Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 29 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 12 - Đề số 29 (Có hướng dẫn giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 29 (100TN) Câu 1: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên đoạn ab; . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= fx( ) , trục hoành và hai đường thẳng x= ax, = ba( < b) là b b b b A. S= fxd x. B. S= π fxd x. C. S= fxd x. D. S= π f2 xxd . ∫a ( ) ∫a ( ) ∫a ( ) ∫0 ( ) Câu 2: Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình 2xy− + 3 z −= 10?       A. n4 =(23;; − 1) . B. n3 =(211;; −−) . C. n1 = (213;; ). D. n2 =(2;; − 13) . Câu 3: Môđun của số phức zi=3 − ? A. 22. B. 10 . C. 8 . D. 10. Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số fx( ) = ex là ex+1 A. eCx + . B. + C . C. xex−1 + C . D. xex + C . x +1 Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−1; 2; 3 ) , B(3; 4;− 3) . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. (1; 3; 0 ) . B. (2;1;− 3 ). C. (2;6;0) . D. (−−2; 1; 3 ) . Câu 6: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 4 x + 6 y −= 30 có bán kính bằng A. 55 . B. 10 . C. 4 . D. 16. Câu 7: Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng xy+−−122 z ∆==: ? 3− 35 A. b = (3; 3; 5) . B. v =(1; − 2; 2 ) . C. u =( −1;2;2) . D. a =(3; − 3; 5) . zi=12 − zi=34 − zz= − 2 z Câu 8: Cho hai số phức 1 và 2 . Tìm số phức 12. A. zi=−−5 10 . B. zi=−+22. C. zi=46 − . D. zi=−+56. Câu 9: Cho hai số phức zi1 =54 − và zi2 =−+3 . Phần thực của số phức wz=12 + zbằng A. −3 . B. 2 . C. −2 . D. 8 . Câu 10: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên và a là một số dương. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a a a a A. ∫ fx( )d x= a2 . B. ∫ fx( )d0 x= . C. ∫ fx( )d1 x= . D. ∫ fx( )d2 x= a. a a a a 2 Câu 11: Gọi zz12, là hai nghiệm của phương trình 3zz− 4 += 70.Tính Pz=12 + z. 7 4 −7 4 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = − . 3 3 3 3 Câu 12: Cho hàm số fx()= x2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2. x3 x2 A. x2 dx= + C . B. x2 dx= + C . C. x2 dx=2 x + C . D. x23 dx= x + C . ∫ 3 ∫ 2 ∫ ∫ Câu 13: Cho hàm số y= fx( ) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích phần gạch chéo trong hình bằng 1 01 A. ∫ fxx( )d . B. ∫∫fxx( )dd+ fxx( ) . −2 −20 −21 01 C. ∫∫fxx( )dd+ fxx( ) . D. ∫∫fxx( )dd− fxx( ) . 00 −20 222 Câu 14: Trong không gian Oxyz , tâm của mặt cầu (S ) : ( x−3) ++( yz 1) +−( 55) = có toạ độ là A. (3;− 1; 5 ) . B. (−−3;1; 5 ) . C. (3;1; 5 ) . D. (−−−3;1;5) .  Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(3; 2; 0) , B(1; 4; 3 ) . Tọa độ vectơ AB là A. (2; 2;3) . B. (−2; 2;3) . C. (2;−− 2; 3) . D. (2;− 2;3) . Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M (−2;5) biểu diễn số phức nào sau đây? A. 52+ i . B. 25+ i . C. 52− i . D. −+25i . π 2 Câu 17: Giá trị của ∫ sin xdx bằng 0 π A. 0 . B. 1. C. −1. D. . 2 Câu 18: Cho số phức zi=−+34. Môđun của số phức z bằng A. 0 . B. 4 . C. 3. D. 2 . 2 2 Câu 19: Tích phân ∫( xx+ 3d) bằng 1 61 61 A. . B. 4 . C. . D. 61. 3 9 Câu 20: Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;− 2;3) và có một vectơ chỉ phương u =(0; − 1;2) là
