Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 12 - Đề 17 - Trường THPT Nho Quan A (Có lời giải)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 12 - Đề 17 - Trường THPT Nho Quan A (Có lời giải)

1. ĐẶNG VIỆT ĐÔNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ĐỀ SỐ 17 Môn: TOÁN, Lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không tính thời gian phát đề I - PHẦN TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số fx cos 3 x . 6 1 A. fxx d 3sin 3 x C . B. fxx d sin 3x C . 6 3 6 1 C. fxx d 6sin 3 x C . D. fxx d sin 3x C . 6 3 6 1 Câu 2. Họ các nguyên hàm của hàm số fx x 2 3x là: x 1 x3 3 A. Fx 2 x 3 C . B. Fx x 2 ln x C . x2 32 x3 3 x3 3 C. Fx x2 ln x C . D. Fx x 2 ln x C . 32 32 f x fx xex Câu 3. Hàm số thoả mãn là: ex 1 A. x 1 ex C . B. x2 C . C. x2ex C . D. x 1 ex C . x 1 Câu 4. Tìm họ của nguyên hàm fx tan 2 x . A. tan 2xx d 2 1 tan2 2 x C . B. tan 2xx d ln cos2x C . 1 1 C. tan 2xx d 1 tan2 2 x C . D. tan 2xx d ln cos2 x C . 2 2 2 Câu 5. Tích phân x 3 2 dx bằng 1 61 61 A. 61 . B. . C. 4 . D. . 3 9 2 5 5 f x d x 3 f x d x 1 f x d x Câu 6. Nếu 1 , 2 thì 1 bằng A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 6 2 f x d x 12 I f 3x d x Câu 7. Cho 0 . Tính 0 . A. I 6 . B. I 36 . C. I 2 . D. I 4 . 1 f() x e Câu 8. Cho F() x là một nguyên hàm của hàm số . Tính fx ( )lnx d x bằng: 2 2x x 1 e2 3 2 e2 e2 2 3 e2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2e2 e2 e2 2e2 Câu 9. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b , a b có diện tích S là:
2. b b b b A. S fx dx . B. S f x d x . C. S f x d x . D. S f2 x d x . a a a a Câu 10. Cho hình phẳng D được giới hạn bới các đường x 0 , x , y 0 và y sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo công thức A. V sinx d x . B. V sin2 x d x . 0 0 C. V sinx d x . D. V sin2 x d x . 0 0 Câu 11. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x2 2x 1 và các đường thẳng y 0, x 1, x 1. Tính diện tích S của hình phẳng H . A. S 5. B. S 0 . C. S 2 . D. S 4 . Câu 12. Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau y g(x) = x 2 f(x) = x O 2 4 x 8 10 11 7 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 3 3 3 Câu 13. Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y x3 12x và y x2 . 343 793 397 937 A. S B. S C. S D. S 12 4 4 12 Câu 14. Số phức liên hợp của số phức zi 1 2 i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? A. E 2; 1 . B. B 1;2 . C. A 1;2 . D. F 2;1 . Câu 15. Cho số phức z 3 2i . Tính z . A. z 5 . B. z 13 . C. z 5 . D. z 13 . Câu 16. Trong tập số phức , chọn phát biểu đúng? A. z1 z2 z1 z2 . B. z z là số thuần ảo. 2 2 C. z1 z2 z1 z2 . D. z z 4ab với z a bi . 22017 2018 Câu 17. Tính S 1 ii i i A. S i . B. S 1 i . C. S 1 i . D. S i . Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 0 . Modun của z bằng A. 10 . B. 10. C. 3 . D. 4 . 2 Câu 19. Tìm phần ảo của số phức z biết z 3 i 3 i . A. 4 . B. 4 3 . C. 4 3 . D. 4 .
3. Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn: z 2 i 13i 1. Tính mô đun của số phức z . 34 5 34 A. z 34 . B. z 34 . C. z . D. z . 3 3 Câu 21. Phần ảo của số phức z 2 3i là A. 3i . B. 3 . C. 3 . D. 3i . Câu 22. Tìm số phức liên hợp của số phức z 3 2i . A. z 3 2i . B. z 3 2i . C. z 2 3i . D. z 2 3i . Câu 23. Tìm số phức z thoả mãn 23 iz 2 13 13 i 0 . A. z 3 5i . B. z 5 3i . C. z 3 5i . D. z 5 3i . 2 Câu 24. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 8z 25 0 . Giá trị z1 z2 bằng A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. 3 . Câu 25. Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình z2 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức z4 z 4 1 2 12 bằng. A. 14. B. 7 . C. 14 . D. 7 . Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn của các vectơ đơn vị là a 2ik 3 j . Tọa độ của vectơ a là A. 1;2; 3 . B. 2; 3;1 . C. 2;1; 3 . D. 1; 3;2 . Câu 27. Mặt cầu S có tâm I 3; 3;1 và đi qua điểm A 5; 2;1 có phương trình là A. x 5 2 y 2 2 z 1 2 5 . B. x 3 2 y 3 2 z 1 2 25 . C. x 3 2 y 3 2 z 1 2 5 . D. x 5 2 y 2 2 z 1 2 5 . Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho A 1; 1;1 , B 3;1;1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là A. 2x y z 2 0. B. 2x y 2 0 . C. x 2y 2 0. D. x 2y z 2 0. Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x z 1 0 . Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là A. n 2; 1;1 . B. n 2; 0;1 . C. n 2; 0; 1 . D. n 2; 1; 0 . Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0; 1 , B 2; 1; 1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là A. x y 2 0 . B. x y 2 0 . C. x y 2 0 . D. x y 1 0 . Câu 31. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua A 2; 1;5 và chứa trục Ox có vectơ pháp tuyến b u a;; b c . Khi đó tỉ số là c b b 1 b b 1 A. 5 . B. . C. 5 . D. . c c 5 c c 5 x 1y 2z 3 Câu 32. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : đi qua điểm 3 4 5 A. 1;2; 3 . B. 1; 2;3 . C. 3; 4;5 . D. 3; 4; 5 .
4. x 1y 2 z Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , vectơ nào dưới 13 2 đây là vtcp của đường thẳng d ? A. u 1; 3;2 . B. u 1;3; 2 . C. u 1; 3; 2 . D. u 1;3; 2 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;3; 1 , B 1;2; 4 . Phương trình đường thẳng nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB ? x 2 t x 2y 3z 1 A. . B. y 3 t . 115 z 1 5t x 1 t x 1y 2z 4 C. y 2 t . D. . 11 5 z 4 5t x 1y 2z 1 Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , A 2;1;4 . Gọi 112 H a;; b c là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính T a3 b3 c3 . A. T 8 . B. T 62 . C. T 13 . D. T 5 . II - PHẦN TỰ LUẬN 4 x 1 ex Câu 1. Tính tích phân dx . 0 2x 1 2 sin x Câu 2. Tính dx 2 0 cosx 5cosx 6 Câu 3. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 i 2 và z2 iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1 z2 ? Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :x 2y z 1 0 và điểm A 0; 2;3 , B 2;0;1 . Tìm điểm M a;; b c thuộc P sao cho MA MB nhỏ nhất.
5. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.A 10.B 11.D 12.B 13.D 14.A 15.B 16.A 17.D 18.A 19.D 20.B 21.C 22.A 23.C 24.C 25.C 26.B 27.C 28.B 29.C 30.A 31.A 32.B 33.A 34.A 35.B I - PHẦN TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số fx cos 3 x . 6 1 A. fxx d 3sin 3 x C . B. fxx d sin 3x C . 6 3 6 1 C. fxx d 6sin 3 x C . D. fxx d sin 3x C . 6 3 6 Lời giải 1 Áp dụng công thức: cos ax b dx sin ax b C . a 1 Câu 2. Họ các nguyên hàm của hàm số fx x 2 3x là: x 1 x3 3 A. Fx 2 x 3 C . B. Fx x 2 ln x C . x2 32 x3 3 x3 3 C. Fx x2 ln x C . D. Fx x 2 ln x C . 32 32 Lời giải 32 2 1 d x3x Ta có x 3x x ln x C . x 32 Câu 3. Hàm số f x thoả mãn fx xex là: ex 1 A. x 1 ex C . B. x2 C . C. x2ex C . D. x 1 ex C . x 1 Lời giải fx xex fx xex dx. Ta có: u x ; dv ex dx . Do đó: du dx ; v ex . fx xex dx xex ex dx xex ex C x 1 ex C . Câu 4. Tìm họ của nguyên hàm fx tan 2 x . A. tan 2xx d 2 1 tan2 2 x C . B. tan 2xx d ln cos2x C . 1 1 C. tan 2xx d 1 tan2 2 x C . D. tan 2xx d ln cos2 x C . 2 2 Lời giải sin 2x 1 d cos2x 1 Ta có: tan 2xx d d x ln cos2x C . cos2x2 cos2x 2 2 Câu 5. Tích phân x 3 2 dx bằng 1
