Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Cực trị của hàm số (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Cực trị của hàm số (Có đáp án)

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 1: Cho hàm số f x xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng a;b . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu f x đồng biến trên a;b thì hàm số không có cực trị trên a;b . B. Nếu f x nghịch biến trên a;b thì hàm số không có cực trị trên a;b . C. Nếu f x đạt cực trị tại điểm x0 a;b thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x0 ; f x0 song song hoặc trùng với trục hoành. D. Nếu f x đạt cực đại tại x0 a;b thì f x đồng biến trên a; x0 và nghịch biến trên x0 ;b . Câu 2: Cho khoảng a;b chứa điểm x0 , hàm số f x có đạo hàm trên khoảng a;b (có thể trừ điểm x0 ). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu f x không có đạo hàm tại x0 thì f x không đạt cực trị tại x0 . B. Nếu f ' x0 0 thì f x đạt cực trị tại điểm x0 . C. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f x không đạt cực trị tại điểm x0 . D. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f x đạt cực trị tại điểm x0 . Câu 3: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 và f x liên tục tại x0 thì hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x0 . B. Hàm số y f x đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của f ' x 0. C. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số y f x . D. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng a;b và x0 là một điểm trên khoảng đó. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu f ' x bằng 0 tại x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. B. Nếu dấu của f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại của đồ thị hàm số. C. Nếu dấu của f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. D. Nếu dấu của f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Câu 5: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0 h; x0 h , với h 0. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. B. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số. C. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số. D. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì chưa kết luận được x0 có là điểm cực trị của hàm số. 3 Câu 6: (ĐỀ MINH HỌA 2016 - 2017) Giá trị cực đại yCD của hàm số y x 3x 2 là?
2. A. yCD 4 . B. yCD 1. C. yCD 0. D. yCD 1. 3 2 Câu 7: Tìm điểm cực trị x0 của hàm số y x 5x 3x 1. 1 10 A. x 3 hoặc x . B. x 0 hoặc x . 0 0 3 0 0 3 10 1 C. x 0 hoặc x . D. x 3 hoặc x . 0 0 3 0 0 3 3 Câu 8: Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y x 3x 1. A. x0 1. B. x0 0. C. x0 1. D. x0 2. Câu 9: Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số y x3 3x2 . A. 0;0 hoặc 1; 2 . B. 0;0 hoặc 2;4 . C. 0;0 hoặc 2; 4 . D. 0;0 hoặc 2; 4 . 3 2 Câu 10: Biết rằng hàm số y x 4x 3x 7 đạt cực tiểu tại xCT . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 A. x . B. x 3. C. x . D. x 1. CT 3 CT CT 3 CT 3 Câu 11: Gọi yCD , yCT lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y x 3x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. y 2y . B. y y . C. y y . D. y y . CT CD CT 2 CD CT CD CT CD Câu 12: Gọi y1, y2 lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 3 2 y x 3x 9x 4. Tính P y1.y2. A. P 302 . B. P 82 . C. P 207 . D. P 25. 2 Câu 13: Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 1 x 2 . A. d 2 5 . B. d 2. C. d 4. D. d 5 2 . 2 Câu 14: Cho hàm số f x x2 3 . Giá trị cực đại của hàm số f ' x bằng: 1 A. 8. B. . C. 8. D. 9 . 2 Câu 15: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2x3 3x2 1. A. y x 1. B. y x 1. C. y x 1. D. y x 1. Câu 16: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 1 3 1 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 4 4 Câu 17: Cho hàm số y x4 2x2 3. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