3. x =1 x =1  xt=1 + xt=     A. yt=−−2 . B. yt=−+2 . C. yt=−−2 . D. yt=−−2 .      zt=32 +  zt=32 +  zt=32 +  zt=32 + Câu 21: Cho số phức zi=32 + . Phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. −2i . C. −2 . D. 2i . Câu 22: Biết Fx( ) là một nguyên hàm của hàm số fx( ) =2 x( 3 + 2ln x) và F (13) = . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Fx( ) =++2 x22 2 x ln x 1. B. Fx( ) =+−2 x22 2 x ln x 1. C. Fx( ) =4 x22 + 2 x ln x. D. Fx( ) =+−4 x22 2 x ln x 1. Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (2;− 1; 2 ) và đi qua M (2;0;1) có phương trình là 22 2 22 2 A. ( x−2) ++( yz 1) +−( 22) =. B. ( x−2) ++( yz 1) +−( 22) = . 22 2 22 2 C. ( x+2) +−( yz 1) ++( 22) =. D. ( x−2) ++( yz 1) +−( 21) =. 2 Câu 24: Gọi zz12, là hai nghiệm phức của phương trình 3zz−+= 10 và MN, lần lượt là hai điểm biểu diễn của zz12, trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Tính T= OM + ON . 14 2 3 23 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = 3 3 3 3 =+∈ Câu 25: Cho số phức z a bi( a, b ) thỏa mãn z++13 i = zi . Tính Sa= + 3. b A. S = −5. B. S = 3. C. S = −3. D. S = 3.  Câu 26: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ uv(1;− 1; 2) ,( 2; 3;1) . Vectơ uv, (tích có hướng của hai vectơ u và v ) có tọa độ A. (−−7; 3; 5) . B. (−7;3;5) . C. (7;3;5−−) . D. (6;− 3;1) . Câu 27: Tính mô-đun của số phức z biết zii(1++) 31 = A. z = 5 . B. z = − 5 . C. z = −5 . D. z = 5 . c c b ∫ f( x) dx =17 ∫ f( x) dx = −11 I= ∫ f( x) dx Câu 28: Cho a và b với acb<<. Tính a A. I = 28. B. I = 6. C. I = −6 . D. I = −28 . Câu 29: Tìm số phức z biết z=−+(52 ii)( 1) . A. zi=73 − . B. zi=−−73. C. zi=73 + . D. zi=−+73. 2 2 I=∫ fx( )d3 x = J=∫ 4 fx( ) − 3d x Câu 30: Cho 0 . Khi đó 0 bằng A. J = 9 . B. J =18 . C. J = 6 . D. J = 4 .
4. Câu 31: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số yx= 2 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 2 . Quay (H ) quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích bằng (đvtt) 5π 9π 31π 7π A. . B. . C. . D. . 31 2 5 3 Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3; 2;− 2) và đường thẳng d có phương trình xy+−13 z = = . Phương trình của mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là? 12− 3 A. x+=2 yz -3 -1 0 . B. x−=2 yz -3 -7 0. C. x+=2 yz -3 -13 0 . D. xyz++2 3 -1 = 0 . Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số fx( ) = sin 2 x là 1 1 A. cos 2xC+ . B. −+cos 2xC. C. 2cos 2xC+ . D. −+cos 2xC. 2 2 Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm M(1; 0 ; 2) , NP( 2;1; 0) ,( 0;1; 3 ) . Mặt phẳng (MNP) có phương trình là A. 3xy++ 2 z −= 70. B. 3xy++ 2 z += 70. C. −24x + yz += 0. D. 5x− 3 yz +−= 70. Câu 35: Cho số phức z=+∈ a bi( a, b ) thỏa mãn (1+iz) +=+ 2 z 32 i. Tính P= ab − . 1 1 A. P = −1. B. P = 2 . C. P = − . D. P = . 2 2 Câu 36: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn zi−−2 3 = 22 và ( z−+1)( zi) là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Câu 37: Họ nguyên hàm của hàm số fx( ) = xx3 2 +1 là 1 3 A. 3 xC2 ++1 . B. ( x22+11) 3 xC ++ . 8 8 1 3 C. ( x22+11) 3 xC ++ . D. 3 xC2 ++1 . 8 8 Câu 38: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của đường thẳng x−−13 yz d : = = trên mặt phẳng (Px) :− 2 y + 2 z −= 20có phương trình là 2− 11 xy−−12 z x−−13 yz x−+43 yz xy−−12 z A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 41− 1 −−4 11 153 211− 1 dx Câu 39: Biết =++abcln 5 ln 4 ln 3 với abc,, là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây ∫ 2 0 xx++7 12 đúng? A. abc++=3 5 0. B. abc−+=−3 5 1. C. abc−+=2. D. abc++=−2. 3 2 Câu 40: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong yx=−+12 x và yx= − bằng 937 343 793 397 A. . B. . C. . D. 12 12 4 4
