Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz (Có đáp án)

1. BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục x Ox ; y Oy ; z Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i , j, klần lượt là các vectơ đơn vị các trục x Ox ; y Oy ; z Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian hay hệ tọa độ Oxyz . Điểm O được gọi là gốc tọa độ. 2 2 2 Chú ý: i j k 1 và i. j i.k k. j 0 . 2. Tọa độ của một điểm  a) Định nghĩa: M x; y; z OM x.i y. j z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: M Oxy z 0;M Oyz x 0;M Oxz y 0 M Ox y z 0;M Oy x z 0;M Oz x y 0 . b) Tính chất: Cho A xA; yA; zA  xB ; yB ; zB  AB xB xA; yB yA; zB zA  2 2 2 AB AB xB xA yB yA zB zA xA xB yA yB zA xB Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ; ; 2 2 2 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xA xB xC yA yB yC zA zB zC G ; ; 3 3 3 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: xA xB xC xD yA yB yC yD zA zB zC zD G ; ; 4 4 4 3. Tọa độ vectơ Định nghĩa:u x; y; z u x.i y. j z.k  Nhận xét: M x; y; z OM x; y; z II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ Định lý:Trong không gian Oxyz cho a a1;a2;a3 ;b b1;b2;b3 ;k R a b a1 b1;a2 b2;a3 b3
2. ka k a1;a2;a3 ka1;ka2;ka3 Hệ quả: Trong không gian Oxyz cho a a1;a2;a3 ;b b1;b2;b3 ;k R a1 b1 a b a2 b2 a3 b3 0 0;0;0 ;i 1;0;0 ; j 0;1;0 ;k 0;0;1 ; a cùng phương b b 0 a kb k R a1 kb1 a1 a2 a3 a2 kb2 , b1,b2 ,b3 0 b1 b2 b3 a3 kb3 Cho hai điểm A xA; yA; zA  xB ; yB ; zB thì:    * AB OB OA xB xA; yB yA; zB zA xA xB yA yB zA zB *Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là M ; ; 2 2 2 III. TÍCH VÔ HƯỚNG 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Định lý:Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của hai vectơ a a1;a2;a3 và b b1;b2;b3 được xác định bởi: a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3 2. Ứng dụng a  b a1.b1 a2.b2 a3.b3 0 2 2 2 a a1 a2 a3 2 2 2 2 a a1 a2 a3 a.b a .b a .b a .b cos a,b 1 1 2 2 3 3 (với a,b 0 ) 2 2 2 2 2 2 a . b a1 a2 a3 . b1 b2 b3 IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định lý: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S tâm I a;b;c bán kính r có phương trình là: 2 2 2 x a y b z c r 2 . Nhận xét: Phương trình mặt cầucòn có thểviết dưới dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0với d a2 b2 c2 r 2 r a2 b2 c2 d .
3. V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa Trong không gian M a;b; c cho hai vectơ a a1;a2;a3 và b b1;b2;b3 . Tích có hướng  a b của hai vectơ và kí hiệu là a,b , được xác định bởi  a a a a a a a,b 2 3 ; 3 1 ; 1 2 a b a b ;a b a b ;a b a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. 2. Tính chất a,b  a; a,b  b a,b b,a i, j k; j,k i; i,k j; ([Chươnga,b] a trình. b .si nnâng a,b cao) 3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)   a,b c Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng a,b .c 0   S AB,AD Diện tích hình bình hành ABCD : ABCD 1   Diện tích tam giác ABC : S AB,AC ABC 2    V AB, AD .AA' Thể tích khối hộp ABCDA'B'C 'D' : ABCDA'B'C 'D' 1    Thể tích tứ diện:ABCD V AB,AC .AD ABCD 6 Chú ý: – Tích vô hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Các bài toán liên quan tọa độ điểm, tọa độ của vectơ {Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa tính chất nào đó, tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, trực tâm, đỉnh của hình bình hành, đỉnh của một hình đa diện, } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
4. Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3) , b 0;2; 1 , c 1;7;2 .  Tìm tọa độ vectơ d a 4b 2c . Lời giải Ta có: a 2; 5;3 4b 0;8; 4 2c 2;14;4  Suy ra: d a 4b 2c 2; 5;3 0;8; 4 2;14;4 2 0 2; 5 8 14;3 4 4  0; 27;3 . Vậy d 0; 27;3 . Ví dụ2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;4 , B 2; 1;0 ,C 2;3; 1 . 1/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD . Lời giải xD xC xB xA 3   1/ Tứ giác ABCD là hình bình hành AD BC yD yC yB yA 6 D 3;6;3 zD zC zB zA 3 2/ Điểm I là tâm hình bình hành ABCD x x x A C I 2 yA yC 1 5 3 I là trung điểm của AC yI I ; ; . 2 2 2 2 zA zC zI 2 Ví dụ3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 1;5 , B 3;4;4 ,C 4;6;1 . Tìm tọa độ điểm Mthuộc mặt phẳng Oxy và cách đều các điểm A, B, C ? Lời giải Gọi M x; y;0 Oxy , x, y ¡ ; x2 y2 0 là điểm cần tìm. AM 2 BM 2 Vì M cách đều A, B,C nên ta có: MA MB MC 2 2 AM CM
5. BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục x Ox ; y Oy ; z Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i , j, klần lượt là các vectơ đơn vị các trục x Ox ; y Oy ; z Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian hay hệ tọa độ Oxyz . Điểm O được gọi là gốc tọa độ. 2 2 2 Chú ý: i j k 1 và i. j i.k k. j 0 . 2. Tọa độ của một điểm  a) Định nghĩa: M x; y; z OM x.i y. j z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: M Oxy z 0;M Oyz x 0;M Oxz y 0 M Ox y z 0;M Oy x z 0;M Oz x y 0 . b) Tính chất: Cho A xA; yA; zA  xB ; yB ; zB  AB xB xA; yB yA; zB zA  2 2 2 AB AB xB xA yB yA zB zA xA xB yA yB zA xB Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ; ; 2 2 2 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xA xB xC yA yB yC zA zB zC G ; ; 3 3 3 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: xA xB xC xD yA yB yC yD zA zB zC zD G ; ; 4 4 4 3. Tọa độ vectơ Định nghĩa:u x; y; z u x.i y. j z.k  Nhận xét: M x; y; z OM x; y; z II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ Định lý:Trong không gian Oxyz cho a a1;a2;a3 ;b b1;b2;b3 ;k R a b a1 b1;a2 b2;a3 b3