Bài tập Toán Lớp 12 - Số phức (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Số phức (Có lời giải)

1. BÀI TẬP SỐ PHỨC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 1. Tính môđun của số phức z 3 4i . A. 3 .B. 5 .C. 7 . D. 7 . Câu 2. Số phức liên hợp của số phức z i 1 2i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? A. E 2; 1 .B. B 1;2 .C. A 1;2 . D. F 2;1 . Câu 3. Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 . B. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i . C. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i . D. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 . Câu 4. Cho số phức z 1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w z iz trên mặt phẳng toạ độ? A. M 3;3 .B. Q 3;2 .C. N 2;3 . D. P 3;3 . Câu 5. Cho hai số phức z1 2 3i , z2 1 i . Giá trị của biểu thức z1 3z2 là A. 55 .B. 5 .C. 6 . D. 61 . 2 Câu 6. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2z 10 0 . Tính iz0 . A. iz0 3 i .B. iz0 3i 1.C. iz0 3 i .D. iz0 3i 1. Câu 7. Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z 1 i là: A. Phần thực là 1, phần ảo là 1.B. Phần thực là 1, phần ảo là i . C. Phần thực là 1, phần ảo là i .D. Phần thực là 1, phần ảo là 1. Câu 8. Xác định phần ảo của số phức z 18 12i . A. 12 .B. 18.C. 12. D. 12i . Câu 9. Điểm biểu diễn của số phức z là M 1;2 . Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w z 2z là A. 2; 3 .B. 2;1 .C. 1;6 . D. 2;3 . 2 Câu 10. Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức P z1 2z2 .z2 4z1 bằng: A. 10 .B. 10. C. 5 . D. 15 . Câu 11. Cho số phức z 1 i 2 1 2i . Số phức z có phần ảo là: A. 2 .B. 4 .C. 2 . D. 2i . Câu 12. Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số phức A. z 2 2i 5 i . B. z 1 2i 4 i . C. z 3i 1. D. z 1 3i . Câu 13. Cho số phức z 1 2i . Số phức liên hợp của z là A. z 1 2i .B. z 1 2i . C. z 2 i . D. z 1 2i .
2. 2 3i 4 i Câu 14. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z . 3 2i A. 1; 4 .B. 1;4 .C. 1; 4 . D. 1;4 . Câu 15. Cho số phức z a bi a,b ¡ . Khẳng định nào sau đây sai? A. z a2 b2 .B. z a bi .C. z2 là số thực. D. z.z là số thực. 2 Câu 16. Cho hai số phức z1 3 i và z2 4 i . Tính môđun của số phức z1 z2 . A. 12.B. 10.C. 13. D. 15. Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn 1 z 1 i 5 i 0. Số phức w 1 z bằng A. 1 3i .B. 1 3i .C. 2 3i .D. 2 3i . Câu 18. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z 1 3i 1 2i 3 4i 2 3i . Giá trị của a b là A. 7 .B. 7 .C. 31. D. 31. Câu 19. Cho số phức z1 3 2i , z2 6 5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z 6z1 5z2 A. z 51 40i .B. z 51 40i .C. z 48 37i . D. z 48 37i . Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 1 2i 2 i . Mô đun của z bằng A. 2 .B. 1.C. 2 . D. 10 . Câu 21. Số phức z nào sau đây thỏa z 5 và z là số thuần ảo? A. z 5 .B. z 2 3i .C. z 5i . D. z 5i . Câu 22. Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi ( a,b ¡ , ab 0 ), M là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M đối xứng với M qua Oy . B. M đối xứng với M qua Ox . C. M đối xứng với M qua đường thẳng y x . D. M đối xứng với M qua O . 2 2 Câu 23. Cho hai số phức z1 1 2i , z2 1 2i . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 10 .B. 10.C. 6 . D. 4 . Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn: 3 2i z 2 i 2 4 i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 3 .B. 2 .C. 1. D. 0 . Câu 25. Biết z a bi a,b ¡ là số phức thỏa mãn 3 2i z 2iz 15 8i . Tổng a b là A. a b 5 .B. a b 1.C. a b 9 . D. a b 1. 1 3 Câu 26. Cho số phức z i . Tìm số phức w 1 z z2 . 2 2 1 3 A. 2 3i .B. 1.C. 0 . D. i . 2 2 Câu 27. Tính môđun của số phức z thỏa mãn: 3z.z 2024 z z 48 2023i. A. z 4.B. z 2 506 .C. z 17 7 . D. z 3 . 1 3i Câu 28. Cho số phức z a bi a, b ¡ thỏa a b 1 i . Giá trị nào dưới đây là môđun của z ? 1 2i A. 5 .B. 1.C. 10 . D. 5 .