5. π 2 Câu 17: Giá trị của ∫ sin xdx bằng 0 π A. 0 . B. 1. C. −1. D. . 2 Lời giải π 2 π Ta có ∫ sinxdx=−= cos x 2 1. 0 0 Câu 18: Cho số phức zi=−+34. Môđun của số phức z bằng A. 0 . B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải 2 Ta có zz= =( − 3)2 +−( 4) = 25 = 5 2 2 Câu 19: Tích phân ∫( xx+ 3d) bằng 1 61 61 A. . B. 4 . C. . D. 61. 3 9 Lời giải 22 2261 Ta có ∫∫( x+=++3d) xx( 3d) ( x 3) = . 11 3 Câu 20: Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;− 2;3) và có một vectơ chỉ phương u =(0; − 1;2) là x =1 x =1  xt=1 + xt=     A. yt=−−2 . B. yt=−+2 . C. yt=−−2 . D. yt=−−2 .      zt=32 +  zt=32 +  zt=32 +  zt=32 + Lời giải Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0000( xyz;;) và có vectơ chỉ phương  x= x + ut  01 u= ( uuu123;;) có dạng y= y02 + ut.   z= z03 + ut Vậy, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;− 2;3) và có một vectơ chỉ phương x =1  u =(0; − 1;2) là yt=−−2 .   zt=32 + Câu 21: Cho số phức zi=32 + . Phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. −2i . C. −2 . D. 2i . Lời giải
6. Ta có zi=32 − nên có phần ảo bằng −2 Câu 22: Biết Fx( ) là một nguyên hàm của hàm số fx( ) =2 x( 3 + 2ln x) và F (13) = . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Fx( ) =++2 x22 2 x ln x 1. B. Fx( ) =+−2 x22 2 x ln x 1. C. Fx( ) =4 x22 + 2 x ln x. D. Fx( ) =+−4 x22 2 x ln x 1. Lời giải  2 u=+3 2ln xu ⇒= d d x Đặt  x  2 dv= 2d xx ⇒= v x ∫∫f( x)d x=+− x2 ( 3 2ln x) 2 xx d =x22(3 + 2ln xxC) −+=++2x22 2 x ln xC. Mà F (13) = ⇒=C 1. Vậy Fx( ) =++2 x22 2 x ln x 1 Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (2;− 1; 2 ) và đi qua M (2;0;1) có phương trình là 22 2 22 2 A. ( x−2) ++( yz 1) +−( 22) =. B. ( x−2) ++( yz 1) +−( 22) = . 22 2 22 2 C. ( x+2) +−( yz 1) ++( 22) =. D. ( x−2) ++( yz 1) +−( 21) =. Lời giải  2 Ta có: IM =(0;1; − 1) ⇒IM = 022 + 1 +−( 1) = 2 Vì mặt cầu tâm I (2;− 1; 2 ) và đi qua M (2;0;1) 1) nên R= IM = 2 . 22 2 Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x−2) ++( yz 1) +−( 22) =. 2 Câu 24: Gọi zz12, là hai nghiệm phức của phương trình 3zz−+= 10 và MN, lần lượt là hai điểm biểu diễn của zz12, trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Tính T= OM + ON . 14 2 3 23 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 3 3 3 3 Lời giải  1+ 11i z1 = 2 6 Ta có: 3zz−+= 10 ⇒  1−+ 11ii 1 11 zz= ⇒=  2266 Vì MN, lần lượt là hai điểm biểu diễn của zz12, trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên 2 2 1 11 1 11 1 11 3 MN;;;⇒==OM ON  + = 66 66 6 6 3 23 Suy ra T= OM += ON . 3
7. =+∈ Câu 25: Cho số phức z a bi( a, b ) thỏa mãn z++13 i = zi . Tính Sa= + 3. b A. S = −5. B. S = 3. C. S = −3. D. S = 3. Lời giải a+=−1 b ab + =− 11 a = Ta có z++13 i = zi ⇔ a + bi ++13 i =( a + bi) i ⇔⇔⇔. b+=3 a ab −= 32 b =− Nên Sa=+3 b =−=− 1 6 5.  Câu 26: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ uv(1;− 1; 2) ,( 2; 3;1) . Vectơ uv, (tích có hướng của hai vectơ u và v ) có tọa độ A. (−−7; 3; 5) . B. (−7;3;5) . C. (7;3;5−−) . D. (6;− 3;1) . Lời giải  Ta có uv, = (−7;3;5) . Câu 27: Tính mô-đun của số phức z biết zii(1++) 31 = A. z = 5 . B. z = − 5 . C. z = −5 . D. z = 5 . Lời giải Cách 1: Giả sử z= a + bi Ta có: z(1++=⇔+ i) 31 i( a bi)( 1 ++=⇔++−+=⇔−−+++ i) 31 i a ai bi b31 i( a b 1) ( a b 3) i = 0 ab−−=10 a =− 1 ⇔⇔ ab++=30 b =− 2 22 Vậy z =( −125) +−( ) = 13− i Cách 2: Ta có zi= =−−12 1+ i 22 Vậy z =( −125) +−( ) = c c b ∫ f( x) dx =17 ∫ f( x) dx = −11 I= ∫ f( x) dx Câu 28: Cho a và b với acb<<. Tính a A. I = 28. B. I = 6. C. I = −6 . D. I = −28 . Lời giải b cb c Ta có I=∫∫∫ f( x) dx = f( x) dx + f( x) dx =−17 ∫ f( x) dx =+=17 11 28 a ac b Câu 29: Tìm số phức z biết z=−+(52 ii)( 1) . A. zi=73 − . B. zi=−−73. C. zi=73 + . D. zi=−+73. Lời giải Ta có: z=(52 − ii)( + 1) = 5 i ++− 522 i =+ 73 i.
