 0 y y O x O x 1 nghiệm (0 cực trị) a 0 a 0 y y O O x x Vô nghiệm (0 cực trị) a 0 a 0 Số nghiệm y ' 2. Hàm số bậc bốn trùng phương y ax4 bx2 c a 0
4. 3 nghiệm (3 cực trị) a 0 a 0 1 nghiệm (1 cực trị) a 0 a 0 ax b 3. Hàm phân thức bậc nhất y , ab bc 0 cx d + Đồ thị không có cực trị + Có tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận ad bc 0 ad bc 0 4. Các dạng toán liên quan đến đồ thị • Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm) • Phương trình tiếp tuyến y f (x); y g(x) Công thức: y y0 f '(x0 )(x x0 ) Bước 1: Tìm nghiệm x của phương trình 0 (x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm hoành độ giao điểm f (x) g(x) f '(x0 ) Là hệ số góc
5. Bước 2: Thay vào công thức f (x) hoặc g(x) . * Các trường hợp đặc biệt: + Tiếp tuyến song song với đường thẳng: Được tung độ y0 f (x0 ) g(x0 ) d : y ax b Giao điểm M (x0 ; y0 ) f '(x0 ) a * Các trường hợp đặc biệt: + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : y ax b + Giao với trục hoành (trục Ox): y 0 f '(x ).a 1 + Giao với trục tung (trục Oy): x 0 0 Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 1. Tịnh tiến đồ thị hàm số 2. Suy biến đồ thị Hàm số y f x có đồ thị là đường cong C Hàm số y f x có đồ thị là đường cong C • Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến C lên • Đồ thị hs y = -f x : Lấy đối xứng (C) qua trên a đơn vị. Ox • Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến C • Đồ thị hs y = f -x : Lấy đối xứng (C) qua xuống dưới a đơn vị. Oy • Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến C • Đồ thị hs y = f x : sang trái a đơn vị. + Giữ nguyên phần đồ thị C bên phải Oy, bỏ • Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến C phần bên trái sang phải a đơn vị. + Lấy đối xứng phần đồ thị C được giữ lại qua Oy. • Đồ thị hs y = f x : + Giữ nguyên phần đồ thị C nằm trên Ox , bỏ phần đồ thị C phía dưới Ox . + Lấy đối xứng phần đồ thị C bị bỏ qua Ox f x 0 • Đồ thị hs y f x y f x + Giữ nguyên phần đồ thị C nằm trên Ox , bỏ phần đồ thị nằm phía dướiOx + Lấy đối xứng phần đồ thị C được giữ lại qua Ox .
6. Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT 1. Lũy thừa • Định nghĩa • Tính chất Lũy thừa mũ nguyên dương: an ( a ¡ ) a a a  n 1 Lũy thừa mũ nguyên âm: a n ( a 0 ) a  a  a Lũy thừa mũ 0: a0 1 ( a 0 ) a m  . Lũy thừa mũ hữu tỉ: a n n am ( a 0 ) (a ) a Lũy thừa mũ vô tỉ: a ( a 0 ) (ab) a b a a b b 2. Căn bậc n • Định nghĩa • Tính chất Số a là căn bậc n của b nếu an b Với a, b là các số dương: • Chú ý: n a.n b n ab + Số dương b có 2 căn bậc chẵn: n b + Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: n b n a a n (b 0) n + n 0 0 (n ¥ *,n 2) b b m n a n a m (a 0) m n a mn a n n a nÕu n lÎ a a nÕu n ch½n 3. Logarit • Định nghĩa • Quy tắc tính Với 2 số dương a,b và a 0 : loga b a b Lôgarit của tích: loga (b1.b2 ) loga b1 loga b2 Logarit thập phân: log b logb lgb 10 b Logarit tự nhiên: log b ln b Lôgarit của thương: log 1 log b log b e a b a 1 a 2 • Tính chất 2 Lôgarit của lũy thừa: log b log b loga a 1 a a Đổi cơ số: loga 1 0 loga b a b logc b loga b logc a.loga b logc b loga a logc a 1 1 Đặc biệt: log b ; log b log b a a a logb a
7. 4. So sánh hai lũy thừa và logarit • So sánh hai lũy thừa cùng cơ số • So sánh hai logarit cùng cơ số  + Nếu a 1: a a  + Nếu a 1: loga b1 loga b2 b1 b2  + Nếu 0 a 1: a a  + Nếu 0 a 1: loga b1 loga b2 b1 b2 • So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số dương) + Nếu m 0 : am bm a b + Nếu m 0 : am bm a b Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Hàm số lũy thừa 2. Hàm số mũ 3. Hàm số logarit • Dạng tổng quát • Dạng tổng quát • Dạng tổng quát x y x với ¡ y a , (a 0,a 1). y loga x, (a 0, a 1) TXĐ: TXĐ: D ¡ TXĐ: D 0; + nguyên dương: D ¡ + nguyên âm hoặc bằng 0: • Đạo hàm • Đạo hàm (a x ) a x .ln a 1 D ¡ \ 0 log x Đặc biệt: (ex ) ex a x.ln a + không nguyên: D 0; • Đạo hàm 1 Đối với hàm hợp: Đặc biệt: (ln x) (x ) .x 1. x (au ) u .au .ln a Đối với hàm hợp: Đối với hàm hợp: Đặc biệt: (eu ) eu .u (u ) .u 1.u ' u log u a u.ln a u Đặc biệt: (ln u) u Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình mũ 2. Phương trình logarit • Phương trình mũ cơ bản • Phương trình logarit cơ bản x Dạng TQ: a b với 0 a 1. Dạng TQ: loga x b với 0 a 1. Nghiệm: Điều kiện: x 0 + Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm. Nghiệm: log x b x ab a x + Nếu b 0 thì a b x loga b . • Một số phương pháp giải • Một số phương pháp giải - Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số (Chú ý đặt điều kiện phương trình) là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1) - Đưa về cùng cơ số. - Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ) - Đặt ẩn phụ. - Logarit hóa. - Mũ hóa.
8. Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Bất phương trình mũ 2. Bất phương trình logarit • Bất phương trình mũ cơ bản • Bất phương trình logarit cơ bản x 0 a 1 Dạng TQ: a b (với 0 a 1) Dạng TQ: loga x b (với ) x x x (hoặc a b ; a b ; a b ) (hoặc loga x b; loga x b; loga x b ) Nghiệm: Điều kiện: x 0 + Nếu b b vô số nghiệm log x > b log x 0: a a a > 1 b b ax > b ax 1 0 < a < 1 x ab x ab x loga b x loga b Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo 0 < a < 1 x log b x log b a a chiều Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo chiều • Một số phương pháp giải • Một số phương pháp giải (Chú ý đặt điều kiện bất phương trình) - Đưa về cùng cơ số. - Đưa về cùng cơ số. - Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ) - Đặt ẩn phụ. - Logarit hóa. - Mũ hóa. Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Tam giác vuông 2. Tam giác thường Định lí cosin: a2 b2 c2 (Pitagpo) b2 c2 a2 b2 ab' a2 b2 c2 2bc.cosA cosA 2bc c2 ac' a b c h2 b'c' Định lí sin: 2R sinA sinB sinC 1 1 1 2 2 2 2 2(b c ) a 2 2 2 h b c Độ dài trung tuyến: ma 4 ah bc Diện tích tam giác: b sin B cosC a
9. c 1 1 1 cos B sinC S aha bhb chc a 2 2 2 b 1 1 1 tan B cotC S bcSinA acSinB abSinC c 2 2 2 S pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp) c cot B tanC abc b S (R là bán kính đường tròn ngoại 4R tiếp tam giác) S p( p a)( p b)( p c) a b c (với p ) 2 Chú ý: Với tam giác đều cạnh a a2 3 Diện tích: S ABC 4 a 3 Trung tuyến: AM 2 3. Diện tích các hình Hình vuông cạnh a A D Hình bình hành 2 A D Diện tích: S ABCD a S ABCD BC.AH Đường chéo: AC BD a 2 B C AB.AD.sin A B H C Hình chữ nhật cạnh a, b A D S ABCD a.b B C Hình thoi A Hình thang A D 1 S AC.BD ABCD 2 B D (AD BC).AH S AB.AD.sin A ABCD 2 B H C C AB.AD.sin B Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN 1. Khối chóp 2. Khối lăng trụ S 1 Thể tích: V = B.h Thể tích: V = B.h 3 D O C
10. Khối chóp tam giác đều S.ABC Lăng trụ đều: + Đáy là tam giác đều + Là lăng trụ đứng + Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy + Đáy là đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau. + Các cạnh bên bằng nhau Khối chóp tứ giác đều S.ABCD Khối hộp chữ nhật: V = a.b.c + Đáy là hình vuông. + Hình chiếu của đỉnh là giao điểm AC và BD. + Các cạnh bên bằng nhau. S Tỉ số thể tích V SA¢ SB¢ SC ¢ A’ B’ S.A¢B ¢C ¢ = . . VS.ABC SA SB SC C’ A B Khối lập phương: V = a3 C Kiến thức 12: MẶT TRÒN XOAY 1. Mặt nón 2. Mặt trụ A r D h l B Đường sinh: l OM r C Đường cao: h OI Bán kính đáy: r IM Đường sinh: l DC Diện tích xung quanh: Sxq rl Đường cao: h AB l Diện tích đáy: S r 2 Bán kính đáy: r AD BC đ 2 Diện tích xung quanh: S 2 rl Diện tích toàn phần: S S S r rl xq tp đ xq Diện tích toàn phần: 1 2 Thể tích: V r h S S S 2 r 2 2 rl 2 r(r l) 3 tp 2đ xq Thể tích: V r 2h
11. 3. Mặt cầu Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 Thể tích khối cầu: V R3 R 3 O Giao của mặt cầu và mặt phẳng O O O H P P H P H OH R OH=R (P) và mặt cầu S(O; R) không có điểm chung (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H (P) cắt mặt cầu S(O; R) Chú ý: 1. OH d(O,(P)) 2. Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn bán kính r , ta có: OH 2 R2 r 2