Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tìm max, min trên đoạn a, b (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tìm max, min trên đoạn a, b (Có đáp án)

1. TRẮC NGHIỆM TÌM MAX – MIN TRÊN ĐOẠN [a;b] I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên tập D. f (x) M ,x D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) M Kí hiệu: M max f (x) . x D f (x) m,x D Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) m Kí hiệu: m min f (x) . x D 2. Phương pháp Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi [a;b] của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i [a;b] làm cho f (x) không xác định. Bước 3. Tính f (a) , f (b), f (xi ) , f ( i ) . Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . a;b a;b Chú ý: Nếu f (x) đồng biến trên [a;b] thì M max f (x) f b ;min f (x) f a . a;b a;b Nếu f (x) nghịch biến trên [a;b] thì M max f (x) f a ;min f (x) f b . a;b a;b II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Max – Min khi biết đồ thị, BBT. Max – min của hàm số trên đoạn [a;b]. Max – min của hàm số trên K. Max – min của hàm số chứa trị tuyệt đối. Bài toán tham số về Max – min. Max – min của biểu thức nhiều biến. Ứng dụng Max – min giải toán tham số. Bài toán thực tế, liên môn về Max – min. Tìm Max – min của hàm hợp.  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021 )Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x4 2x2 3 trên đoạn 0;2 . Tổng M m bằng A.11.B. 14.C. 5. D.13. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm Max – min của hàm số trên đoạn a;b . 2. HƯỚNG GIẢI: B1: * Hàm số đã cho y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b. *Tìm các điểm x1, x2 , , xn trên khoảng a;b , tại đó f x 0 hoặc f x không xác định. B2: Tính f a , f x1 , f x2 , , f xn , f b . B3: Khi đó: * max f x max f x1 , f x2 , , f xn , f a , f b . a,b * min f x min f x1 , f x2 , , f xn , f a , f b . a,b
2. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Ta có f ¢(x) = 4x3 - 4x và f ¢(x) = 0 Û x = 0, x = ± 1. Trên [0;2], ta xét các giá trị f (0) = 3, f (1) = 2, f (2) = 11. Do đó M = 11,m = 2 và M + m = 13. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 8x2 16x 9 trên đoạn 1;3 là 13 A. max f x 5 . B. max f x 6 . C. max f x . D. max f x 0 . 1;3 1;3 1;3 27 1;3 Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y f x x4 8x2 16 trên đoạn  1;3 . A. 9 . B. 19. C. 25 . D. 0 . Câu 3. Cho hàm số f x x4 2x2 1. Kí hiệu M max f x , m min f x . Khi đó M m bằng. x 0;2 x 0;2 A. 9. B. 5. C. 1. D. 7 . x3 Câu 4. Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x2 3x 4 trên  4;0 lần lượt là 3 M và m . Giá trị của M m bằng 4 28 4 A. . B. . C. 4 . D. . 3 3 3 Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 bằng A. 50 . B. 1. C. 197 . D. 5 . Câu 6. Gọi M , N lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số y x3 3x2 1 trên 1;2. Khi đó tổng M N bằng A. 2 . B. 2 . C. 4 . D. 0 . Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x2 9x 10 trên  2; 2. A. max f x 5 . B. max f x 17 . C. max f x 15 . D. max f x 15 . [ 2; 2] [ 2; 2] [ 2; 2] [ 2; 2] Câu 8. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 2x2 4x 3 trên đoạn  4;0 lần lượt là M và m . Giá trị của tổng M m bằng bao nhiêu? A. M m 2 .B. M m 24 . C. M m 4 . D. M m 10 . Câu 9. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x3 3x2 12x 1 trên đoạn  1;3. Khi đó tổng M m có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây? A. 59;61 . B. 39;42 . C. 0;2 .D. 3;5 . x 1 Câu 10. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 3;5. x 1 Khi đó M m bằng 3 7 1 A. 2 B. C. D. 8 2 2 Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 2x2 4x 1 trên đoạn 1;3. 67 A. max f x 7 . B. max f x 4 . C. max f x 2 . D. max f x . 1;3 1;3 1;3 1;3 27 Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 trên đoạn  4; 1 bằng. A. 0 . B. 16 . C. 4 . D. 4 .