8. Ta suy ra zi=73 − . 2 2 Câu 30: Cho I=∫ fx( )d3 x = . Khi đó J=∫ 4 fx( ) − 3d x bằng 0 0 A. J = 9 . B. J =18 . C. J = 6 . D. J = 4 . Lời giải 2 22 2 Ta có: J=4 fx( ) − 3 d x = 4 fx( ) d x − 3d x = 4.3 −( 3 x) =−−= 12( 6 0) 6. ∫ ∫∫ 0 0 00 Câu 31: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số yx= 2 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 2 . Quay (H ) quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích bằng (đvtt) 5π 9π 31π 7π A. . B. . C. . D. . 31 2 5 3 Lời giải Thể tích của khối tròn xoay là: 2 2 2 x5 π 31 V=ππ( xx25) d = =( 21 −=) π. ∫ 55 5 1 1 Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3; 2;− 2) và đường thẳng d có phương trình xy+−13 z = = . Phương trình của mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là? 12− 3 A. x+=2 yz -3 -1 0 . B. x−=2 yz -3 -7 0. C. x+=2 yz -3 -13 0 . D. xyz++2 3 -1 = 0 . Lời giải Gọi (α ) là mặt phẳng cần tìm Do (α ) ⊥ d nên (α ) nhận VTCP u =(1; 2; − 3 ) của d làm VTPT Phương trình của (α ) là: 1( xyz−+ 32) ( −− 23) ( + 2) = 0 ⇔+xyz2 − 3 − 13 = 0 . Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số fx( ) = sin 2 x là 1 1 A. cos 2xC+ . B. −+cos 2xC. C. 2cos 2xC+ . D. −+cos 2xC. 2 2 Lời giải 1 Áp dụng công thức nguyên hàm sin(ax+ b) d x =− cos( ax ++ b) C ∫ a 1 Như vậy: sin 2xx d=−+ cos 2 x C. ∫ 2 Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm M(1; 0 ; 2) , NP( 2;1; 0) ,( 0;1; 3 ) . Mặt phẳng (MNP) có phương trình là A. 3xy++ 2 z −= 70. B. 3xy++ 2 z += 70. C. −24x + yz += 0. D. 5x− 3 yz +−= 70. Lời giải
9.   Ta có MN =(1;1; − 2) và MP =( − 1;1;1) .Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ()MNP .    Mặt phẳng ()MNP đi qua MNP,, nên có véc tơ pháp tuyến là n= MN, MP = (3;1;2) . Khi đó phương trình mặt phẳng ()P có dạng:3(xy−+ 1) ( − 0) + 2( z − 2) = 0 ⇔3xy ++ 2 z −= 70. Câu 35: Cho số phức z=+∈ a bi( a, b ) thỏa mãn (1+iz) +=+ 2 z 32 i. Tính P= ab − . 1 1 A. P = −1. B. P = 2 . C. P = − . D. P = . 2 2 Lời giải Ta có (1+i) z + 2 z =+⇔+ 32 i( 1 i)( a + bi) + 2( a − bi) =+ 32 i 33ab−= ⇔a + bi + ai −+ b2 a − 2 bi =+ 32 i ⇔ . Suy ra P=−= ab 2. ab−=2 Câu 36: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn zi−−2 3 = 22 và ( z−+1)( zi) là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Lời giải Giả sử z=+∈ a bi( a, b ) . Ta có: 22 z−−=2 3 i 22 ⇔( a −+− 2) ( bi 3) = 22 ⇔−( a 2) +−( b 3) = 8*( ) ( z−1)( z += i) zz +−−= iz z i a22 ++−−+− b ai b a bi i là số thực khi ab+−=10 22 ⇔=−ba1 thay vào (*) ta được (a−2) +−( a − 2) = 82 ⇔ aa2 = 0 ⇔ = 0 Suy ra b =1 ⇒=zi. Vậy có một số phức z thỏa đề bài. Câu 37: Họ nguyên hàm của hàm số fx( ) = xx3 2 +1 là 1 3 A. 3 xC2 ++1 . B. ( x22+11) 3 xC ++ . 8 8 1 3 C. ( x22+11) 3 xC ++ . D. 3 xC2 ++1 . 8 8 Lời giải Đặt t=3 x2 +⇒1 t 32 = x +⇒ 13 t 2 dt = 2 xdx . Ta có: 33 3t 4 x33 x2+=1 dx x 2 +1. xdx = t . t 23 dt = t dt =. + C ∫ ∫ ∫∫2 2 24 334 =3 ( x2 +1) + Cx =( 22 + 11) 3 x ++ C 88 Câu 38: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của đường thẳng x−−13 yz d : = = trên mặt phẳng (Px) :− 2 y + 2 z −= 20có phương trình là 2− 11 xy−−12 z x−−13 yz x−+43 yz xy−−12 z A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 41− 1 −−4 11 153 211− Lời giải