3. Câu 29. Trong các số phức: 1 i 3 , 1 i 4 , 1 i 5 , 1 i 6 số phức nào là số phức thuần ảo? A. 1 i 3 .B. 1 i 4 .C. 1 i 5 .D. 1 i 6 . Câu 30. Cho số phức z a bi a,b ¢ thỏa mãn z 2 5i 5 và z.z 82 . Tính giá trị của biểu thức P a b . A. 10.B. 8 .C. 35 . D. 7 . 1 Câu 31. Cho số phức z mi , (m ¡ ) . Tìm phần ảo của số phức ? z 1 1 1 1 A. .B. .C. i . D. i . m m m m Câu 32. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 là A. Một đường tròn.B. Một đường thẳng.C. Một đường parabol.D. Một đường Elip. Câu 33. Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 1 i , z2 1 2i , z3 2 i , z4 3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD . Tính S . 17 19 23 21 A. S .B. S .C. S . D. S . 2 2 2 2 Câu 34. Cho số phức z thoả mãn z 3 4i 5 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I 3; 4 , R 5 .B. I 3;4 , R 5 .C. I 3; 4 , R 5. D. I 3;4 , R 5. Câu 35. Cho các số phức z thỏa mãn z i 5 . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phứcw iz 1 i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r 22 .B. r 20 .C. r 4 .D. r 5 . Câu 36. Cho số phức thỏa z 3 . Biết rằng tập hợp số phức w z i là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. I 0;1 .B. I 0; 1 .C. I 1;0 .D. I 1;0 . Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z z 1? A. 0 .B. 1.C. 4 . D. 3 . Câu 38. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng.B. đường tròn.C. parabol.D. hypebol. Câu 39. Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 2 i z 1 i 0 và z 1. Tính P a b . A. P 1.B. P 5 .C. P 3. D. P 7 . Câu 40. Tổng các nghiệm phức của phương trình z3 z2 2 0 là A. 1.B. 1.C. 1 i .D. 1 i . 2 Câu 41. Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z 16z 17 0. Trên mặt phẳng tọa độ 3 điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w 1 2i z i ? 1 2 A. M 2;1 . B. M 3; 2 . C. M 3;2 . D. M 2;1 . Câu 42. Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z x yi thỏa mãn z 2 i z 3i là đường thẳng có phương trình A. y x 1.B. y x 1.C. y x 1. D. y x 1.
4. z 1 z 3i Câu 43. Có bao nhiêu số phức z a bi a, b ¡ thỏa mãn 1? z i z i A. 0 .B. 1.C. 2 . D. 4 . Câu 44. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 3i 3 2 và z 2i 2 là số thuần ảo? A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 4 . Câu 45. Số phức z a bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn 1 3i z là số thực và z 2 5i 1. Khi đó a b là A. 9 .B. 8 .C. 6 . D. 7 . z z Câu 46. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 3 , gọi số phức z x yi là số phức có 2 mô-đun nhỏ nhất. Tính S 2022x 2023y 2024 . A. 2024 .B. 2020 .C. 2023.D. 2022 2 2 Câu 47. Cho số phức z thõa mãn z 1 i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 i z 2 3i . A. 18.B. 38 8 10 .C. 18 2 10 .B. 16 2 10 . Câu 48. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z 2w 3 , 2z 3w 6 và z 4w 7 . Tính giá trị của biểu thức P z.w z.w. A. P 14i .B. P 28i .C. P 14 .D. P 28 . Câu 49. Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 2, z2 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 . · 2 2 Biết MON 30 . Tính S z1 4z2 . A. 5 2 .B. 3 3 .C. 4 7 . D. 5 . z 1 1 Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i 2 z 4 7i . z 3i 2 A. 8 .B. 20 .C. 2 5 .D. 4 5 . ___HẾT___ ÑAÙP AÙN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A A D C A A C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B D A C C D B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D B B D C C A D D B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A A A D D A C C D B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C D B C B B B D C B Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao
5. z 1 z 3i Câu 43. Có bao nhiêu số phức z a bi a, b ¡ thỏa mãn 1? z i z i A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 4 . Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 z 1 z i a 1 b a b 1 2a 1 2b 1 a 1 Ta có: . z 3i z i 2 2 2 2 6b 9 2b 1 b 1 a b 3 a b 1 Suy ra z 1 i . Vậy có một số phức thỏa mãn. Choïn B Câu 44. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 3i 3 2 và z 2i 2 là số thuần ảo? A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 4 . Hướng dẫn giải: 2 2 Giả sử z x yi x, y ¡ . Ta có: z 1 3i 3 2 x 1 y 3 18 1 . 2 Xét w z 2i 2 x y 2 i x2 y 2 2 2x y 2 i .     a b 2 2 x y 2 Theo giả thiết: w thuần ảo x y 2 0 . x y 2 2 Trường hợp 1: x y 2 , thay vào 1 ta được: 2y 0 y 0 x 2 z1 2 . y 1 5 Trường hợp 2: x y 2 , thay vào 1 ta được: 2y2 4y 8 0 y 1 5 z2 3 5 1 5 i, z3 3 5 1 5 i . Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Choïn C Câu 45. Số phức z a bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn 1 3i z là số thực và z 2 5i 1. Khi đó a b là A. 9 .B. 8 .C. 6 . D. 7 . Hướng dẫn giải: Xét số phức w 1 3i z 1 3i a bi a 3b b 3a i . Theo giả thiết w là số thực nên b 3a 0 b 3a 1 . Ta lại có: z 2 5i 1 a 2 5 b i 1 a 2 2 5 b 2 1 2 . a 2 b 6 2 2 Thế 1 vào 2 ta có: a 2 5 3a 1 10a2 34a 28 0 7 . a (loaïi) 5 Vậy a b 2 6 8. Choïn B z z Câu 46. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 3 , gọi số phức z x yi là số phức có 2 mô-đun nhỏ nhất. Tính S 2022x 2023y 2024 . A. 2024 .B. 2020 .C. 2023.D. 2022 Hướng dẫn giải:
6. x yi x yi 2 2 Gọi z x yi x, y ¡ . Theo giả thiết: x yi 1 3 x 1 y2 x 3 2 2x 1 y2 6x 9 y2 4x 8 (1). (1) Mô-đun của z là: z x2 y2 x2 4x 8 x 2 2 4 4 2 . Do vậy z 2 ; khi đó: x 2, y 0 . Do vậy S 2022x 2023y 2024 2020 . Choïn min B Câu 47. Cho số phức z thõa mãn z 1 i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 i 2 z 2 3i 2 . A. 18.B. 38 8 10 .C. 18 2 10 .B. 16 2 10 . Hướng dẫn giải:  Lưu ý: Giả sử z có điểm biểu diễn là M, khi đó: z a bi MN 1) với N a;b . 2) z a bi c (với c 0 ) là phương trình đường tròn tâm I a;b , bán kính r c . 3) Xét tam giác MAB với I là trung điểm AB, ta có:   2   2 MA2 MB2 MI IA MI IB    2MI 2 2MI IA IB IA2 IB2   0 2 2 2 2 AB AB 2 AB 2MI 2MI . 2 2 2 4) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai cặp số a; x , b; y , ta có: ax by a2 b2 x2 y2 . a b a x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (điều kiện mẫu khác 0). x y b y  Cách giải 1: Gọi M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z . Gọi I 1; 1 , A 2;1 , B 2;3 lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1 i ; 2 i ; 2 3i . Khi đó, ta có: z 1 i 2 z 1 i 2 MI 2 ; nghĩa là M thuộc đường tròn C có tâm I 1; 1 , R 2 . M I 2 2 2 2 2 2 Ta có P z 2 i z 2 3i z 2 i z 2 3i MA MB . (Xem mục Lưu ý). M  M  A B AB2 Gọi E 0;2 là trung điểm của AB , ta có: P 2ME 2 . (Xem mục Lưu ý). 2 Ta thấy AB không đổi, do đó P có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME có giá trị lớn nhất. Nhận thấy : IE 1 9 10 2 R nên nên điểm E nằm ngoài đường tròn C . Ta có: ME IE R 2 10 . max 2 2 2 AB Choïn Vậy Pmax 2 ME 2 2 10 10 38 8 10 .  B max 2  Cách giải 2: Giả sử z x yi ( x, y ¡ ). M x; y là điểm biểu diễn của z . Từ giả thiết: z 1 i 2 , suy ra M C1 có tâm I1 1; 1 và bán kính R1 2 .