3. Câu 18: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y ax4 bx2 c với a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. Phương trình y 0 vô nghiệm trên tập số thực. B. Phương trình y 0 có đúng một nghiệm thực. C. Phương trình y 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt. D. Phương trình y 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Câu 19: Tính diện tích 18,4 của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x4 2x2 3. 1 A. S 2. B. a C. S 4. D. S . 2 Câu 20: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ với bảng xét dấu đạo hàm như sau: x - ¥ - 3 1 2 + ¥ f '(x) - 0 + 0 + 0 - Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Câu 21: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau: x 1 0 1 y ' 0 P 0 y 3 4 4 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba giá trị cực trị. B. Hàm số có ba điểm cực trị. C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1. Câu 22: Cho hàm số y f x liên tục tại x0 và có bảng biến thiên sau: x x x x2 + ¥ - ¥ 0 1 + y ' - + 0 - + ¥ + ¥ y - ¥ - ¥
4. Câu 70. Cho hàm số y ax4 bx2 1 a 0 . Với điều kiện nào của các tham số a, b thì hàm số có một điểm cực trị và là điểm cực tiểu. A. a 0, b 0 . B. a 0, b 0 . C. a 0, b 0 . D. a 0, b 0 . x 0 Lời giải. Ta có y ' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b ; y ' 0 b . x2 * 2a Để hàm số có một điểm cực trị vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 b b 0 0 . 1 2a ab 0 Khi đó, để điểm cực trị này là điểm cực tiểu thì a 0 . 2 Từ 1 và 2 , suy ra a 0,b 0. Chọn D. Câu 71. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x4 2mx2 m2 m có ba điểm cực trị. A. m 0. B. m 0. C. m 0. D. m 0. x 0 Lời giải. Ta có 3 2 y ' 4x 4mx 4x x m ; y ' 0 2 . x m Để hàm số có ba điểm cực trị y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 m 0. Chọn C. Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx4 m 1 x2 1 có một điểm cực tiểu. A. m 0. B. m 0. C. 1 m 0. D. m 1. Lời giải. TH1. Với a 0  m 0 , khi đó y x2 1 có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.  m 0 thỏa mãn. TH2. Với a 0  m 0 , ycbt ab 0 m m 1 0 : đúng với m 0.  m 0 thỏa mãn. TH3. Với a 0  m 0, ycbt ab 0 a 0 b 0  m 1 0  m 1.  1 m 0 thỏa mãn. Hợp các trường hợp ta được m 1. Chọn D. Nhận xét. Bài toán hỏi hàm số có một điểm cực tiểu nên hàm số có thể có điểm cực đại hoặc không có điểm cực đại. Khi nào bài toán hỏi hàm số có đúng một cực tiểu và không có cực đại thì lúc đó ta chọn đáp án B. Câu 73. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx4 m 1 x 1 2m có đúng một điểm cực trị. A. m 1; .B. m ;0. C. m 0;1.D. m 01; . Lời giải. ● Nếu m 0 thì y x 1 là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị. x 0 ● Khi m 0 , ta có y ' 4mx3 2 m 1 x 2x 2mx2 m 1 ; y ' 0 1 m . x2 2m 1 m m 1 Để hàm số có đúng một điểm cực trị khi 0 . 2m m 0
5. m 0 Kết hợp hai trường hợp ta được . Chọn D. m 1 Câu 74. Biết rằng đồ thị hàm số y x4 3x2 ax b có điểm cực tiểu là A 2; 2 . Tính tổng S a b. A. S 14 .B. S 14. C. S 20 . D. S 34. Lời giải. Ta có y ' 4x3 6x a và y '' 12x2 6 . y ' 2 0 Do A 2; 2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên  y 2 2 32 12 a 0 a 20 . 16 12 2a b 2 b 34 a 20 Thử lại với  y x4 3x2 20x 34. b 34 Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x 2 (thỏa). a 20 Vậy  S a b 14. Chọn B. b 34 Câu 75. Biết rằng đồ thị hàm số y ax4 bx2 c a 0 có điểm đại A 0; 3 và có điểm cực tiểu B 1; 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? a 3 a 2 a 2 a 2 A. b 1. B. b 4. C. b 4 . D. b 4 . c 5 c 3 c 3 c 3 Lời giải. Ta có y ' 4ax3 2bx . y ' 0 0 Đồ thị có điểm cực đại A 0; 3  c 3. 1 y 0 3 y ' 1 0 4a 2b 0 Đồ thị có điểm cực tiểu B 1; 5  . 2 y 1 5 a b c 5 a 2 Giải hệ gồm 1 và 2 , ta được b 4. c 3 a 2 Thử lại với b 4  y 2x4 4x2 3. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta thấy hàm c 3 số đạt cực đại tại x 0 , đạt cực tiểu tại x 1: thỏa mãn. Chọn B. Câu 76. Cho hàm số y x4 2 m2 m 1 x2 m 1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. 1 1 3 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2