10. Chọn Md(1; 0; 3 )∈ .Gọi A là giao điểm của (P) và d , M ′ là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (P) . +) Tìm tọa độ điểm A : Vì A∈⇒ d A(2 t +− 1; tt ; + 3 ) . 5 2 5 13 Mà AP∈( ) ⇒2 t +− 1 2.( − t ) + 2( t + 3) − 2 = 0 ⇔ 6t + 5 = 0 ⇔ t =−⇒ A − ;; . 6 36 6 +) Tìm tọa độ điểm M ′ : Gọi ∆ là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) thì dP∩=( ) { M′}và véc tơ pháp tuyến của (P) : n(1;− 2; 2 ) là véc tơ chỉ phương của ∆ . xu=1 +  Ta được ∆:y =−⇒ 2 u M '( 1 +− uu ; 2 ;3 + 2 u) .  zu=32 + 5 4 10 17 Mà MP′′∈( ) ⇒+−1 u 2.( − 2 u ) + 2( 3 + 2 u) −=⇔ 2 0 9 u +=⇔ 5 0 u =−⇒ M;; 9 99 9 +) Viết phương trình đường thẳng AM ′ :  10 5− 5 Véc tơ AM ′; ;↑↑u ( 4;1; − 1) nên u là véc tơ chỉ phương của AM ′ . 9 18 18 2 5 13 xyz+−− Ta có phương trình chính tắc đường thẳng AM ′ : 366= = . 41− 1 xy−−12 z Nhận thấy N(0;1; 2 )∈ AM ′ nên AM ′ : = = . 41− 1 x−−13 yz Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng d : = = trên mặt phẳng 2− 11 xy−−12 z (Px) :− 2 y + 2 z −= 20là đường thẳng AM ′ có phương trình là = = . 41− 1 1 dx =++abcln 5 ln 4 ln 3 Câu 39: Biết ∫ 2 với abc,, là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây 0 xx++7 12 đúng? A. abc++=3 5 0. B. abc−+=−3 5 1. C. abc−+=2. D. abc++=−2. Lời giải 11 1 dx dx 1 1 1 = = −dx =( lnxx +− 3 ln + 4) =−+ ln 5 2ln 4 − ln 3. ∫∫2 ∫ 0 00xx++7 12( x + 3)( x + 4) 0 x + 3 x + 4 ⇒+abc3 + 5 = 0. Câu 40: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong yx=−+3 12 x và yx= − 2 bằng
11. 937 343 793 397 A. . B. . C. . D. 12 12 4 4 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của các đường cong yx=−+3 12 x và yx= − 2 là −x3 +12 x =−⇔ x 22 xx( −− x 12) = 0 x = 0 x = 0  ⇔ ⇔=x 4  2  xx−−12 = 0 x = −3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong yx=−+3 12 x và yx= − 2 bằng 4 04 937 ∫xx32−−12 x dx = ∫∫ xx32 −−12 x dx+ xx32 −− 12 x dx = . −−3 30 12 Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ziz−=2( 12 + i) là một đường tròn. Tâm và bán kính của đường tròn đó lần lượt là 1 1 A. IR0;−= , 1 B. IR−=;0 , 1. 2 2 1515 C. IR−=;0 , . D. IR0;−= , . 2222 Lời giải Chọn D Giả sử z=+∈ x yi, x , y Ta có: ziz−=2( 12 + i) ⇔+x( y −2) i =+ x yi( 12 + i) 2 ⇔+−x2( y25) =( xy22 +) ⇔4xyy22 + 4 + 4 −= 40 ⇔xyy22 + + −=10 1 Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ziz−=2( 12 + i) là một đường tròn có tâm I 0; − 2 2 2 15 và bán kính ,0R = +− += 1. 22 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (Px ):+ 2 yz ++= 1 0 và đường thẳng xy+−+123 z 5 d : = = ⋅ Gọi ()Q là mặt phẳng chứa d và tạo với ()P một góc ϕ , với cosϕ = 11− 1 6 . Biết rằng n= (2; bc ; ) (với b < 0 ) là một vectơ pháp tuyến của ()Q . Khẳng định nào sau đây đúng?