6. 61 61 A. 61 . B. . C. 4 . D. . 3 9 Lời giải 2 222 32 22 2 xx 61 Ta có x 3d x x 3d x x 6x 9d x 6. 9x . 323 111 1 2 5 5 Câu 6. Nếu f x d x 3, f x d x 1 thì f x d x bằng 1 2 1 A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải 525 Ta có f x dx f x dx f x dx 3 1 2 . 112 6 2 Câu 7. Cho f x d x 12 . Tính I f 3x d x . 0 0 A. I 6 . B. I 36 . C. I 2 . D. I 4 . Lời giải 22 d 3x 16 12 Ta có I f 3dxx f 3x f x d x 4. 00 3 30 3 1 f() x e Câu 8. Cho F() x là một nguyên hàm của hàm số . Tính fx ( )lnx d x bằng: 2 2x x 1 e2 3 2 e2 e2 2 3 e2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2e2 e2 e2 2e2 Lời giải 1 f() x f() x 1 1 Do F() x 2 là một nguyên hàm của hàm số nên 2 f x 2 . 2x x x 2x x 1 e ln x u dx du Tính I fx ( )lnx d x . Đặt x . fxx d d v 1 fx v e ee 2 e f x 11 e 3 Khi đó I fx.lnx d x .ln x . 1 2 2 2 1 x x12x 1 2e Câu 9. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b , a b có diện tích S là: b b b b A. S fx dx . B. S f x d x . C. S f x d x . D. S f2 x d x . a a a a Lời giải b S fx dx a
7. Câu 10. Cho hình phẳng D được giới hạn bới các đường x 0 , x , y 0 và y sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo công thức A. V sinx d x . B. V sin2 x d x . 0 0 C. V sinx d x . D. V sin2 xd x . 0 0 Lời giải Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V sin2 x d x . 0 Câu 11. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x2 2x 1 và các đường thẳng y 0, x 1, x 1. Tính diện tích S của hình phẳng H . A. S 5. B. S 0 . C. S 2 . D. S 4 . Lời giải 1 1 1 Diện tích hình phẳng H là: S 3x2 2x 1 dx 3x2 2x 1 dx x3 x2 x 4 . 1 1 1 Câu 12. Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau y g(x) = x 2 f(x) = x O 2 4 x 8 10 11 7 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 3 3 3 Lời giải y g(x) = x 2 f(x) = x O 2 4 x y x Dựa và hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường: y x 2 . y 0 24 10 Suy ra S xxd xx 2 dx . 02 3 Câu 13. Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y x3 12x và y x2 . 343 793 397 937 A. S B. S C. S D. S 12 4 4 12 Lời giải
8. Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình; x 4 3232 x 12x x x 12 xx 0 x 3 x 0 04 Ta có S x3 12xx 2 dx x3 12xx 2 d x 30 04 99 160937 x3 12xx 2 dx x3 12xx 2 d x . 30 4312 Câu 14. Số phức liên hợp của số phức zi 1 2 i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? A. E 2; 1 . B. B 1;2 . C. A 1;2 . D. F 2;1 . Lời giải Ta có: zi 12 i 2 i z 2 i nên điểm biểu diễn của số phức z là E 2; 1 . Câu 15. Cho số phức z 3 2i . Tính z . A. z 5 . B. z 13 . C. z 5 . D. z 13 . Lời giải Ta có z 32 22 13 . Câu 16. Trong tập số phức , chọn phát biểu đúng? A. z1 z2 z1 z2 . B. z z là số thuần ảo. 2 2 C. z1 z2 z1 z2 . D. z z 4ab với z a bi . Lời giải Xét z1 x yi , z2 m ni x, y , m , n . z1 z2 xm yni z1 z2 xm y n i Ta có A đúng. z1 z2 x yi m ni xm y n i 22 2222 z1 z2 xm y m và z1 z2 x y m n nên C sai. Lại có z z abi abi 2 a B sai. 2 22 z2 z a bi a bi a2 b2 2abi a2 b2 2abi 4abi D sai. Câu 17. Tính S 1 ii 2 i 2017 i 2018 A. S i . B. S 1 i . C. S 1 i . D. S i . Lời giải 1009 i2019 i 2 i i . Ta có: S là tổng của cấp số nhân có u1 1, q i , n 2019 1 qn 1 i2019 1 i S u. i . 1 1 q1 i1 i Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 0 . Modun của z bằng A. 10 . B. 10. C. 3 . D. 4 . Lời giải Ta có z 3 i 0 z 3 i z 3 i z 32 12 10 .