6. 3 2 2 2 Lời giải. Ta có y ' 4x 4 m m 1 x 4x x m m 1 ; x 0 y ' 0 . 2 x m m 1 Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là A m2 m 1; y và B m2 m 1; y . CT CT 2 2 2 1 3 1 Khi đó AB 4 m m 1 4 m 3. Dấu '' '' xảy ra m . Chọn B. 2 4 2 Câu 77. Cho hàm số y x4 2mx2 2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn OA.OB.OC 12 với O là gốc tọa độ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 4. Lời giải. Để hàm số có ba điểm cực trị ab 0 1. 2m 0 m 0. x 0 3 2 Khi dó y ' 4x 4mx 4x x m ; y ' 0 x m . x m Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0;2 , B m; m2 2 , C m; m2 2 . 2 Ycbt OA.OB.OC 12 2. m m2 2 12  m 2  có một giá trị nguyên. Chọn B. 4 2 Câu 78. Cho hàm số y x 2mx 4 có đồ thị là Cm . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tất cả các điểm cực trị của Cm đều nằm trên các trục tọa độ. A. m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 , m 0 . x 0 Lời giải. Ta có 3 2 y ' 4x 4mx 4x x m ; y ' 0 2 . x m Để hàm số có ba điểm cực trị m 0 . Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0; 4 Oy , B m;m2 4 và C m;m2 4 . m 2 loaïi Yêu cầu bài toán B,C Ox m2 4 0 . Chọn B. m 2 thoûa maõn Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 0. m 2 loaïi Ycbt  b2 4ac 0 4m2 16 0 . m 2 thoûa maõn Cho hàm trùng phương y ax4 bx2 c . Khi đó: y có 1 cực trị ab 0 y có 3 cực trị ab 0 a 0 : 1 cực a 0 : 1 cực a 0 : 1 cực a 0 : 2 cực tiểu đại đại, đại, 2 cực tiểu 1 cực tiểu Xét trường hợp có ba cực trị  tọa độ các điểm cực trị
7. b b A 0;c , B ; , C ; . 2a 4a 2a 4a b b4 b ● BC 2 , AB AC với b2 4ac . 2a 16a2 2a 3 b AB : y x c 2a ● Phương trình qua điểm cực trị: BC : y và . 3 4a b AC : y x c 2a b3 8a ● Gọi B· AC , luôn có cos . b3 8a b5 ● Diện tích tam giác ABC là S . 32a3 b3 8a ● Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R . 8 a b b2 ● Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r . b3 4 a 1 1 8a Dữ kiện Công thức thỏa ab 0 1) B,C Ox b2 4ac 0 2 2) BC m0 am0 2b 0 2 2 4 3) AB AC n0 16a n0 b 8ab 0 4) BC kAB kAC b3.k 2 8a k 2 4 0 5) ABOC nội tiếp 2 c. 0 b 4a 6) ABOC là hình thoi b2 2ac 0 7) Tam giác ABC vuông cân tại A 8a b3 0 8) Tam giác ABC đều 24a b3 0 · 9) Tam giác ABC có góc BAC 8a b3.tan 2 0 2 10) Tam giác ABC có 3 góc nhọn b 8a b3 0 11) Tam giác ABC có diện tích S 3 2 5 0 32a S0 b 0 12) Tam giác ABC có trọng tâm O b2 6ac 0 14) Tam giác ABC có trực tâm O b3 8a 4ac 0 16) Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội b3 8a 4abc 0 tiếp 17) Tam giác ABC có O là tâm đường tròn b3 8a 8abc 0 ngoại tiếp
8. 18) Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục b2 8ac 0 hoành Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng thì điều ac 0 kiện là ab 0 . 100 b2 ac 9 Câu 79. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 1 có ba điểm cực trị A 0;1 , B , C thỏa mãn BC 4. A. m 4 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 2 . x 0 Lời giải. Ta có 3 2 y ' 4x 4mx 4x x m ; y ' 0 2 . x m Để hàm số có ba điểm cực trị y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0;1 , B m;1 m2 và C m;1 m2 . Ycbt: BC 4 2 m 4 m 2 m 4 (thỏa mãn). Chọn C. Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 0. 2 2 Ycbt: BC m0 am0 2b 0 1.4 2. 2m 0 m 4. Câu 80. Cho hàm số y x4 2 m 1 x2 m2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 1. x 0 Lời giải. Ta có 3 2 ; . y ' 4x 4 m 1 x 4x x m 1 y ' 0 2 x m 1 Để hàm số có ba điểm cực trị y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1. Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0;m2 , B m 1; 2m 1 và C m 1; 2m 1 .   Khi đó AB m 1; 2m 1 m2 và AC m 1; 2m 1 m2 .   4 m 1 loaïi Ycbt AB.AC 0 m 1 m 1 0 . Chọn B. m 0 thoûa maõn Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 1. 3 3 Ycbt  8a b 0 8.1 2 m 1 0 m 0. Câu 81. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. 1 1 A. m . B. m 1. C. m . D. m 1. 3 9 3 9 x 0 Lời giải. Ta có 3 y ' 4x 4mx 0 2 . x m Để hàm số có ba điểm cực trị m 0 m 0. Khi đó, toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