12. A. bc+=−6 . B. bc+=−24 . C. bc+=2 . D. bc+=12. Lời giải  Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n(P) = (1;2;1) ,   Đường thẳng d một vectơ chỉ phương của là ud =(1;1; − 1).   Vì dQ⊂ ( ) ⇒=und .0⇔+−=1.2 1.bc 1. 0 ⇔=+cb2 . (1) 5  5 1.2++ 2.bc 1. 5 =ϕ = ⇔=⇔= Ta lại có cos((QP) ,( )) cos cos(nn(P) , ) 6 6 6. 4++bc226 ⇔6. 2bc ++ 2 = 5. 4 + b22 + c. (2) Từ (1) và (2) suy ra 6. 3b+= 4 5. 2 bb2 + 4 + 8 ⇔6( 9b22 + 24 b + 16) = 25( 2 bb ++ 4 8) bl= 2( ) ⇔+−=4bb2 44 104 0 ⇔  . bc=−⇒=−13 11 Vậy bc+ =−13 +−( 11) =− 24 . x−−12 yz Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = . Phương trình của mặt phẳng đi 212 qua M (2;1; 0 ) và chứa đường thẳng d là A. 4x− 6 yz −+= 20. B. 4x− 6 yz −−= 20. C. xy−=20. D. 2xy++ 2 z −= 50. Lời giải Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; 2 ) và có vec-tơ chỉ phương u = (2;1; 2 ).    Suy ra mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M (2;1; 0 ) và có vec-tơ pháp tuyến u, MA =( 4; −− 6; 1) nên mặt phẳng có phương trình: 4x− 6 yz −−= 20. Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm AB(1; 2;3) , (3; 4;1) . Gọi M( xy; ;0) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất. Đặt T= xy + , khẳng định nào sau đây đúng? 13 13 A. T ∈ ;7 . B. T ∈(1; 5] . C. T ∈(7;10) . D. T ∈5; . 2  2  Lời giải Phương trình mặt phẳng (Oxy) :0 z = . Nhận thấy AB(1; 2;3) , (3; 4;1) nằm về một phía so với (Oxy) . Hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 3 ) trên mặt phẳng (Oxy) là H (1; 2; 0 ) . Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (Oxy) , khi đó A'( 1; 2;− 3 ) .