3. Câu 13. Cho hàm số y f x , x  2;3 có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn  2;3 . Giá trị M m là A. 6 . B. 1. C. 5 . D. 3 . Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  3;2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  1;2. Tính M m . A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . 9 Câu 15. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên đoạn 2;4 là: x 13 25 A. min y 6 . B. min y . C. min y . D. min y 6 . 2;4 2;4 2 2;4 4 2;4 3x 2 Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số y trên 0;2 bằng x 1 8 10 A. 2 . B. . C. . D. 3 . 3 3 x 5 Câu 17. Giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn 8;12 là x 7 17 13 A. 15. B. . C. 13. D. . 5 2 Câu 18. Cho hàm số y f (x) xác định trên 3; 5 và có bảng biến thiên như hình vẽ: x - 3 -1 1 5 y' + 0 0 + 2 2 5 y 0 -2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. min y 0 . B. max y 2 5 . C. max y 2. D. min y 2 3; 5 3; 5 3; 5 3; 5 Câu 19. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y ex trên đoạn  1; 1 là: 1 A. 0 . B. . C. 1. D. e . e
4. Câu 20. Cho hàm số y x3 3x2 2 .Gọi M ,n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên 0;3 .Tính M n . A. 8 . B. 10. C. 6 . D. 4 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A B A C D A B D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B B A A B C D B D  Mức độ 2 2x2 x 2 Câu 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn  2;1 lần lượt bằng: 2 x A.1 và 1. B. 2 và 0 . C. 0 và 2 . D.1 và 2 . 9 Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên đoạn 2;4 là: x 13 25 A. min y 6.B. min y .C. min y 6 .D. min y . 2; 4 2; 4 2 2; 4 2; 4 4 4 Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 trên đoạn [-1; 5]. x 2 46 A. max y 3.B. max y 4 .C. max y 5 . D. max y .  1;5  1;5  1;5  1;5 7 1 3 Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số y x trên đoạn ;3 . x 2 10 5 10 13 A. max y , min y .B. max y , min y . 3 3 3 3 ;3 3 ;3 2 ;3 3 ;3 6 2 2 2 2 10 16 C. max y , min y 2 . D. max y , min y 2 . 3 3 3 3 ;3 3 ;3 ;3 3 ;3 2 2 2 2 x2 4x Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;3 . 2x 1 3 A. min y 1.B. min y .C. min y 4 . D. min y 0 . 0;3 0;3 7 0;3 0;3 2 1 Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 2x trên ;1 . 4 1 A. . B. 0 . C. 1. D. 2 . 2 2 Câu 7. Hàm số y 4 x2 1 có giá trị lớn nhất trên đoạn  1;1 là: A. 12. B. 14. C. 17 . D. 10. x2 3x 6 Câu 8. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn 2;4 lần lượt là x 1 M , m . Tính S M m. A. S 6. B. S 4. C. S 7. D. S 3. Câu 9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x5 5x4 5x3 1 trên  1;2? A. min y 7, max y 1. B. min y 10, max y 2 . x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2 C. min y 2, max y 10 . D. min y 10, max y 2 . x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2
5. 1 x2 Câu 10. Cho f x x . Gọi M max f x ;m min f x , khi đó M – m bằng. x2 4x 5 4 0;3 0;3 9 3 7 A. .B. .C. . D.1. 5 5 5 x- m2 Câu 11. Cho hàm số f (x)= với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m x + 8 0 để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng - 3. Giá trị m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây? A. 2;5 . B. 1;4 . C. 6;9 . D. 20;25 . Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên [- 1;1] bằng 2 . é êm = 2+ 2 A. m = 2+ 2 . B. m = 4+ 2 . C. ê . D. m = 2 . ëêm = 4+ 2 Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số y cos4 x cos2 x 4 bằng: 1 17 A. 5 . B. . C. 4 . D. . 2 4 Câu 14. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3ax2 a 1 trên đoạn  1;a bằng 10, biết a 0. 5 3 A. a 10 . B. a . C. a . D. a 11. 2 2 x m2 m Câu 15. Gọi A , B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn 2;3 . Tìm x 1 13 tất cả các giá trị thực của tham số m để A B . 2 A. m 1; m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 1; m 2 . 3 2 Câu 16. Có một giá trị m0 của tham số m để hàm số y = x + (m + 1)x + m + 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn [0;1]. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 2 A. 2018m0 - m0 ³ 0 . B. 2m0 - 1 4 . B. 0 < m £ 2 . C. 2 < m £ 4 . D. m £ 0 . x m2 Câu 20. Cho hàm số f x , với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để min f x 2 là x 8 0;3 A. m 5 . B. m 6 . C. m 4 . D. m 3 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D B A C C C B A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D A A D A C C