9. A 0;1 , B m; m2 1 , C m; m2 1 .   m 0 loaïi Ycbt AB.AC 0 m m4 0 . Chọn B. m 1 thoûa maõn Câu 82. Cho hàm số y 3x4 2 m 2018 x2 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 1200 . A. m 2018. B. m 2017. C. m 2017. D. m 2018. x 0 Lời giải. Ta có 3 y 12x 4 m 2018 x; y 0 2 . 3x 2018 m Để hàm số có ba điểm cực trị 2018 m 0 m 2018. Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 2 2 2018 m m 2018 2018 m m 2018 A 0;2017 , B ; 2017 ,C ; 2017 3 3 3 3 Do tam giác ABC cân tại A nên ycbt 3AB2 BC 2 4 2018 m m 2018 2018 m 3 3 4 m 2018 1 m 2017 thoûa maõn . 3 9 3 Chọn C. Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 2018. b3 8a Áp dụng công thức giải nhanh cos (với B· AC , A là điểm cực trị thuộc Oy ), b3 8a 3 1 b 8a 3 3 3 ta được 3  b 8a 2 b 8a  3b 8a 2 b 8a 3  3 2 m 2018 8.3 m 2017 : thỏa mãn. 1 Câu 83. Cho hàm số y x4 3m 1 x2 2 m 1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của 4 m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ. 2 2 1 1 A. m . B. m .C. m . D. m . 3 3 3 3 x 0 Lời giải. Ta có y ' x3 2 3m 1 x x x2 2 3m 1 ; y ' 0 . 2 x 2 3m 1 1 Để hàm số có ba điểm cực trị 2 3m 1 0 m . 3 Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A 0;2 m 1 , B 2 3m 1 ; 9m2 4m 1 và C 2 3m 1 ; 9m2 4m 1 . 2 m 1 2 9m2 4m 1 Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là G 0; . 3 1 m thoûa maõn 2 3 Ycbt: G  O 2 m 1 2 9m 4m 1 0 . Chọn D. 2 m loaïi 3
10. 1 Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m . 3 1 m thoûa maõn 2 2 1 3 Ycbt: G  O  b 6ac 0 3m 1 6. .2 m 1 0 . 4 2 m loaïi 3 9 Câu 84. Cho hàm số y x4 3 m 3 x2 4m 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị 8 của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. A. m 2. B. m 2. C. m 3. D. m 2017. x 0 9 3 Lời giải. Ta có y ' x 6 m 3 x; y 0 2 . 2 3x 4 3 m * Để hàm số có ba điểm cực trị 4 3 m 0 m 3. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 3 m 2 3 m 2 A 0;4m 2017 , B 2 ;4m 2017 2 3 m , C 2 ;4m 2017 2 3 m . 3 3 Do dam giác ABC cân tại A nên yêu cầu bài toán AB2 BC 2 4 3 m 4 16 3 m 4 3 m 0 m 3 loaïi 4 3 m 3 m 3 m . 3 3 3 m 1 m 2 thoûa maõn Chọn B. Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 3. Ycbt  b3 24a 27 m 3 3 27 m 2. Câu 85. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x4 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. m 0. B. m 1. C. 0 m 3 4. D. 0 m 1. x 0 3 2 Lời giải. Ta có y 4x 4mx 4x x m ; y 0 2 . x m Để hàm số có ba điểm cực trị m 0. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0;0 , B m; m2 , C m; m2 . 1 1 2 2 Tam giác ABC cân tại A, suy ra S ABC d  A, BC.BC m .2 m m m . 2 2 2 Theo bài ra, ta có S ABC 1 m m 1 0 m 1: thoûa maõn . Chọn D. Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 0. b5 Ycbt  1 m5 1 0 m 1. 32a3 Câu 86. Cho hàm số y x4 mx2 m 2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. A. m 2. B. m 1. C. m 2. D. m 4. x 0 Lời giải. Ta có 3 2 y 4x 2mx 2x 2x m ; y 0 2 . 2x m