13. xt=1 +   Ta có: AB′ = (2; 2; 4) , phương trình đường thẳng AB′ : yt=2 +  zt=−+32  5 x = xt=1 +  2  7 yt=2 + y = Gọi I= A′ B ∩( Oxy) . Khi đó, tọa độ điểm I là nghiệm của hệ ⇔ 2 zt=−+32 z = 0 z = 0  3 t =  2 57 ⇒ I ; ;0 . 22 Với mọi điểm M thuộc (Oxy) ta có MA+= MB MA′′ +≥ MB A B . Do đó MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng AB′ khi và chỉ khi MI≡ . 57 13 Vậy T =+=6 ∈5; 22 2  22 2 Câu45. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (Sx):( + 2) ++( y 1) +−( z 2) = 16 và hai điểm AB(5;0;3) ,( 9;− 3; 4). Gọi (PQ),( )lần lượt là hai mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với(S ) tại MN, , tính độ dài đoạn thẳng MN . 12 24 A. 5. B. . C. 3. D. . 5 5 Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I (−−2; 1; 2) , bán kính R = 4 .  AB =(4; − 3;1) xt=54 +  ( AB) :3 y= − t  zt=3 +
14. AB⊥ IM Gọi K= AB ∩( IMN ) . Ta có  ⇒⊥AB( IMN) ⇒⊥ AB IK nên K là hình chiếu AB⊥ IN vuông góc của I trên AB . K∈ AB ⇒ K(5 +− 4 t ; 3 t ;3 + t)  IK =+−+(7 4 t;1 3t;1 t)   Ta có IK⊥ AB ⇔ IK. AB = 0 ⇔ 47( + 4t) − 31( − 3 t) +( 1 + t) = 0 ⇔=− t 1  ⇒=IK (3; 4; 0) ⇒=IK 5 Xét tam giác vuông MIK có MK= IK2 − MK 2 =54 22 −= 3 IM.M K 12 24 MH = = ; MN=2 MH = . IK 5 5 Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn z−+12 izi = + 5 và w= iz +10. Giá trị nhỏ nhất của w đạt được khi w= a + bi . Tính Pa=22 − b A. −18 . B. 12. C. 128. D. 160. Lời giải 22 2 Đặt z= x + iy . Ta có z−+=+⇔−1 2 izi 5( x 1) ++( y 2) =++ x2 ( y5) ⇔=−− x 3 y 10 . Mặt khác: w=+= iz10 i( x + yi) +=−−+10 10y( 3 y 10) i . Ta có 22 2 w=−++=(10 y) ( 3 y 10) 10( yy2 ++= 4 20) 10( y ++≥ 2) 160 4 10 , dấu ""= xảy ra khi yx=−⇒24 =−. Khi đó wi=12 − 4 . Khi đó Pa=−=22 b 128. 2 x2 Câu 46: Cho hàm số y= fx( ) liên tục và có đạo hàm trên [0; 2] thỏa mãn ∫ f′( x) += xed3 x ; 0 2 b 2 ae+ c f (24) = ; f (00) = . Biết ∫ xf( x) ex d x = với a , b , c là các số nguyên. Khi đó 0 b abc22+− bằng A. 104. B. 146. C. 90. D. 48 . Lời giải 2 2 Xét I= ∫ xf( x) ex d x 0 2 1 2 Đặt u= fx( ) ⇒=ddu fxx′( ) ; dv= xex d x ⇒ chọn ve= x 2
15. 2 2 22 11xx2214 11 xx221 Ta có I= f( xe) − ∫ f′( xe) d x=f(20) e −− f( ) ∫∫ fxxex′( ) + dd + xex 220 0 2 22002 2 2 4 31 2 312 31 19e − 7 =2de42 −+∫ exx ( ) =22eeee4 −+x =44 −+ −= 240 240 24 4 4 Vậy a = 9 ; b = 4 ; c = −7 suy ra abc22+ −=81 + 16 += 7 104 . Câu 47: Người ta muốn trồng một vườn hoa cẩm tú cầu trên một mảnh vườn giới hạn bởi một đường parabol và một nửa đường tròn có bán kính 2 mét (như phần tô đậm trong hình vẽ). Biết rằng để trồng một mét vuông hoa cần ít nhất 250 ngàn đồng. Số tiền tổi thiểu để trồng xong vườn hoa cẩm tú cầu gần bẳng (làm tròn đến ngàn đồng) A. 893 ngàn đồng. B. 809 ngàn đồng. C. 476 ngàn đồng. D. 559 ngàn đồng. Lời giải Ta có: Phương trình nửa đường tròn tâm O bán kính 2 :(Cx) :222+= y ( y > 0) Suy ra: (Cy) :2= − x2 ( − 2 ≤≤ x 2) Ta có phương trình parabol: (P) :0 y= ax2 ++ bx c( a ≠) Do (P) có trục đối xứng x = 0 ⇒=+(P) : y ax2 c Ta lại có điểm (0;− 1) ∈(P) ⇒− 1 = acc .0 + ⇔ =− 1 Ta thấy đồ thị (P) cắt đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x =1 Ta có xy=⇒=1 21 −2 = 1 Vậy (P) đi qua điểm (1;1) ⇒= 1aa .1 −⇔ 1 = 2 Vậy (Py) :21= x2 − Diện tích để trồng hoa cẩm tú cầu là phần diện tích giới hạn bởi (C) và (P) trên đoạn [−1;1] 1 Ta có: S=∫ f( x) − gx( ) với: fx( ) =2 − x2 và gx( ) =21 x2 − −1