6.  Mức độ 3 Câu 1. Tìm tập giá trị T của hàm số y x 4 x2 A.T  2;2 .B. T 0;2.C. T 0;2 2 .D. T 2;2 2 . Câu 2. M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 1 2 x2 . Tính M m ? A. M m 2 2 .B. M m 2 2 .C. M m 4 2 .D. M m 2 2 . Câu 3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3 4 x2 lần lượt là. A. 0;2 .B. 3; 1.C. 3;0 . D. 2;2 . Câu 4. Tìm x để hàm số y x 2 6 x đạt giá trị lớn nhất? A. x 2 .B. x 0 .C. x 2. D. x 4 . x 2m2 m Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên x 3 đoạn 0;1 bằng 2 . 3 3 A. m 1 hoặc m .B. m 2 hoặc m . 2 2 1 5 C. m 1 hoặc m .D. m 3 hoặc m . 2 2 x m2 1 Câu 6. Số các giá trị tham số m để hàm số y có giá trị lớn nhất trên 0;4 bằng 6 là x m A. 0 .B. 2 .C. 1. D.3. 2 3x Câu 7. Gọi m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x e trên đoạn 0;2 . Mối liên hệ giữa M và m là 1 M A. M m e. B. m M 1. C. m.M . D. e2 . e2 m mx 5 Câu 8. Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng 7 khi x m 5 A. m .B. m 0 .C. m 1. D. m 2 . 7 x m2 Câu 9. Gọi m là giá trị để hàm số y có giá trị nhỏ nhất trên 0; 3 bằng 2. Mệnh đề nào sau x 8 đây là đúng? A. m 5 . B. m 5 . C. 3 m 5 . D. m2 16 . 1 Câu 10. Chohàm số y x3 m2 x 2m2 2m 9,m là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao 3 cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;3 không vượt quá 3. Tìm m? A. S ; 31; . B. S 3;1 . C. S ; 3  1; . D. S  3;1 . 1 Câu 11. Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = 4- x2 + x- + m là 18. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 A. 0 < m < 5. B. 10 < m < 15. C. 5 < m < 10 . D. 15 < m < 20 . x m 16 Câu 12. Cho hàm số y ( m là tham số thực) thoả mãn min y max y . Mệnh đề nào dưới x 1 1; 2 1; 2 3 đây đúng? A. m 0 . B. m 4 . C. 0 m 2 . D. 2 m 4 .
7. Câu 13. Cho x; y là hai số thực bất kỳ thuộc đoạn 1;3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị x y nhỏ nhất của biểu thức S . Tính M m. y x 10 16 A. M n . B. M n 3 . C. M n 5 . D. M n . 3 3 3 2 Câu 14. Có một giá trị m0 của tham số m để hàm số y x m 1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn 0;1. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 A. 2018m0 m0 0 . B. 2m0 1 0 . C. 6m0 m0 0 . D. 2m0 1 0 Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f x như hình bên. Đặt g x 2 f x x 1 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Max g x g 3 . B. Min g x g 1 . C. Max g x g 0 . D. Max g x g 1 .  3;3  3;3  3;3  3;3 1 msin x Câu 16. Cho hàm số y . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 0;10 để cos x 2 giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 ? A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 6 . Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số g x f 2x3 x 1 m . Tìm m để max g x 10 . 0;1 A. m 13 . B. m 5 . C. m 3 . D. m 1. Câu 18. Cho hàm số y x2 2x a 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt giá trị nhỏ nhất? A. a 1. B. a 2 . C. Một giá trị khác. D. a 3. Câu 19. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = x2 + 2x + m- 4 trên đoạn [- 2;1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 5 . x m2 2 Câu 20. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn 0;4 x m bằng 1. A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B A A C C D A D
8. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B D A D D A D B D  Mức độ 4 Câu 1. Biết rằng phương trình 2 x 2 x 4 x2 m có nghiệm khi m thuộc a;b với a , b ¡ . Khi đó giá trị của T a 2 2 b là? A.T 0 .B. T 3 2 2.C. T 6 . D.T 8. Câu 2. Hàm số y 4 x2 2x 3 2x x2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x mà tích của chúng là: A. 1.B. 1.C. 0 . D. 2 . Câu 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2017 2019 x2 trên tập xác định của nó. Tính M m . A. 2019 2019 2017 2017 .B. 4036 . C. 4036 2018 .D. 2019 2017 . Câu 4. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f x 5 x 1 3 x x 1 3 x lần lượt là m và M , tính S m2 M 2 . A. S 170 .B. S 169 .C. S 172 . D. S 171. Câu 5. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho max x4 6mx2 m2 16 . Số  2;1 phần tử của S là ? A. 3. B. 1. C. 0 . D. 2 . Câu 6. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x2 2x m trên đoạn  1;2 bằng 5 . A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . 2 Câu 7. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x2 33 1 x2 . Hỏi điểm A M ;m thuộc đường tròn nào sau đây? A. x2 y 1 2 1. B. x 3 2 y 1 2 20 C. x 3 2 y 1 2 2 . D. x 1 2 y 1 2 1. Câu 8. Biết hàm số y f x liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 . Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và GTNN tương ứng là M và m ?. 2 4x A. y f x 2 x .B. y f 2 . x 1 C. y f 2 sin x cosx .D. y f 2 sin3 x cos3 x . n n Câu 9. Tìm các giá trị nguyên dương n 2 để hàm số y 2 x 2 x với x  2; 2 có giá trị lớn nhất gấp 8 lần giá trị nhỏ nhất. A. n 5 . B. n 6 . C. n 2 . D. n 4 . Câu 10. Đồ thị hàm số y f ' x là đường cong nét đậm và y g ' x là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B,C của y f ' x và y g ' x trên hình vẽ lần lượt có hoành độ a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x g x trên đoạn a;c ?
9. y a b c x O B C A A. min h x h a . B. min h x h b . a;c a;c C. min h x h c . D. min h x h 0 . a;c a;c Câu 11. Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ¢(x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f (0)+ f (2)= f (1)+ f (3). Giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn [0;3] là A. f (1). B. f (0). C. f (2). D. f (3). Câu 12. Cho hàm số y x3 3mx2 3 2m 1 x 1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đoạn  2;0 hàm số trên đạt giá trị lớn nhất bằng 6. A. m 1. B. m 0. C. m 3. D. m 1. Câu 13. Để giá trị lớn nhất của hàm số y f x x3 3x 2m 1 trên đoạn 0;2 là nhỏ nhất thì giá trị của m thuộc A. 0;1 . B.  1;0. C. 1;2 . D. 2; 1 . Câu 14. Cho hàm số y x3 3mx2 3 2m 1 x 1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đoạn  2;0 hàm số trên đạt giá trị lớn nhất bằng 6. A. m 1. B. m 0. C. m 3. D. m 1. Câu 15. Xét hàm số y x2 ax b , với a,b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b . A. 5 . B. 4. C. 2 . D. 3 . Câu 16. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số x2 mx m y trên 1;2 bằng 2 . Số phần tử của tập S là x 1 A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Câu 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x . Hàm số y f x liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. y 4 2 -1 O 1 2 x
10. 13 Biết f 1 , f 2 6 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 g x f 3 x 3 f x trên  1;2 bằng: 1573 37 14245 A. . B. 198. C. . D. . 64 4 64 Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số x2 mx m y trên 1;2 bằng 2 . Số phần tử của S là x 1 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Câu 19. Cho hàm số f (x) x4 8x2 m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [ 50;50] sao cho với mọi số thực a, b, c [0;3] thì f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh của một tam giác. A. 29. B. 23. C. 27 . D. 25. Câu 20. Để giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x- x2 - 3m + 4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m thỏa 3 5 4 1 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = . 2 3 3 2 Câu 21. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x3 3x2 72x 90 m trên đoạn  5;5 là 2022.Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng? A. 1600 m 1700 . B. m 400 . C. m 1618 . D. 1500 m 1600 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C D D C C B D B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D D A D B D A D D A 21A