11. Để hàm số có ba điểm cực trị m 0. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: m m2 m m2 A 0;m 2 , B , m 2 , C ; m 2 . 2 4 2 4 m m4 m Suy ra AB AC , BC 2 . 2 16 2 1 AB BC AC 1 Ta có S pr BC.d  A, BC  .r BC.d  A, BC 2 2 2 m m4 m 1 m2 m . .2 . 2 16 2 2 4 2 m t 0 loaïi Đặt t 0 ta được phương trình t 2 t8 t t 5 . Chọn D. 2 t 2  m 4 Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab 0 m 0. 2 b2 m m 2 loaïi Ycbt  1 1 . b3 m 3 m 4 thoûa maõn 4 a 1 1 4. 1 1 8a 8 x2 mx 1 Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y có cực đại và x 1 cực tiểu. A. m 0. B. m 0 .C. m ¡ . D. m 0 . x2 2x m 1 Lời giải. Tập xác định: D ¡ \ 1. Đạo hàm y ' . x 1 2 Đặt g x x2 2x m 1. Để hàm số có cực đại và cực tiểu g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 ' 0 V g x m 0 m 0. Chọn D. g 1 0 m 0 x2 mx 1 Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đạt cực đại tại x m x 2. A. m 1 . B. m 3 . C. m 1. D. m 3. x2 2mx m2 1 Lời giải. TXĐ: D ¡ \ m. Đạo hàm y ' . x m 2 m 1 Hàm số đạt cực đại tại x 2  y ' 2 0 . m 3 Thử lại với m 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 2 : không thỏa mãn. Thử lại với m 3 thì hàm số đạt cực đại tại x 2 : thỏa mãn. Chọn B. Câu 89. Gọi xCD , xCT lần lượt là điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số y sin 2x x trên đoạn 0; . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 5 5 A. x ; x . B. x ; x . CD 6 CT 6 CD 6 CT 6
12. 2 C. x ; x . D. x ; x . CD 6 CT 3 CD 3 CT 3 Lời giải. Ta có y ' 2cos2x 1 và y '' 4sin 2x . x 1 1 6 Xét trên đoạn 0; , ta có y ' 0 cos2x . 2 5 x 2 6 3 5 3 Do y '' 4 0 và y '' 4 0. 6 2 6 2 5 Vậy x ; x . Chọn C. CD 6 CT 6 Câu 90. Tìm giá trị cực đại yCD của hàm số y x 2cos x trên khoảng 0; . 5 5 A. y 3 . B. y 3 . C. y 3 . D. y 3 CD 6 CD 6 CD 6 CD 6 . Lời giải. Đạo hàm y ' 1 2sin x và y '' 2cos x . x 1 6 Xét trên khoảng 0; , ta có y ' 0 sin x . 2 5 x 6 3 5 3 Do đó y '' 2. 0 và y '' 2 0 . 6 2 6 2 Vậy giá trị cực đại của hàm số là y 3. Chọn C. 6 6 Câu 91. Biết rằng trên khoảng 0;2 hàm số y asin x bcos x x đạt cực trị tại x 3 và x . Tính tổng S a b. 3 A. S 3. B. S 1. C. S 3 1. D. S 3 1. 3 Lời giải. Đạo hàm y ' acos x bsin x 1. y ' 0 Hàm số đạt cực trị tại x và x nên 3 3 y ' 0 1 3 a b 1 0 a 1 2 2  S a b 3 1. Chọn C. b 3 a 1 0 2 Câu 92. Hàm số y x2 4 1 2x 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 2 Lời giải. Đạo hàm y ' 2.2x x2 4 1 2x 3 x2 4 .3. 2 1 2x 2 2 2 2 2 2 2 1 2x x 4 . 4x 1 2x 6 x 4 2 1 2x x 4 7x 2x 12 . Phương trình y 0có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn B.
13. 2 3 5 Câu 93. Biết rằng hàm số f x có đạo hàm là f ' x x x 1 x 2 x 3 . Hỏi hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4 .B. 3.C. 2 .D. 1. x 0, x 1 Lời giải. Ta có f ' x 0 . Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x 1 x 2, x 3 (nghiệm kép thì y ' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị. Chọn B. Câu 94. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên y f ' x tục trên ¡ và hàm số y f x có đồ thị như 4 hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm 2 x 1. x B. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm -2 -1 O -1 x 1. C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm -2 x 2. D. Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x 2 . Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta có các nhận xét sau: f x đổi dấu từ " " sang " " khi đi qua điểm x 2 suy ra x 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y f x . f x không đổi dấu khi đi qua điểm x 1, x 1 suy ra x 1, x 1 không là các điểm cực trị của hàm số y f x . Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x 2. Chọn C. Câu 95. Hàm số f x có đạo hàm f ' x y f ' x trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ' x trên khoảng K . Hỏi hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị? x A. 0. -1 O 2 B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' x 0 chỉ có một nghiệm đơn (cắt trục hoành tại một điểm) và hai nghiệm kép (tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm) nên f ' x chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn. Do đó suy ra hàm số f x có đúng một cực trị. Chọn B. Nhận xét. Đây là một dạng toán suy ngược đồ thị.