16. Ta thấy trên đoạn [−1;1] thì đồ thị của fx( ) nằm trên đồ thị của gx( ) Suy ra: f( x) >⇔−> gx( ) f( x) gx( ) 0 ∀∈−x [ 1;1] Từ đó: 11 1 S= f( x) − g( x) = f( x) − g( x) dx =2 −− x22 21 x − dx ∫∫ ∫( ) ( ) −−11 − 1 1 11 =2 −−x22 21 x −  dx = 2 − x2  dx − 21 x 2 − dx ∫  ∫∫  −1 −−11 1 1 22 =2 −x23 dx − x −=+ x I ∫ 1 −1 33−1 1 Ta có: I=2 − x2 dx 1 ∫  −1 Đặt x=2 sin( t) ⇒= d x 2 cos( tt) d Đổi cận: π ππ 4 441+ cos 2t =−==22 I1 222sincos22cos22∫t tdt ∫∫tdt dt π ππ2 − −− 4 44 π π 4 1 4 π =+=+=+∫ (1 cos 2t) dt tsin 2 t 1 π 22π − − 4 4 ππ25 Vậy diện tích trồng xong vườn hoa cẩm tú cầu là: S = ++1 = + 2 3 23 π 5 Số tiền tổi thiểu để trồng xong vườn hoa cẩm tú cầu: +≈.250 809 (ngàn đồng) 23 Câu 48: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 6 y − 8 z += 10. AB, là hai điểm thuộc (S ) sao cho AB = 6. Gọi M( abc;;) là trung điểm của đoạn AB . Hãy tính P=++ abc trong trường hợp abc++22 đạt giá trị lớn nhất. 2 35 25 26 31 A. P = . B. P = . C. . D. . 5 3 3 2 Lời giải
17. (Sx) :2+ y 22 + z − 2 x + 6 y − 8 z += 10 có tâm I (1;− 3; 4 ) , R = 5  AB, ∈( S) , AB = 6. Gọi M là trung điểm AB , suy ra IM= R22 −=34 222 ⇒MSx ∈( 1 ) :( − 1) ++( y 3) +−( z 4) = 16 có tâm I (1;− 3; 4 ) , R1 = 4  Xét mặt phẳng (α ) :220xyz++= và M( abc;;) abc++22 abc ++ 22 Ta có dM( ,(α )) = = . Suy ra điểm M thỏa ycbt vừa thuộc mặt cầu, 122222++ 3 vừa thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với (α ) xt=1 +   Gọi ∆ có phương trình yt=−+32 là đường thẳng qua I (1;− 3; 4 ) và vuông góc với (α )  zt=42 + xt=1 +   Thay yt=−+32 vòo phương trình mặt cầu ta được:  zt=42 + −7 1 20  4 M ;; t =  1  2222 16 3 33 3 tt+(2) +( 2 t) =⇒= 16 t ⇒ ⇒ 9 4   = − 1 17 4 t M 2 −−;;  3  3 33 7−− 1 20 7 1 20  Với M1 ; ;⇒+abc 2 + 2 =+ 2 + 2. = 15 33 3 3 3 3 7− 1 20 −−1 17 4  Với M1 ; ;⇒+abc 2 + 2 = + 2 + 2. =− 9 33 3 3 3 3 7− 1 20 26  Ta thấy abc++=2 2 15 lớn nhất. Nên ta chọn M1 ;; . Khi đó P=++= abc . 33 3 3 xy++13 z x + 2 y − 3 z Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng ab:= = ,: = = , 2 1−− 2 1 32 xyz−+−573 c : = = . Gọi d là đường thẳng song với c đồng thời cắt hai đường thẳng a và b. 123 Đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây? A. K (1;− 6; 6 ) B. M (4;1;− 7 ) C. H (−2; 3; 0) D. P(4;10;17) Giải + Gọi daAt∩=(2;1 −+−− t ;3 2; tdbB) ∩=( −+ 2 s ;33;2 − ss)    + Ta có AB=( s −2 t − 2; − 3 s −+ t 4; 2 s + 2 t + 3) ; uc = (1; 2; 3 )   s−22 t − − 3 st −+ 42 s + 23 t + +Vì d// c⇒ AB ; u cùng phương ⇔= = c 12 3
18. 244s− t − =−−+ 3 st 4 ⇔  366223st− −= st + + 538st−= t =− 1 ⇔ ⇔ ⇒A( −−−2; 2; 1) st−=89 s = 1 xt=−+2  + Ta có dy: =−+ 22 t  zt=−+13 + Thay bốn đáp án ta có điểm P thuộc d HẾT