9. 2 Câu 19. Tìm phần ảo của số phức z biết z 3 i 3 i . A. 4 . B. 4 3 . C. 4 3 . D. 4 . Lời giải 2 Ta có: z 3 i 3 i 434 i z 4 3 4i . Vậy phần ảo của số phức z là 4 . Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn: z 2 i 13i 1. Tính mô đun của số phức z . 34 5 34 A. z 34 . B. z 34 . C. z . D. z . 3 3 Lời giải 1 13i 1 13i Cách 1: Ta có z 2 i 13i 1 z z 34 . 2 i 2 i 22 11 27 850 z z 34 . 5 5 25 1 13i Cách 2: Dùng máy tính Casio bấm z . 2 i Câu 21. Phần ảo của số phức z 2 3i là A. 3i . B. 3 . C. 3 . D. 3i . Lời giải Phần ảo của số phức z 2 3i là 3 . Câu 22. Tìm số phức liên hợp của số phức z 3 2i . A. z 3 2i . B. z 3 2i . C. z 2 3i . D. z 2 3i . Lời giải z 3 2i . Câu 23. Tìm số phức z thoả mãn 23 iz 2 13 13 i 0 . A. z 3 5i . B. z 5 3i . C. z 3 5i . D. z 5 3i . Lời giải Gọi z a bi a, b . 23 iz 2 13 13i 0 23 iabi 2 13 13i 0 2a 3b 4 13 a 3 z 3 5i . 3a 2b 6 13 b 5 2 Câu 24. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 8z 25 0 . Giá trị z1 z2 bằng A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. 3 . Lời giải 2 z1 4 3i Xét phương trình z 8z 25 0 z1 z2 43 i 4 3i 6i 6 . z1 4 3i Câu 25. Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình z2 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức z4 z 4 1 2 12 bằng. A. 14. B. 7 . C. 14 . D. 7 .
10. Lời giải 2 z1 1 2i Ta có z 2z 5 0 . z2 1 2i 44 Nên z4 z4 12 i 12 i 14 . 12 Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn của các vectơ đơn vị là a 2ik 3 j . Tọa độ của vectơ a là A. 1;2; 3 . B. 2; 3;1 . C. 2;1; 3 . D. 1; 3;2 . Lời giải a 2ik 3j 2i 3 j k nên a 2; 3;1 . Câu 27. Mặt cầu S có tâm I 3; 3;1 và đi qua điểm A 5; 2;1 có phương trình là A. x 5 2 y 2 2 z 1 2 5 . B. x 3 2 y 3 2 z 1 2 25 . C. x 3 2 y 3 2 z 1 2 5 . D. x 5 2 y 2 2 z 1 2 5 . Lời giải Mặt cầu S có tâm I 3; 3;1 và bán kính R có phương trình là: x 3 2 y 3 2 z 1 2 R2 222 Mà A 5; 2;1 S nên ta có 53 23 1 1 R2 R 2 5 Vậy Mặt cầu S có tâm I 3; 3;1 và đi qua điểm A 5; 2;1 có phương trình là x 3 2 y 3 2 z 1 2 5 . Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho A 1; 1;1 , B 3;1;1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là A. 2x y z 2 0. B. 2x y 2 0 . C. x 2y 2 0. D. x 2y z 2 0. Lời giải Gọi I là trung điểm của AB nên I 1;0;1 .  Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có vtpt là n AB 4; 2;0 2 2;1;0 . Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x 1 1 y 0 0 2x y 2 0 . Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x z 1 0 . Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là A. n 2; 1;1 . B. n 2; 0;1 . C. n 2; 0; 1 . D. n 2; 1; 0 . Lời giải Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n 2; 0; 1 . Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0; 1 , B 2; 1; 1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là A. x y 2 0 . B. x y 2 0 . C. x y 2 0 . D. x y 1 0 . Lời giải