7. 2 2 Khi đó: z 1 i 2 x 1 y 1 4 x2 y2 2x 2y 2 1 . Ta có: P z 2 i 2 z 2 3i 2 x 2 2 y 1 2 x 2 2 y 3 2 . 1 Suy ra P 2x2 2y2 8y 18 2 2x 2y 2 8y 18 4x 12y 22 4 x 1 12 y 1 38 . Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : 4 x 1 12 y 1 42 12 2 x 1 2 y 1 2 8 10 .  4 8 10 4 x 1 12 y 1 8 10 8 10 38 P 8 10 38.Do đó Pmax 38 8 10 . x 1 4 Choïn Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y 1 12 .  B 4x 12y 22 38 8 10 (Học sinh có thể giải tìm x, y bằng phương pháp thế hoặc dùng máy tính bỏ túi). Câu 48. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z 2w 3 , 2z 3w 6 và z 4w 7 . Tính giá trị của biểu thức P z.w z.w. A. P 14i .B. P 28i .C. P 14 .D. P 28 . Hướng dẫn giải: 2 Ta có: z 2w 3 z 2w 9 z 2w . z 2w 9 z 2w . z 2w 9 2 2 z.z 2 z.w z.w 4w.w 9 z 2P 4 w 9 1 ; P 2 2 2 2z 3w 6 2z 3w 36 2z 3w . 2z 3w 36 4 z 6P 9 w 36 2 ; 2 2 z 4w 7 z 4w . z 4w 49 z 4P 16 w 49 3 . z 2 33 Choïn Giải hệ phương trình gồm 1 , 2 , 3 ta có: P 28. Vậy P 28 .  D 2 w 8 Câu 49. Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 2, z2 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 . · 2 2 Biết MON 30 . Tính S z1 4z2 . A. 5 2 .B. 3 3 .C. 4 7 . D. 5 . Hướng dẫn giải: Nhận xét: Từ giả thiết, ta có: OM z1 2, ON iz2 i . z2 3 . 2 2 2 2 Ta có S z1 4z2 z1 2iz2 z1 2iz2 . z1 2iz2 Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 , suy ra OP 2iz2 2 iz2 2ON 2 3 hay N là trung điểm OP.     Ta có: z1 2iz2 . z1 2iz2 OM OP . OM OP   PM . 2OI 2PM.OI với I là trung điểm MP.
8. Xét tam giác OMP với M· OP M· ON 30 , áp dụng định lí Cô-sin, ta có 3 MP OM 2 OP2 2OM.OP.cos300 4 12 2.2.2 3. MP 2 . 2 OM 2 OP2 MP2 Tam giác OMP có trung tuyến OI nên OI 2 7 OI 7 . 2 4 Vậy S 2PM.OI 2.2. 7 4 7 . Choïn C z 1 1 Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i 2 z 4 7i . z 3i 2 A. 8 .B. 20 .C. 2 5 .D. 4 5 . Hướng dẫn giải: Gọi z x yi với x, y ¡ ; M x; y , M x; y lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z . z 1 1 Ta có: 2 z 1 z 3i 2 x 1 yi x y 3 i z 3i 2 2 x 1 2 y2 x2 y 3 2 2x2 4x 2 2y2 x2 y2 6y 9 x2 y2 4x 6y 7 0 x 2 2 y 3 2 20 . Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn C tâm I 2;3 và bán kính R 2 5 .     P z i 2 z 4 7i OM OA 2 OM OB với A 0; 1 , B 4; 7 . Suy ra P AM 2BM . Vì M đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm B 4;7 đối xứng với B qua Ox , khi đó M B MB . Do đó: P AM 2MB . Ta lại có A 0; 1 , B 4;7 thuộc đường tròn C và AB 4 5 2R , vì vậy AB là đường kính của đường tròn C MA2 MB 2 AB 2 80 . 2 2 2 2 Do đó: P MA 2MB 1 2 MA MB 20 .   80  Cauchy Shwart MB 2MA MA 4 Dấu " " xảy ra khi . Vậy max P 20 . Choïn B 2 2 MA MB 80 MB 8