11. 31 Gọi I ; ; 1 là trung điểm của AB . 22  Ta có: AB 1; 1; 0 . 31  Ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I ; ; 1 và nhận AB 1; 1; 0 làm 22 một vectơ pháp tuyến. Nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: x y 2 0 . Câu 31. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua A 2; 1;5 và chứa trục Ox có vectơ pháp tuyến b u a;; b c . Khi đó tỉ số là c b b 1 b b 1 A. 5 . B. . C. 5 . D. . c c 5 c c 5 Lời giải   Ta có: i 1;0;0 , OA 2; 1;5 OA, i 0;5;1 là một VTPT của . b Do đó u 0;5k ; k với k 0 . Vậy 5 . c x 1y 2z 3 Câu 32. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : đi qua điểm 3 4 5 A. 1;2; 3 . B. 1; 2;3 . C. 3; 4;5 . D. 3; 4; 5 . Lời giải Đường thẳng đi qua điểm M x0;; y0 z0 và có vectơ chỉ phương u u1;; u2 u3 có phương trình: xx yy z z 0 0 0 . u1u2u3 Suy ra đường thẳng đi qua điểm 1; 2;3 . x 1y 2 z Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , vectơ nào dưới 13 2 đây là vtcp của đường thẳng d ? A. u 1; 3;2 . B. u 1;3; 2 . C. u 1; 3; 2 . D. u 1;3; 2 . Lời giải d có vtcp u 1; 3;2 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;3; 1 , B 1;2; 4 . Phương trình đường thẳng nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB ? x 2 t x 2y 3z 1 A. . B. y 3 t . 115 z 1 5t x 1 t x 1y 2z 4 C. y 2 t . D. . 11 5 z 4 5t Lời giải
12.  d có vtcp AB 1; 1;5 nên phương trình đường thẳng trong phương án A không phải của d . x 1y 2z 1 Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , A 2;1;4 . Gọi 112 H a;; b c là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính T a3 b3 c3 . A. T 8 . B. T 62 . C. T 13 . D. T 5 . Lời giải x 1 t Phương trình tham số của đường thẳng d: y 2 t t . z 1 2t H d H 1 t;2 t ;1 2t . Độ dài AH t 1 2 t 1 2 2t 3 2 6t2 12t 11 6 t 1 2 5 5 . Độ dài AH nhỏ nhất bằng 5 khi t 1 H 2;3;3 . Vậy a 2 , b 3 , c 3 a3 b3 c3 62 . II - PHẦN TỰ LUẬN 4 x 1 ex Câu 1. Tính tích phân dx . 0 2x 1 Lời giải 44 44 x x 1x12x 2 x 1 x e Ta có I e dx e dx 2x 1.edx dx . 02x 12 0 2x 1 2 00 2x 1 4 ex Xét I dx . 1 0 2x 1 du e x dx u ex 1 Đặt dx dx 1 2x 1 2 dv v . 2x 1 2x 1 2 1 2x 1 2 4 4 xx Do đó I1 e.2x 1 e.2x 1 dx . 0 0 3e4 1 Suy ra I . 2 2 sin x Câu 2. Tính dx 2 0 cosx 5cosx 6 Lời giải Đặt t cos x dt sinx d x . Đổi cận: x 0 t 1; x t 0 2 Ta có:
13. 1 2 sin x 0 1 1 1 1 t 3 3 4 dx dt dt ln ln 2 ln ln 2 2 0 cos x 5cos x 6 1 t 5t 6 0 t 3 t 2 t 2 0 2 3 Câu 3. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 i 2 và z2 iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1 z2 ? Lời giải Đặt z1 a bi; a , b z2 b ai z1 z2 a b b a i . 2 2 Nên z1 z2 a b b a 2. z1 Ta lại có 2 z1 1 i z1 1 i z1 2 z1 2 2 . Suy ra z1 z2 2. z1 2 2 2 . a b Dấu "" xảy ra khi 0 . 1 1 Vậy m min z1 z2 2 2 2 . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y z 1 0 và điểm A 0; 2;3 , B 2;0;1 . Tìm điểm M a;; b c thuộc P sao cho MA MB nhỏ nhất. Lời giải A B A' Ta có AB, cùng nằm về một phía của P . Gọi A đối xứng với A qua P suy ra A 2;2;1 . Ta có MA MB MA MB BA . Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của BA và P . 1 Xác định được M 1; ;1 . 2